합성과 역함수 심화Composition & Inverses, Deepened

$x = 1$만 넣어도 $3 \ne 9$ — 합성은 순서에 민감하다.

Even $x = 1$ separates them: $3 \ne 9$ — composition is order-sensitive.

첫 관문: $g$는 모든 실수를 받는다. 둘째 관문: $g(x) = x - 3$이 $f$의 정의역($\ge 0$)에 들어야 하므로

First gate: $g$ accepts every real. Second gate: $g(x) = x - 3$ must enter $f$'s domain ($\ge 0$):

마지막에 하는 연산이 세제곱 — 그것이 바깥 함수다:

분해는 유일하지 않다 — $g(x) = x$, $f(x) = (x+5)^3$도 형식상 합성이지만 아무것도 벗기지 못한 분해다. "속이 한 겹 단순해지는" 분해가 쓸모 있는 분해다.

The operation performed last is the cube — that is the outer function:

Decompositions aren't unique — $g(x) = x$, $f(x) = (x+5)^3$ is formally a composition that peels nothing. A useful decomposition leaves the inside one layer simpler.

두 관문:

• $g$의 정의역: $x \ne 2$
• $g(x) = \dfrac1{x-2}$가 $f$의 정의역에: $\dfrac1{x - 2} \ge 0 \Rightarrow x - 2 > 0$ (분수가 $0$이 될 수는 없으므로 등호 불가)

합치면 $x > 2$.

검산: $x = 3$에서 $\sqrt1 = 1$ ✓; $x = 1$에서 $\sqrt{-1}$ — 정의 안 됨 ✓. 유리 부등식(지난 차시)이 합성 정의역의 관문 통과에 그대로 쓰였다.

Two gates:

• $g$'s domain: $x \ne 2$
• $g(x) = \dfrac1{x-2}$ must enter $f$'s domain: $\dfrac1{x - 2} \ge 0 \Rightarrow x - 2 > 0$ (a fraction with numerator $1$ is never $0$, so no equality)

Together: $x > 2$.

Check: $x = 3$ gives $\sqrt1 = 1$ ✓; $x = 1$ gives $\sqrt{-1}$ — undefined ✓. Last lesson's rational inequalities, reporting for gate duty.

바깥 왕복: $f(f^{-1}(x)) = (\sqrt x)^2 = x$ — 단 $\sqrt x$가 정의되는 $x \ge 0$에서만 묻는 것이 애초에 가능하다.

안쪽 왕복: $f^{-1}(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$ — 제한 구역($x \ge 0$) 안에서는 $|x| = x$로 완전한 왕복이지만, 제한을 잊고 $x = -3$을 넣으면

— 되돌아오지 못한다. 이유: $f$가 $-3$과 $3$을 같은 곳($9$)으로 보내므로, 돌아오는 길은 하나를 고를 수밖에 없고 $\sqrt{\ }$는 양수 쪽을 고른다. 일대일이 아닌 함수의 정보 손실 — 역함수에 정의역 제한이 계약 조건인 이유이고, $\sqrt{x^2} = |x|$가 공식으로 남는 이유다.

Outer trip: $f(f^{-1}(x)) = (\sqrt x)^2 = x$ — askable only for $x \ge 0$ in the first place, where $\sqrt x$ exists.

Inner trip: $f^{-1}(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$ — inside the restricted zone ($x \ge 0$) this is $|x| = x$, a perfect round trip; but forget the restriction and feed $x = -3$:

— no return. The reason: $f$ sends $-3$ and $3$ to the same place ($9$), so the road back must choose one, and $\sqrt{\ }$ chooses the positive. Information loss in a non-one-to-one function — why domain restriction is the inverse's contract clause, and why $\sqrt{x^2} = |x|$ stays a formula.

$y = (x - 2)^2$에서 $x \ge 2$이므로 $x - 2 \ge 0$ — 제곱을 벗길 때 양의 근을 택한다:

검산: $f(f^{-1}(x)) = (2 + \sqrt x - 2)^2 = x$ ✓, $f^{-1}(f(3)) = 2 + \sqrt1 = 3$ ✓.

제한을 $x \le 2$로 잡았다면 $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt x$ — 어느 반쪽을 고르느냐가 역함수를 정한다: 포물선 한 팔마다 역함수 하나.

In $y = (x - 2)^2$ with $x \ge 2$, we have $x - 2 \ge 0$ — peel the square with the positive root:

Check: $f(f^{-1}(x)) = (2 + \sqrt x - 2)^2 = x$ ✓, and $f^{-1}(f(3)) = 2 + \sqrt1 = 3$ ✓.

