자연상수 e와 자연로그The Natural Base e & Natural Logs · 문제집Worksheet

값을 구하여라.

Evaluate:

$1000$만 원을 연이율 $5\%$의 연속 복리로 $10$년 맡기면 얼마가 되는가? ($e^{0.5} \approx 1.6487$)

$\$10{,}000$ sits for $10$ years at $5\%$ annual interest, compounded continuously. How much results? ($e^{0.5} \approx 1.6487$)

$a_n = \left(1 + \dfrac1n\right)^n$의 $a_2$와 $a_4$를 분수로 계산하고, $a_2 < a_4$를 확인하여라.

Compute $a_2$ and $a_4$ of $a_n = \left(1 + \dfrac1n\right)^n$ as fractions, confirming $a_2 < a_4$.

이항정리를 사용하여, 모든 자연수 $n$에 대해

임을 증명하여라.

Using the binomial theorem, prove that for every natural number $n$,

치환 $m = \dfrac nr$을 사용하여 연속 복리 공식

을 유도하여라 ($r > 0$).

Using the substitution $m = \dfrac nr$, derive the continuous compounding formula

풀어라: $(1)\; e^{2x} = 5 \qquad (2)\; \ln(x - 1) = 2$

Solve: $(1)\; e^{2x} = 5 \qquad (2)\; \ln(x - 1) = 2$

연속 성장 $A = Pe^{rt}$의 배가 시간이 $t = \dfrac{\ln 2}{r}$임을 유도하고, 연 $7\%$ 연속 성장의 배가 시간을 구하여라. ($\ln 2 \approx 0.693$)

Derive the doubling time $t = \dfrac{\ln 2}{r}$ for continuous growth $A = Pe^{rt}$, and compute it for $7\%$ continuous annual growth. ($\ln 2 \approx 0.693$)

$\dfrac{e^h - 1}{h}$를 $h = 0.1, 0.01, 0.001$에서 계산하면 $1.0517, 1.0050, 1.0005$다. 이 수들이 무엇의 행선지를 보여 주며, 왜 그것이 $e$를 "자연스러운" 밑으로 만드는지 설명하여라. ($e^{0.1} \approx 1.10517$, $e^{0.01} \approx 1.0100502$, $e^{0.001} \approx 1.0010005$)

Computing $\dfrac{e^h - 1}{h}$ at $h = 0.1, 0.01, 0.001$ gives $1.0517, 1.0050, 1.0005$. Explain what these numbers are heading toward, and why that destination makes $e$ the "natural" base. ($e^{0.1} \approx 1.10517$, $e^{0.01} \approx 1.0100502$, $e^{0.001} \approx 1.0010005$)

$(1)$ 이항정리로 베르누이 부등식을 증명하여라: $t > 0$, 자연수 $n \ge 2$이면

$(2)$ 이로부터 $x > 0$일 때 $e^x > 1 + x$임을 끌어내어라.

$(1)$ Prove Bernoulli's inequality by the binomial theorem: for $t > 0$ and natural $n \ge 2$,

$(2)$ Deduce that $e^x > 1 + x$ for $x > 0$.

방사성 붕괴를 연속 모형 $N = N_0 e^{-\lambda t}$로 쓸 때, 반감기 $T$와 붕괴상수 $\lambda$ 사이의 관계를 유도하고, 탄소-14($T = 5730$년)의 $\lambda$를 구하여라. ($\ln 2 \approx 0.693$)

Writing radioactive decay continuously as $N = N_0 e^{-\lambda t}$, derive the relation between half-life $T$ and decay constant $\lambda$, and find $\lambda$ for carbon-14 ($T = 5730$ years). ($\ln 2 \approx 0.693$)

p04의 부등식 사슬에 등장한 합 $\displaystyle\sum_{k=0}^{5} \frac1{k!}$을 계산해 $e$의 근삿값을 얻고, 빠뜨린 꼬리가 $\dfrac1{500}$보다 작음을 보여 근사의 정확도를 보증하여라.

Compute the sum $\displaystyle\sum_{k=0}^{5} \frac1{k!}$ from p04's chain to approximate $e$, and show the omitted tail is below $\dfrac1{500}$, certifying the accuracy.

p09의 부등식 $e^x > 1 + x$ ($x > 0$)를 사용하여

임을 증명하여라.

Using p09's inequality $e^x > 1 + x$ ($x > 0$), prove

원금 $1000$만 원, 연이율 $5\%$로 $1$년 맡길 때 — $(1)$ 연 $1$회 복리, $(2)$ 매일 복리($n = 365$), $(3)$ 연속 복리의 결과를 비교하여라. 복리 빈도를 늘리는 이득의 "천장"은 무엇인가? ($e^{0.05} \approx 1.0512711$, $(1 + 0.05/365)^{365} \approx 1.0512675$)

$\$10{,}000$ sits one year at $5\%$: compare $(1)$ annual compounding, $(2)$ daily ($n = 365$), $(3)$ continuous. What is the "ceiling" on the benefit of compounding more often? ($e^{0.05} \approx 1.0512711$, $(1 + 0.05/365)^{365} \approx 1.0512675$)