배각과 반각Double & Half Angles · 문제집Worksheet

$\alpha$가 1사분면의 각이고 $\sin\alpha = \dfrac35$일 때, $\sin 2\alpha$를 구하여라.

With $\alpha$ in quadrant I and $\sin\alpha = \dfrac35$, find $\sin 2\alpha$.

$\cos\alpha = \dfrac13$일 때, $\cos 2\alpha$를 구하여라 — 세 얼굴 중 어느 것을 쓰는 게 빠른가?

Given $\cos\alpha = \dfrac13$, find $\cos 2\alpha$ — which of the three faces is fastest?

$\sin 15° \cos 15°$의 값을 구하여라.

Evaluate $\sin 15° \cos 15°$.

덧셈정리에서 배각 공식 세 개를 유도하고, $\cos 2\alpha$의 나머지 두 얼굴을 피타고라스로 끌어내어라.

Derive the three double-angle formulas from the addition formulas, then extract $\cos 2\alpha$'s other two faces via Pythagoras.

반각 공식

를 유도하고, 제곱근을 벗길 때 부호를 정하는 기준을 밝혀라.

Derive the half-angle formulas

and state the criterion for the sign when unrooting.

$\cos 22.5°$의 정확한 값을 구하여라.

Find the exact value of $\cos 22.5°$.

$\tan\alpha = 2$일 때 $\tan 2\alpha$를 구하고, 결과가 음수인 이유를 그래프 감각으로 설명하여라.

Given $\tan\alpha = 2$, find $\tan 2\alpha$ and explain graphically why it is negative.

제곱 낮추기 $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$를 사용해 $y = \sin^2 x$의 주기·중심선·진폭을 읽고, $|\sin x|$의 주기가 $\pi$였던 사실과 연결하여라.

Use power reduction $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ to read the period, midline, and amplitude of $y = \sin^2 x$, connecting with the fact that $|\sin x|$ had period $\pi$.

포물체의 사거리가 $R = \dfrac{v^2}{g}\sin 2\theta$ 꼴일 때, $(1)$ 사거리를 최대로 하는 발사각과 $(2)$ $30°$와 같은 사거리를 주는 다른 발사각을 구하여라.

With projectile range $R = \dfrac{v^2}{g}\sin 2\theta$, find $(1)$ the launch angle maximizing range and $(2)$ the other launch angle matching $30°$'s range.

삼배각 공식

를 덧셈정리와 배각으로 유도하여라.

Derive the triple-angle formula

from the addition and double-angle formulas.

$\sin\theta \ne 0$일 때

임을 증명하여라.

For $\sin\theta \ne 0$, prove

$\cos 36° \cos 72° = \dfrac14$임을 — $\cos 36°$의 값을 쓰지 말고, p11의 망원경 기법만으로 — 증명하여라.

Prove $\cos 36° \cos 72° = \dfrac14$ — without using the value of $\cos 36°$, by p11's telescoping technique alone.

수열 $a_1 = \sqrt2$, $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$에 대해

임을 반각(배각) 공식으로 증명하여라 — 곧 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt2}} = 2\cos 11.25°$ 같은 중첩 근호의 정체를 밝혀라.

For the sequence $a_1 = \sqrt2$, $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$, prove by the half-angle (double-angle) formula that

— unmasking nested radicals like $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt2}} = 2\cos 11.25°$.