Restricting to $x \le 2$ instead gives $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt x$ — the chosen half determines the inverse: one arm of the parabola, one inverse each.

$f(g(x)) = 2g(x) - 3 = 4x + 1$에서

검산: $2(2x+2) - 3 = 4x + 1$ ✓. 한편

— 같은 두 부품, 다른 순서, 다른 결과. 바깥이 알려진 합성 방정식은 "바깥 함수를 벗기는" 일차방정식으로 풀린다($g$가 바깥이라면 $g(2x-3) = 4x+1$에서 치환 $u = 2x-3$로 푼다 — 방향에 따라 벗기는 기술이 다르다).

From $f(g(x)) = 2g(x) - 3 = 4x + 1$:

Check: $2(2x+2) - 3 = 4x + 1$ ✓. Meanwhile

— same parts, different order, different result. When the outer function is known, the composition equation unwraps like a linear equation (were $g$ the outer one, $g(2x-3) = 4x+1$ would call for the substitution $u = 2x-3$ — the peeling technique depends on the direction).

역함수의 정의는 "합성하면 항등"이다 — 후보 $h = g^{-1} \circ f^{-1}$를 양쪽에서 합성해 본다.

한 방향:

— 안쪽에서 $g \circ g^{-1}$가 먼저 지워지고, 남은 $f \circ f^{-1}$가 지워진다.

반대 방향:

두 방향 모두 항등 — $h$가 $(f \circ g)^{-1}$이다. $\blacksquare$

순서가 뒤집히는 이유가 증명에 그대로 보인다: 지우기는 안쪽부터 일어나므로, 마지막에 입은 $f$를 먼저 벗겨야 그 안의 $g$에 닿는다 — 양말과 신발의 순서다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 역함수의 정의(합성 = 항등) 사용 (1점)
• 한 방향 합성 계산 (1점)
• 반대 방향까지 완성 (1점)

An inverse is defined by "composing gives the identity" — test the candidate $h = g^{-1} \circ f^{-1}$ from both sides.

One direction:

— innermost first, $g \circ g^{-1}$ cancels, then $f \circ f^{-1}$.

The other:

Identity both ways — $h$ is $(f \circ g)^{-1}$. $\blacksquare$

The proof displays why the order reverses: cancellation happens from the inside, so the last layer donned, $f$, must come off first to reach the $g$ beneath — socks and shoes.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Using the definition (composition = identity) (1 pt)
• One direction computed (1 pt)
• The other direction completed (1 pt)

$f$의 탈락: $f(0) = 0$, $f(1) = 0$, $f(-1) = 0$ — 세 입력이 같은 출력으로 겹친다. 수평선 $y = 0$이 그래프를 세 번 지나므로 일대일이 아니고, 역함수가 없다(정의역 제한 없이는).

$g$의 합격: $x_1 < x_2$이면 $x_1^3 < x_2^3$이고(세제곱은 증가) $x_1 < x_2$ — 증가함수 둘의 합은 증가함수:

증가함수는 다른 입력을 항상 다른 출력으로 보내므로 일대일 — 역함수가 존재한다. (그 역함수를 닫힌 식으로 쓰는 것은 어렵지만, 존재는 이 논증만으로 확정된다 — 존재와 공식은 별개다.)

"증가 $+$ 증가 $=$ 증가"는 미분 없이 단조성을 판정하는 기본 레퍼토리다 — $x^3 - x$는 증가($x^3$)와 감소($-x$)의 합이라 이 논법이 통하지 않았고, 실제로 일대일이 아니었다.

$f$ fails: $f(0) = 0$, $f(1) = 0$, $f(-1) = 0$ — three inputs collide at one output. The horizontal line $y = 0$ crosses the graph three times: not one-to-one, no inverse (without restricting).

$g$ passes: if $x_1 < x_2$ then $x_1^3 < x_2^3$ (cubing increases) and $x_1 < x_2$ — a sum of increasing functions increases:

An increasing function sends distinct inputs to distinct outputs — one-to-one, inverse exists. (Writing that inverse in closed form is hard, but its existence is settled by this argument alone — existence and formula are separate matters.)

"Increasing $+$ increasing $=$ increasing" is the basic no-calculus monotonicity repertoire — $x^3 - x$, a sum of increasing ($x^3$) and decreasing ($-x$), escaped the argument, and indeed failed to be one-to-one.

합성을 직접 계산한다 ($x \ne 2$에서):

(분자: $4x + 6 + 3x - 6 = 7x$, 분모: $2x + 3 - 2x + 4 = 7$ — $x - 2$는 약분.)

