고차방정식Polynomial Equations · 문제집Worksheet

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$을 풀어라.

Solve $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

$x^3 = -27$을 복소수 범위에서 모두 풀어라.

Solve $x^3 = -27$ over the complex numbers.

$2x^3 + x^2 - 7x - 6 = 0$의 유리근 후보를 모두 나열하고, 그중 실제 근을 하나 찾아라.

List all rational-root candidates of $2x^3 + x^2 - 7x - 6 = 0$, and find one actual root.

$2x^3 + x^2 - 7x - 6 = 0$을 완전히 풀어라.

Solve $2x^3 + x^2 - 7x - 6 = 0$ completely.

$x^3 + x^2 + x + 1 = 0$을 복소수 범위에서 풀어라.

Solve $x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ over the complex numbers.

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$을 풀고, 세 근으로 근과 계수의 관계(합·쌍곱합·곱)를 검산하여라.

Solve $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$, and verify Vieta (sum, pairwise sum, product) with the roots.

삼차방정식 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$의 세 근 중 두 개가 $1$과 $2$다. 나머지 근과 $a$, $b$를 구하여라.

Two of the roots of $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ are $1$ and $2$. Find the third root, $a$, and $b$.

"실계수 $5$차 방정식은 실근을 적어도 하나 갖는다"를 두 가지 방법으로 설명하여라 — 그래프의 끝 거동으로, 그리고 켤레근 정리로.

Explain in two ways why a real-coefficient degree-$5$ equation has at least one real root — by end behavior, and by the conjugate root theorem.

유리근 정리를 증명하여라: 정수 계수 방정식 $a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$이 기약분수 근 $\dfrac{p}{q}$를 가지면 $p \mid a_0$이고 $q \mid a_n$이다.

Prove the rational root theorem: if the integer-coefficient equation $a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ has a root $\dfrac{p}{q}$ in lowest terms, then $p \mid a_0$ and $q \mid a_n$.

$x^4 + 4 = 0$을 복소수 범위에서 풀어라.

Solve $x^4 + 4 = 0$ over the complex numbers.

$(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = 0$을 풀어라.

Solve $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = 0$.

실계수 삼차방정식 $x^3 + ax + b = 0$의 한 근이 $1 + i$다. $a$와 $b$를 구하여라.

The real-coefficient cubic $x^3 + ax + b = 0$ has $1 + i$ as a root. Find $a$ and $b$.

$\omega$가 $x^2 + x + 1 = 0$의 한 근일 때, 다음을 구하여라.

(1) $\omega^3$의 값 (2) $\omega^{100} + \omega^{50}$의 값

Let $\omega$ be a root of $x^2 + x + 1 = 0$.

(1) Find $\omega^3$. (2) Find $\omega^{100} + \omega^{50}$.