수직이등분선과 각의 이등분선Perpendicular & Angle Bisectors · 문제집Worksheet

점 $P$는 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위에 있고 $PA = 9$다. $PB$를 구하여라.

Point $P$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{AB}$, and $PA = 9$. Find $PB$.

점 $Q$가 $QA = QB = 7$을 만족한다. $Q$는 어떤 직선 위에 있는가?

Point $Q$ satisfies $QA = QB = 7$. On which line must $Q$ lie?

점 $P$는 $\angle AOB$의 이등분선 위에 있고, $P$에서 변 $\overrightarrow{OA}$까지의 거리가 $4$다. $P$에서 변 $\overrightarrow{OB}$까지의 거리를 구하여라.

Point $P$ lies on the bisector of $\angle AOB$, and its distance to side $\overrightarrow{OA}$ is $4$. Find its distance to side $\overrightarrow{OB}$.

빈칸을 채워라. 외심은 세 (㉠)의 교점이고 세 (㉡)에서 같은 거리에 있다. 내심은 세 (㉢)의 교점이고 세 (㉣)에서 같은 거리에 있다.

Fill in the blanks. The circumcenter is where the three (a) meet, equidistant from the three (b). The incenter is where the three (c) meet, equidistant from the three (d).

점 $P$는 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위에 있고 $PA = 5x - 8$, $PB = 2x + 13$이다. $PB$를 구하여라.

Point $P$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{AB}$, with $PA = 5x - 8$ and $PB = 2x + 13$. Find $PB$.

$\triangle ABC$에서 꼭짓점 $A$가 변 $\overline{BC}$의 수직이등분선 위에 있으려면 어떤 조건이 성립해야 하는가? 필요하고도 충분한 조건을 찾고 이유를 밝혀라.

In $\triangle ABC$, what condition must hold for vertex $A$ to lie on the perpendicular bisector of side $\overline{BC}$? Find a necessary and sufficient condition, with reasons.

각의 이등분선 정리의 역을 증명하여라: 점 $P$가 $\angle AOB$의 내부에 있고, $P$에서 두 변에 내린 수선의 발 $X$, $Y$에 대해 $PX = PY$이면, $\overrightarrow{OP}$는 $\angle AOB$의 이등분선이다.

Prove the converse of the Angle Bisector Theorem: if $P$ is in the interior of $\angle AOB$, and the feet $X$, $Y$ of the perpendiculars from $P$ to the two sides satisfy $PX = PY$, then $\overrightarrow{OP}$ bisects $\angle AOB$.

한 직선 위에 있지 않은 세 집 $A$, $B$, $C$ 모두에서 같은 거리인 지점에 우물을 파려 한다. 그런 지점은 몇 개이며, 자와 컴퍼스로 어떻게 찾는가?

Three houses $A$, $B$, $C$, not on one line. You want to dig a well at a spot equidistant from all three. How many such spots are there, and how do you find one with compass and straightedge?

$AB = AC$인 이등변삼각형에서, 외심과 내심이 모두 대칭축(꼭지각 $A$에서 밑변으로 내리는 축) 위에 있음을 설명하여라.

In an isosceles triangle with $AB = AC$, explain why the circumcenter and the incenter both lie on the axis of symmetry (the line from apex $A$ down to the base).

종이 위에 두 점 $A$, $B$가 찍혀 있다. $A$가 $B$에 정확히 포개지도록 종이를 접었다 펴면, 접힌 금이 $\overline{AB}$의 수직이등분선임을 설명하여라.

Two points $A$ and $B$ are marked on a sheet of paper. Fold the sheet so that $A$ lands exactly on $B$, then unfold. Explain why the crease is the perpendicular bisector of $\overline{AB}$.

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점임을 증명하여라. ($\triangle ABC$에서 $\angle C = 90°$라 하자.)

(안내: $\overline{AC}$의 수직이등분선이 빗변 $\overline{AB}$와 만나는 점을 $O$라 하고, $OA = OC$에서 출발해 각을 추적하라.)

Prove that the circumcenter of a right triangle is the midpoint of the hypotenuse. (In $\triangle ABC$, let $\angle C = 90°$.)

(Guide: let $O$ be the point where the perpendicular bisector of $\overline{AC}$ meets the hypotenuse $\overline{AB}$; start from $OA = OC$ and chase angles.)

예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. $\angle A = 40°$일 때 $\angle BOC$를 구하여라.

Let $O$ be the circumcenter of acute triangle $ABC$. If $\angle A = 40°$, find $\angle BOC$.

어떤 삼각형의 외심과 내심이 같은 점이라 하자. 이 삼각형이 정삼각형임을 증명하여라.

Suppose a triangle's circumcenter and incenter are the same point. Prove the triangle is equilateral.