합성과 역함수 심화Composition & Inverses, Deepened · 문제집Worksheet

$f(x) = 2x + 1$, $g(x) = x^2$에 대해 $(f \circ g)(x)$와 $(g \circ f)(x)$를 구하고 비교하여라.

For $f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2$, find and compare $(f \circ g)(x)$ and $(g \circ f)(x)$.

$f(x) = \sqrt x$, $g(x) = x - 3$일 때 $(f \circ g)(x)$의 식과 정의역을 구하여라.

For $f(x) = \sqrt x$ and $g(x) = x - 3$, find $(f \circ g)(x)$ and its domain.

$h(x) = (x + 5)^3$을 안 함수 $g$와 바깥 함수 $f$의 합성 $f \circ g$로 분해하여라.

Decompose $h(x) = (x + 5)^3$ as a composition $f \circ g$ of an inner $g$ and outer $f$.

$f(x) = \sqrt x$, $g(x) = \dfrac1{x - 2}$일 때 $(f \circ g)(x)$의 정의역을 구하여라.

For $f(x) = \sqrt x$ and $g(x) = \dfrac1{x - 2}$, find the domain of $(f \circ g)(x)$.

$f(x) = x^2$ ($x \ge 0$으로 제한), $f^{-1}(x) = \sqrt x$에 대해 $f(f^{-1}(x))$와 $f^{-1}(f(x))$를 각각 계산하고, 제한을 잊은 채 $x = -3$을 넣으면 어느 쪽 왕복이 왜 무너지는지 설명하여라.

For $f(x) = x^2$ (restricted to $x \ge 0$) and $f^{-1}(x) = \sqrt x$, compute $f(f^{-1}(x))$ and $f^{-1}(f(x))$, then explain which round trip collapses — and why — if the restriction is forgotten and $x = -3$ is fed in.

$f(x) = (x - 2)^2$을 $x \ge 2$로 제한하여 역함수를 구하고, 왕복으로 검산하여라.

Restrict $f(x) = (x - 2)^2$ to $x \ge 2$, find the inverse, and verify by a round trip.

$f(x) = 2x - 3$이고 $(f \circ g)(x) = 4x + 1$일 때 $g(x)$를 구하고, $(g \circ f)(x)$도 계산해 두 합성이 다름을 확인하여라.

Given $f(x) = 2x - 3$ and $(f \circ g)(x) = 4x + 1$, find $g(x)$, then compute $(g \circ f)(x)$ to confirm the two composites differ.

$f$, $g$가 모두 역함수를 가질 때

임을 합성으로 증명하여라.

For invertible $f$ and $g$, prove by composition that

$f(x) = x^3 - x$와 $g(x) = x^3 + x$ 중 역함수를 가질 수 있는 것은 어느 쪽인가 — 판정과 근거를 제시하여라.

Which of $f(x) = x^3 - x$ and $g(x) = x^3 + x$ can have an inverse — verdicts with reasons.

$f(x) = \dfrac{2x + 3}{x - 2}$가 자기 자신의 역함수임을 — 곧 $(f \circ f)(x) = x$임을 — 계산으로 증명하고, 그래프의 대칭으로 해석하여라.

Prove that $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x - 2}$ is its own inverse — that is, $(f \circ f)(x) = x$ — by computation, and interpret via the graph's symmetry.

$f$가 증가함수이면 $y = f(x)$와 $y = f^{-1}(x)$의 교점이 모두 직선 $y = x$ 위에 있음을 증명하고, 감소함수에서는 성립하지 않는 반례를 들어라.

Prove that when $f$ is increasing, every intersection of $y = f(x)$ and $y = f^{-1}(x)$ lies on the line $y = x$ — and give a decreasing counterexample.

$f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$을 거듭 합성한다: $f^2 = f \circ f$, $f^3 = f \circ f \circ f$, …. $f^n(x)$의 일반식을 추측해 $n = 3$까지 확인하고, $f^{10}(1)$을 구하여라.

Iterate $f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$: $f^2 = f \circ f$, $f^3 = f \circ f \circ f$, …. Conjecture the general $f^n(x)$, verify through $n = 3$, and find $f^{10}(1)$.

$f(f(x)) = 4x + 3$을 만족하는 일차함수 $f$를 모두 구하여라.

Find every linear function $f$ satisfying $f(f(x)) = 4x + 3$.