로지스틱 성장Logistic Growth · 문제집Worksheet

$P(t) = \dfrac{1000}{1 + 9e^{-0.5t}}$에 대해 초기값 $P(0)$과 한계 용량 $L$을 구하여라.

For $P(t) = \dfrac{1000}{1 + 9e^{-0.5t}}$, find the initial value $P(0)$ and the carrying capacity $L$.

로지스틱 곡선 $P(t) = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$가 $L$을 넘을 수 없는 이유를 식에서 밝혀라.

Show from the formula why the logistic $P(t) = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$ can never exceed $L$.

$P(t) = \dfrac{500}{1 + 4e^{-t}}$가 $250$에 도달하는 시각을 구하여라.

When does $P(t) = \dfrac{500}{1 + 4e^{-t}}$ reach $250$?

$P(t) = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$ ($L, C, k > 0$)에 대해 다음을 유도하여라: $(1)$ 두 수평 점근선 $P = 0$과 $P = L$, $(2)$ $P$가 항상 증가함.

For $P(t) = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$ ($L, C, k > 0$), derive: $(1)$ the two horizontal asymptotes $P = 0$ and $P = L$; $(2)$ that $P$ always increases.

어느 마을(인구 $10000$명)에 독감이 돈다. 처음 감염자는 $100$명, 모델은 $P(t) = \dfrac{10000}{1 + Ce^{-0.4t}}$ ($t$: 일). $(1)$ $C$를 구하고 $(2)$ 감염자가 절반($5000$명)에 이르는 날을 구하여라. ($\ln 99 \approx 4.60$)

Flu spreads in a town of $10000$. Initially $100$ are infected, and $P(t) = \dfrac{10000}{1 + Ce^{-0.4t}}$ ($t$ in days). $(1)$ Find $C$; $(2)$ find the day infections reach half the town ($5000$). ($\ln 99 \approx 4.60$)

$C$가 클 때(초기값이 한계보다 훨씬 작을 때), 작은 $t$에서 로지스틱이 지수 모델 $\dfrac LC e^{kt}$처럼 행동함을 보이고, 반로그 그래프에서 이것이 어떻게 보일지 설명하여라.

Show that for large $C$ (initial value far below the ceiling), the logistic behaves like the exponential $\dfrac LC e^{kt}$ for small $t$, and describe how this looks on a semi-log chart.

어느 로지스틱 성장의 후반 관측값이 $950, 980, 992, 997$로 포화되고 있다. 한계 용량 $L$을 어림하고, 마지막 관측 시점에서 "남은 성장"이 전체의 몇 $\%$인지 구하여라.

Late observations of a logistic growth read $950, 980, 992, 997$, saturating. Estimate the carrying capacity $L$, and the "growth remaining" at the last observation as a percentage.

$P(t) = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$가 $P = \dfrac L2$인 시각 $t_0$을 중심으로 점대칭임을 증명하여라 — 곧 모든 $s$에 대해

Prove that $P(t) = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$ is point-symmetric about the time $t_0$ where $P = \dfrac L2$ — that is, for every $s$,

$P = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$를 $t$에 대해 풀어라 — "값이 $P$에 도달하는 시각" 공식을 만들어라.

Solve $P = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$ for $t$ — the "time to reach level $P$" formula.

로짓 변환: 로지스틱 $P = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$의 오즈 $\dfrac{P}{L - P}$가 $\dfrac1C e^{kt}$임을 보이고, 따라서

— $t$의 일차함수 — 임을 증명하여라.

The logit transform: show that the odds $\dfrac{P}{L - P}$ of the logistic $P = \dfrac{L}{1 + Ce^{-kt}}$ equal $\dfrac1C e^{kt}$, hence

— linear in $t$.

어느 신기술의 보급률이 로지스틱을 따른다: 출시 시점 $10\%$, $4$년 뒤 $50\%$. $(1)$ $C$와 $k$를 구하고 $(2)$ $90\%$에 도달하는 시점을 구하여라. ($L = 100\%$)

A new technology's adoption follows a logistic: $10\%$ at launch, $50\%$ four years later. $(1)$ Find $C$ and $k$; $(2)$ find when adoption reaches $90\%$. ($L = 100\%$)

p08의 대칭을 사용하여 다음 일반 정리를 증명하여라: 로지스틱 성장에서, 수준 $\alpha L$에서 $\dfrac L2$까지 걸리는 시간과 $\dfrac L2$에서 $(1 - \alpha)L$까지 걸리는 시간은 같다 ($0 < \alpha < \tfrac12$). — 예: $10\% \to 50\%$와 $50\% \to 90\%$.

Using p08's symmetry, prove the general theorem: in logistic growth, the time from level $\alpha L$ to $\dfrac L2$ equals the time from $\dfrac L2$ to $(1 - \alpha)L$ (for $0 < \alpha < \tfrac12$) — e.g. $10\% \to 50\%$ versus $50\% \to 90\%$.

관측 데이터: $t = 0, 1, 2, 3, 4$에서 $P = 100, 232, 451, 691, 858$ (한계 용량 $L = 1000$으로 추정). 오즈 $\dfrac{P}{1000 - P}$를 나열해 이 데이터가 로지스틱임을 판별하고, 성장 상수 $k$를 어림하여라. ($\ln 2.72 \approx 1$)

Observed data: $P = 100, 232, 451, 691, 858$ at $t = 0, 1, 2, 3, 4$ (capacity estimated at $L = 1000$). List the odds $\dfrac{P}{1000 - P}$ to diagnose the data as logistic, and estimate the growth constant $k$. ($\ln 2.72 \approx 1$)