배각과 반각Double & Half Angles

$\cos\alpha = \dfrac45$ (1사분면):

$\cos\alpha = \dfrac45$ (quadrant I):

$\cos$만 알므로 $\cos$만의 얼굴을 고른다:

$\sin$을 경유하는 얼굴이었다면 피타고라스 한 번을 더 지나야 했다 — 얼굴 선택이 곧 시간이다. (덤: 사분면 정보 없이도 답이 하나 — $\cos^2$만 쓰기 때문.)

Knowing only $\cos$, pick the all-cosine face:

A face routed through $\sin$ would cost an extra Pythagorean trade — face selection is time. (Bonus: no quadrant needed — only $\cos^2$ appears, so the answer is unique.)

배각 공식을 거꾸로 읽는다 — $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$에서

$15°$의 정확값을 꺼낼 필요가 없다 — 곱이 배각의 절반임을 알아보는 눈이 전부다.

Read the double angle backwards — from $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$,

No need to unpack $15°$'s exact values — recognizing the product as half a double angle is the whole game.

덧셈정리에 $\beta = \alpha$:

두 얼굴 — $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$에 피타고라스를 두 방향으로 넣는다:

새로 외울 것이 없다는 것이 요점 — 배각은 덧셈정리의 그림자이고, 세 얼굴은 피타고라스의 손질이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $\beta = \alpha$ 특수화 셋 (1점)
• 첫 교환 (1점)
• 둘째 교환 (1점)

Set $\beta = \alpha$ in the addition formulas:

The two faces — feed Pythagoras into $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ both ways:

The point is that nothing new needs memorizing — double angles are the addition formulas' shadow, and the three faces are Pythagoras's grooming.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The three $\beta = \alpha$ specializations (1 pt)
• The first trade (1 pt)
• The second trade (1 pt)

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$를 $\sin^2\theta$에 대해 풀면

$\theta = \dfrac\alpha2$로 바꾸면($2\theta = \alpha$)

같은 절차를 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$에 쓰면 $\cos^2\dfrac\alpha2 = \dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$. $\blacksquare$

부호: 제곱근을 벗기면 $\pm$가 남는다 — 결정하는 것은 $\dfrac\alpha2$가 놓인 사분면이다. 예: $\alpha = 300°$이면 $\dfrac\alpha2 = 150°$은 2사분면 — $\sin\dfrac\alpha2 > 0$, $\cos\dfrac\alpha2 < 0$. $\alpha$의 사분면(4사분면)을 보면 틀린다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $\sin^2$ 풀이와 치환 (1점)
• $\cos^2$ 판 (1점)
• 부호 기준($\frac\alpha2$의 사분면) (1점)

Solve $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ for $\sin^2\theta$:

Substitute $\theta = \dfrac\alpha2$ (so $2\theta = \alpha$):

The same procedure on $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ yields $\cos^2\dfrac\alpha2 = \dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$. $\blacksquare$

The sign: unrooting leaves $\pm$ — decided by the quadrant of $\dfrac\alpha2$. Example: $\alpha = 300°$ puts $\dfrac\alpha2 = 150°$ in quadrant II — $\sin\dfrac\alpha2 > 0$, $\cos\dfrac\alpha2 < 0$. Consulting $\alpha$'s own quadrant (IV) would mislead.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Solving for $\sin^2$ and substituting (1 pt)
• The $\cos^2$ version (1 pt)
• The sign criterion (quadrant of $\frac\alpha2$) (1 pt)

반각 공식($22.5° = \frac{45°}2$, 1사분면이라 $+$):

검산: $\cos 22.5°$는 $\cos 30° \approx 0.866$과 $\cos 0° = 1$ 사이 ✓.

The half-angle formula ($22.5° = \frac{45°}2$, quadrant I so $+$):

Check: $\cos 22.5°$ sits between $\cos 30° \approx 0.866$ and $\cos 0° = 1$ ✓.

음수인 이유: $\tan\alpha = 2$면 $\alpha \approx 63.4°$(1사분면 기준) — 두 배는 $2\alpha \approx 126.9°$로 2사분면이고, 거기서 $\tan < 0$이다. 각을 두 배 하면 사분면이 넘어갈 수 있다 — 공식의 부호가 그 이사를 자동으로 처리한 것.

Why negative: $\tan\alpha = 2$ puts $\alpha \approx 63.4°$ (taking quadrant I) — doubling gives $2\alpha \approx 126.9°$, in quadrant II, where tangent is negative. Doubling an angle can cross quadrant lines — the formula's sign handled the move automatically.

공식이 $\sin^2 x$를 변환된 코사인으로 다시 쓴다:

— 중심선 $y = \dfrac12$, 진폭 $\dfrac12$, 주기 $\dfrac{2\pi}2 = \pi$, 그리고 $\cos$ 앞의 $-$는 골이 $x = 0$에 오게 한다($\sin^2 0 = 0$ ✓, 최대 $1$은 $x = \frac\pi2$에서 ✓).

$|\sin x|$와의 연결: 제곱과 절댓값 모두 음의 반파를 위로 접는다 — 접는 순간 아래위 반파가 같은 모양이 되어 주기가 $2\pi$에서 $\pi$로 준다. $|\sin x|$ 때는 영점 간격 논증으로 보였던 사실이, $\sin^2 x$에서는 공식이 직접 $\cos 2x$(주기 $\pi$)를 보여 준다. 같은 현상, 두 증명 — 그리고 제곱 쪽은 모서리 없이 매끈하다는 것이 둘의 차이다.

The formula rewrites $\sin^2 x$ as a transformed cosine:

— midline $y = \dfrac12$, amplitude $\dfrac12$, period $\dfrac{2\pi}2 = \pi$, and the minus before $\cos$ places a trough at $x = 0$ ($\sin^2 0 = 0$ ✓, maximum $1$ at $x = \frac\pi2$ ✓).

The link to $|\sin x|$: squaring and absolute value both fold the negative half-waves upward — once folded, all half-waves match and the period drops from $2\pi$ to $\pi$. For $|\sin x|$ this was shown by the zero-spacing argument; for $\sin^2 x$ the formula itself displays $\cos 2x$ (period $\pi$). One phenomenon, two proofs — with the squared version smooth where the absolute value had corners.

$(1)$ $\sin 2\theta$의 최대는 $1$ — $2\theta = 90°$, 곧 $\theta = 45°$.

$(2)$ 보각 공식 $\sin 2\theta = \sin(180° - 2\theta)$이므로 $2\theta = 60°$과 $2\theta = 120°$가 같은 값 — $\theta = 30°$과

두 각은 $45°$에 대해 대칭($45° \pm 15°$) — 낮게 빠르게 vs 높게 느리게, 같은 지점에 떨어진다. 배각과 보각, 두 공식이 던지기의 전 전략을 요약한다.

$(1)$ $\sin 2\theta$ peaks at $1$ — $2\theta = 90°$, i.e. $\theta = 45°$.

$(2)$ By the supplement identity $\sin 2\theta = \sin(180° - 2\theta)$, the values at $2\theta = 60°$ and $2\theta = 120°$ agree — $\theta = 30°$ and

The two angles mirror about $45°$ ($45° \pm 15°$) — low and fast versus high and slow, landing on the same spot. Double angle plus supplement: two formulas summarizing the entire strategy of throwing.

$3\alpha = 2\alpha + \alpha$로 가른다:

배각을 넣는다 — $\cos 2\alpha$는 $\sin$만의 얼굴로:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$로 교환하고 정리하면

검산: $\alpha = 30°$에서 좌변 $\sin 90° = 1$, 우변 $3 \cdot \frac12 - 4 \cdot \frac18 = \frac32 - \frac12 = 1$ ✓.

지난 차시 $\cos 36°$ 유도에서 조립해 썼던 그 식의 정식 명명이다 — $\sin$만으로 닫히는 것($\cos$ 없음!)이 이 공식의 쓸모이고, 삼차방정식과 각의 삼등분이 얽히는 이야기(작도 불능)의 입구이기도 하다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $2\alpha + \alpha$ 분해 (1점)
• 배각 대입(얼굴 선택 포함) (1점)
• 피타고라스 정리·정리 (1점)

Split $3\alpha = 2\alpha + \alpha$:

Insert the double angles — choosing $\cos 2\alpha$'s all-sine face:

Trade $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ and collect:

Check: $\alpha = 30°$ gives left $\sin 90° = 1$, right $3 \cdot \frac12 - 4 \cdot \frac18 = 1$ ✓.

The formula assembled on the fly for last lesson's $\cos 36°$, now formally christened — its virtue is closing in sine alone (no cosine!), and it is the doorway to the tale entangling cubics with angle trisection (the impossibility of the construction).

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The $2\alpha + \alpha$ split (1 pt)
• Double-angle insertion (face choice included) (1 pt)
• The Pythagorean trade and cleanup (1 pt)

양변에 $\sin\theta$를 곱하고 $2\sin x\cos x = \sin 2x$를 연쇄로 적용하라.

Multiply by $\sin\theta$ and chain $2\sin x\cos x = \sin 2x$.

좌변에 $\sin\theta$를 곱하고 배각을 연쇄 적용한다:

— 매 단계에서 $\sin x \cos x = \frac12\sin 2x$가 각을 두 배로 밀어 올린다(망원경 곱). $\sin\theta \ne 0$으로 나누면

검산: $\theta = 60°$에서 좌변 $\frac12 \cdot \left(-\frac12\right) \cdot \left(-\frac12\right) = \frac18$, 우변 $\dfrac{\sin480°}{8\sin60°} = \dfrac{\sin120°}{8\sin60°} = \frac18$ ✓.

망원경 합(부분분수)의 곱셈판 — 항이 이웃을 지우는 대신, 배각이 각을 갑절로 접어 올린다. 인수를 $n$개로 늘려도 같은 연쇄가 통한다: $\cos\theta\cdots\cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin 2^n\theta}{2^n \sin\theta}$.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $\sin\theta$ 곱하기 설정 (1점)
• 배각 연쇄 (1점)
• 나눗셈 결론·검산 (1점)

Multiply the left side by $\sin\theta$ and chain the double angle:

— at each step $\sin x \cos x = \frac12\sin 2x$ folds the angle upward (a telescoping product). Divide by $\sin\theta \ne 0$:

Check: $\theta = 60°$ gives left $\frac12 \cdot \left(-\frac12\right) \cdot \left(-\frac12\right) = \frac18$ and right $\dfrac{\sin480°}{8\sin60°} = \dfrac{\sin120°}{8\sin60°} = \frac18$ ✓.

The multiplicative twin of telescoping sums (partial fractions) — instead of neighbors cancelling, the double angle folds angles double. The chain scales to $n$ factors: $\cos\theta\cdots\cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin 2^n\theta}{2^n \sin\theta}$.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The multiply-by-$\sin\theta$ setup (1 pt)
• The double-angle chain (1 pt)
• Division and check (1 pt)

$\theta = 36°$로 두고 $\sin 36°$을 곱한다:

그런데 보각 공식으로 $\sin 144° = \sin(180° - 36°) = \sin 36°$:

검산(값으로): $\cos 36° = \frac{1+\sqrt5}4$, $\cos 72° = 2\cos^2 36° - 1 = \frac{3+\sqrt5}8 \cdot 2 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ — 곱 $\frac{(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)}{16} = \frac{4}{16} = \frac14$ ✓.

망원경이 한 바퀴를 돌아 제자리($\sin 144° = \sin 36°$)로 오면서 미지의 곱이 상수로 떨어졌다 — $36°$가 $180°$의 $\frac15$이라는 산술이 마법의 전부다. 같은 수법으로 $\cos\frac\pi7\cos\frac{2\pi}7\cos\frac{3\pi}7 = \frac18$ 같은 명제들도 쓰러진다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $\sin 36°$ 곱하기와 배각 연쇄 (1점)
• $\sin 144° = \sin 36°$ 보각 (1점)
• 약분 결론 (1점)

Set $\theta = 36°$ and multiply by $\sin 36°$:

But the supplement identity gives $\sin 144° = \sin(180° - 36°) = \sin 36°$:

Check (by values): $\cos 36° = \frac{1+\sqrt5}4$ and $\cos 72° = 2\cos^2 36° - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ — product $\frac{(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)}{16} = \frac4{16} = \frac14$ ✓.

The telescope circled back home ($\sin 144° = \sin 36°$), and an unknown product collapsed to a constant — the whole magic is the arithmetic that $36°$ is a fifth of $180°$. The same maneuver fells statements like $\cos\frac\pi7\cos\frac{2\pi}7\cos\frac{3\pi}7 = \frac18$.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Multiplying by $\sin 36°$; the double-angle chain (1 pt)
• The supplement step $\sin 144° = \sin 36°$ (1 pt)
• The cancellation conclusion (1 pt)

첫 항: $2\cos 45° = 2 \cdot \frac{\sqrt2}2 = \sqrt2 = a_1$ ✓.

이어지는 항 — $a_n = 2\cos\theta_n$ ($\theta_n = \frac{45°}{2^{n-1}}$)이라 하면

(반각 공식 $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$). 제곱근을 벗기면 — $\frac{\theta_n}2$는 예각이라 $\cos > 0$, $+$ 확정:

첫 항에서 시작해 같은 계산이 매 단계 반복되므로 모든 $n$에서 성립한다. $\blacksquare$

특수화: $a_3 = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt2}} = 2\cos 11.25°$ ✓ — 중첩 근호의 층수가 각의 반감 횟수다.

덤: $n \to \infty$에서 $\theta_n \to 0$이므로 $a_n \to 2\cos 0 = 2$ — 무리방정식 단원의 "무한 중첩 근호 $\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}} = 2$"가 삼각함수의 옷을 입고 재증명됐다. 수열·반각·중첩 근호가 한 자리에 모인 그림이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 첫 항 확인 (1점)
• 반각 공식 재귀 단계 (1점)
• 부호 논거와 결론(+극한 관찰은 가산 없이 환영) (1점)

First term: $2\cos 45° = 2 \cdot \frac{\sqrt2}2 = \sqrt2 = a_1$ ✓.

The step — suppose $a_n = 2\cos\theta_n$ with $\theta_n = \frac{45°}{2^{n-1}}$. Then

(the half-angle identity $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$). Unroot — $\frac{\theta_n}2$ is acute, so $\cos > 0$ and $+$ is forced:

Starting from the first term, the same computation repeats at every stage, so the formula holds for all $n$. $\blacksquare$

Specializing: $a_3 = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt2}} = 2\cos 11.25°$ ✓ — the radical tower's height counts the angle's halvings.

Bonus: as $n \to \infty$, $\theta_n \to 0$ and $a_n \to 2\cos 0 = 2$ — the radical equations unit's "infinite nested radical $\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}} = 2$" reproved in trigonometric dress. Sequences, half angles, and nested radicals gathered in one picture.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The base check (1 pt)
• The half-angle recursion step (1 pt)
• The sign argument and conclusion (limit remark welcome) (1 pt)