좌표 증명Coordinate Proofs · 문제집Worksheet

직선 $AB$는 $A(1, 2)$, $B(4, 8)$을 지나고, 직선 $CD$는 $C(0, 5)$, $D(3, 11)$을, 직선 $EF$는 $E(2, 0)$, $F(6, -2)$를 지난다. $AB$와 $CD$, $AB$와 $EF$의 관계를 각각 판별하여라.

Line $AB$ passes through $A(1, 2)$, $B(4, 8)$; line $CD$ through $C(0, 5)$, $D(3, 11)$; line $EF$ through $E(2, 0)$, $F(6, -2)$. Determine how $AB$ relates to $CD$, and to $EF$.

세 점 $A(1, 1)$, $B(3, 5)$, $C(6, 11)$이 한 직선 위에 있는지 판별하여라.

Decide whether $A(1, 1)$, $B(3, 5)$, $C(6, 11)$ are collinear.

세 점 $A(2, 1)$, $B(5, 3)$, $C(3, 6)$으로 만든 삼각형에서 $\angle B$가 직각임을 기울기로 보여라.

Show by slopes that $\angle B$ is a right angle in the triangle $A(2, 1)$, $B(5, 3)$, $C(3, 6)$.

이등변삼각형에 관한 정리를 좌표로 증명하려 한다. 일반성을 잃지 않는 좌표 배치를 제시하고, 그 배치가 왜 모든 이등변삼각형을 대표하는지, 어떤 배치가 왜 일반성을 잃는지 설명하여라.

You want to prove a theorem about isosceles triangles in coordinates. Present a placement that loses no generality, explain why it represents every isosceles triangle, and give an example of a placement that fails and why.

"직각삼각형에서 빗변의 중선은 빗변의 절반이다"를 좌표로 재증명하여라.

Reprove in coordinates: "in a right triangle, the median to the hypotenuse is half the hypotenuse."

"마름모의 두 대각선은 수직이다"를 좌표로 재증명하여라. 마름모를 $A(0,0)$, $B(a, 0)$, $C(a+c, d)$, $D(c, d)$로 놓고 시작하라.

Reprove in coordinates: "a rhombus's diagonals are perpendicular." Start from the placement $A(0,0)$, $B(a, 0)$, $C(a+c, d)$, $D(c, d)$.

세 꼭짓점이 $(0, 0)$, $(6, 0)$, $(2, 4)$인 삼각형의 외심의 좌표를 구하여라.

Find the circumcenter of the triangle with vertices $(0, 0)$, $(6, 0)$, $(2, 4)$.

평행사변형 $ABCD$에서 $A(1, 2)$, $B(6, 3)$, $C(4, 7)$이다. 꼭짓점 $D$의 좌표를 구하여라.

In parallelogram $ABCD$, $A(1, 2)$, $B(6, 3)$, $C(4, 7)$. Find $D$.

"등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 같다"를 좌표로 재증명하여라. 배치의 일반성도 밝혀라.

Reprove in coordinates: "an isosceles trapezoid's diagonals are equal." Justify your placement's generality.

세 꼭짓점이 $(2, 3)$, $(8, 1)$, $(4, 7)$인 삼각형의 세 변의 중점을 이어 중점삼각형을 만들었다. 중점삼각형의 둘레를 구하고, 원래 삼각형 둘레의 절반임을 확인하여라.

The midpoints of the sides of the triangle $(2, 3)$, $(8, 1)$, $(4, 7)$ form the medial triangle. Find its perimeter and confirm it is half the original's.

바리뇽의 정리 — 임의의 사각형 $ABCD$의 네 변의 중점을 순서대로 이으면 평행사변형이 됨을 좌표로 증명하여라.

Varignon's theorem — Prove in coordinates that joining the midpoints of the sides of any quadrilateral $ABCD$, in order, produces a parallelogram.

세 꼭짓점이 $(0, 0)$, $(6, 0)$, $(2, 4)$인 삼각형에서 외심 $O$, 무게중심 $G$, 수심 $H$의 좌표를 각각 구하고, 세 점이 한 직선 위에 있으며 $OG : GH = 1 : 2$임을 확인하여라.

For the triangle $(0, 0)$, $(6, 0)$, $(2, 4)$, find the circumcenter $O$, centroid $G$, and orthocenter $H$, then confirm the three are collinear with $OG : GH = 1 : 2$.

오일러 직선 — 임의의 삼각형에서 외심 $O$, 무게중심 $G$, 수심 $H$가 한 직선 위에 있고 $OG : GH = 1 : 2$임을 좌표로 증명하여라.

The Euler line — Prove in coordinates that in any triangle the circumcenter $O$, centroid $G$, and orthocenter $H$ are collinear with $OG : GH = 1 : 2$.