해석: $f = f^{-1}$이므로 그래프는 자기 자신과 $y = x$ 대칭 — 곧 $y = x$에 대해 대칭인 곡선이다. 실제로 이 함수는 $y = 2 + \dfrac7{x-2}$: 중심 $(2, 2)$가 $y = x$ 위에 있는 이동된 반비례 곡선이라 대칭이 성립한다.

이런 자기역함수(대합)는 "두 번 적용하면 제자리" — $\dfrac1x$, $-x$, $a - x$가 같은 가족이고, 다음 문제(p11)의 반례 공급원이기도 하다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 합성 계산 (1점)
• 약분·정리로 $x$ 도출 (1점)
• $y = x$ 대칭 해석 (1점)

Compute the composition directly (for $x \ne 2$):

(Numerator: $4x + 6 + 3x - 6 = 7x$; denominator: $2x + 3 - 2x + 4 = 7$ — the $x-2$ cancels.)

Interpretation: $f = f^{-1}$ means the graph is its own mirror across $y = x$ — a curve symmetric in $y = x$. Indeed $f = 2 + \dfrac7{x-2}$: a shifted reciprocal whose center $(2, 2)$ sits on $y = x$, which grants the symmetry.

Such self-inverses (involutions) return home in two applications — $\dfrac1x$, $-x$, $a - x$ are the same family, and they supply the next problem's counterexample (p11).

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The composition computed (1 pt)
• Cancellation to $x$ (1 pt)
• The $y = x$ symmetry reading (1 pt)

$(a, b)$가 두 그래프의 교점이라 하자: $b = f(a)$이고 $b = f^{-1}(a)$, 후자는 $a = f(b)$라는 뜻이다.

$a \ne b$라 가정하자 — $a < b$라면 $f$의 증가성으로

— 모순. $a > b$도 대칭으로 모순. 그러므로 $a = b$: 교점은 $(a, a)$, 곧 $y = x$ 위다. $\blacksquare$

감소 반례: $f(x) = \dfrac1x$은 자기 자신이 역함수($f = f^{-1}$) — 두 그래프가 같은 곡선이라 곡선 위 모든 점이 교점인데, $(2, \frac12)$처럼 $y = x$ 밖의 점이 수두룩하다.

"교점은 $y = x$ 위"라는 통념은 증가함수 전용 정리였던 것 — 반례 하나가 정리의 가정을 선명하게 만든다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 교점 조건의 번역 ($b = f(a)$, $a = f(b)$) (1점)
• 증가성 모순 논증 (1점)
• 감소 반례 (1점)

Let $(a, b)$ be a common point: $b = f(a)$ and $b = f^{-1}(a)$, the latter meaning $a = f(b)$.

Suppose $a \ne b$ — if $a < b$, monotonicity gives

— contradiction. The case $a > b$ mirrors it. Hence $a = b$: the intersection is $(a, a)$, on $y = x$. $\blacksquare$

Decreasing counterexample: $f(x) = \dfrac1x$ is its own inverse ($f = f^{-1}$) — the two graphs are one curve, so every point of it is an intersection, including hordes off the line, like $(2, \frac12)$.

The folklore "intersections lie on $y = x$" was an increasing-functions-only theorem — one counterexample sharpens the hypothesis.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Translating the intersection ($b = f(a)$, $a = f(b)$) (1 pt)
• The monotonicity contradiction (1 pt)
• The decreasing counterexample (1 pt)

추측: $f^n(x) = \dfrac{x}{nx + 1}$. $n = 3$ 확인:

(같은 계산이 $n$에서 $n+1$로 그대로 반복된다 — $\frac{x}{nx+1}$에 $f$를 씌우면 분모가 $x + (nx+1) = (n+1)x + 1$: 수학적 귀납법의 골격이고, 정식 도장은 U6에서 찍는다.)

검산(수치): $f(1) = \frac12, f^2(1) = \frac13, f^3(1) = \frac14, \dots$ — 분모가 하나씩 늘어난다 ✓.

Conjecture: $f^n(x) = \dfrac{x}{nx + 1}$. Verify $n = 3$:

(The same computation repeats verbatim from $n$ to $n+1$ — applying $f$ to $\frac{x}{nx+1}$ turns the denominator into $x + (nx+1) = (n+1)x + 1$: the skeleton of mathematical induction, officially stamped in U6.)

Numeric check: $f(1) = \frac12, f^2(1) = \frac13, f^3(1) = \frac14, \dots$ — the denominator ticks up by one ✓.

$f(x) = ax + b$로 놓고 합성해 계수를 비교하라 — 답이 하나가 아니다.

Set $f(x) = ax + b$, compose, compare coefficients — the answer is not unique.

$f(x) = ax + b$로 두고 합성: