자연상수 e와 자연로그The Natural Base e & Natural Logs

전부 로그의 왕복 항등식이다 — 밑이 $e$일 뿐:

All are the logarithm's round-trip identities — the base just happens to be $e$:

단리라면 $1500$만 — 이자의 이자가 매 순간 붙는 값이 $148.7$만 원의 차이를 만든다.

Simple interest would give $\$15{,}000$ — interest on interest, accruing every instant, makes the $\$1{,}487$ difference.

$2.25 < 2.4414$ ✓ — 더 자주 나눌수록 커지는 복리의 수열이고, 본문의 증명이 이 증가가 끝까지 계속되되 $3$을 못 넘음을 보장한다.

$2.25 < 2.4414$ ✓ — the compounding sequence grows with frequency, and the text's proof guarantees this growth continues forever yet never passes $3$.

전개의 각 항을 $\dfrac1{k!}$과 비교하고, $k! \ge 2^{k-1}$로 등비급수를 소환하라.

Compare each expansion term with $\dfrac1{k!}$, then summon a geometric series via $k! \ge 2^{k-1}$.

이항정리로 전개하고 일반항을 다듬는다:

한편 $k \ge 1$이면 $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k \ge 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2 = 2^{k-1}$. 그러므로

(마지막은 무한등비급수 — 유한 합은 그 합보다 작다.)

이항정리(전개), 등비급수(천장), 부등식 사슬 — 세 단원의 도구가 하나의 증명에 조립됐다. $e < 3$이 관찰이 아니라 정리가 되는 순간이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 일반항 $\le 1/k!$ (1점)
• $k! \ge 2^{k-1}$ (1점)
• 등비급수로 마무리 (1점)

Expand binomially and groom the general term:

Meanwhile for $k \ge 1$, $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k \ge 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2 = 2^{k-1}$. Hence

(The last step is the infinite geometric series — a finite sum stays below it.)

Binomial theorem (expansion), geometric series (ceiling), inequality chains — three units' tools assembled into one proof. The moment $e < 3$ stops being an observation and becomes a theorem.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• General term $\le 1/k!$ (1 pt)
• $k! \ge 2^{k-1}$ (1 pt)
• The geometric finish (1 pt)

$m = \dfrac nr$로 치환하면 $\dfrac rn = \dfrac1m$이고 $nt = mrt$이므로

$n \to \infty$이면 $m = \frac nr \to \infty$이고, 괄호 안은 $e$의 정의 그 자체로 $e$에 다가간다. 거듭제곱 $t \mapsto t^{rt}$는 연속이므로 전체는

로 다가간다 — 원금을 곱해 $A = Pe^{rt}$. $\blacksquare$

(치환의 요점: 일반 이율 $r$의 극한을 $e$의 정의 하나로 환원하는 것. $r$마다 새 극한이 필요한 게 아니라, $e$ 하나가 모든 이율을 감당한다.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 치환과 지수 재배열 (1점)
• $e$의 정의로 환원 (1점)
• 극한 결론 (1점)

With $m = \dfrac nr$ we have $\dfrac rn = \dfrac1m$ and $nt = mrt$, so

As $n \to \infty$, also $m = \frac nr \to \infty$, and the bracket approaches $e$ — by $e$'s very definition. Raising to the power $rt$ is continuous, so the whole expression approaches

— times the principal: $A = Pe^{rt}$. $\blacksquare$

(The substitution's point: reducing the general-rate limit to the single definition of $e$. No new limit per rate — one $e$ serves them all.)

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Substitution and exponent rearrangement (1 pt)
• Reduction to $e$'s definition (1 pt)
• The limit conclusion (1 pt)

$(1)$ 양변에 $\ln$: $2x = \ln 5 \Rightarrow x = \dfrac{\ln 5}2$ ($\ln 5 \approx 1.609$).

$(2)$ 정의로 벗기기: $x - 1 = e^2 \Rightarrow x = 1 + e^2$ ($e^2 \approx 7.389$). 진수 확인: $x - 1 = e^2 > 0$ ✓.

지수·로그 방정식의 두 표준 동작(로그 씌우기 / 정의로 벗기기)이 밑 $e$에서도 그대로다.

$(1)$ Apply $\ln$: $2x = \ln 5 \Rightarrow x = \dfrac{\ln 5}2$ (with $\ln 5 \approx 1.609$).

$(2)$ Peel by definition: $x - 1 = e^2 \Rightarrow x = 1 + e^2$ ($e^2 \approx 7.389$). Argument check: $x - 1 = e^2 > 0$ ✓.

The two standard moves (take logs / peel by definition) run unchanged at base $e$.

$Pe^{rt} = 2P$에서 $e^{rt} = 2$ — 양변에 $\ln$:

$r$를 퍼센트로 쓰면 $t \approx \dfrac{69.3}{r(\%)}$ — 어림 규칙 $70/r$의 정체가 $\ln 2 = 0.693$이다. A2에서 표로 검증만 했던 규칙이 두 줄 유도로 승격됐다 — 연속 성장에서는 근사가 아니라 정확한 공식이다.

From $Pe^{rt} = 2P$: $e^{rt} = 2$ — apply $\ln$:

With $r$ in percent, $t \approx \dfrac{69.3}{r(\%)}$ — the rule of $70$ unmasked as $\ln 2 = 0.693$. The rule A2 could only tabulate is now a two-line derivation — and for continuous growth it is no approximation but an exact formula.

$\dfrac{e^h - 1}{h}$는 $e^x$의 구간 $[0, h]$에서의 평균변화율이다($\frac{e^h - e^0}{h - 0}$). $h$를 좁힐수록

— 행선지가 $1$: $x = 0$에서 $e^x$의 순간변화율이 $1$이라는 뜻이다.

일반 밑에서는 $a^x$의 변화율이 $a^x \cdot \dfrac{a^h - 1}{h}$로 "자기 자신 $\times$ 상수" 꼴인데, 그 상수가 밑마다 다르다($2$면 약 $0.693$, $10$이면 약 $2.303$ — 각각 $\ln 2$, $\ln 10$이라는 정체가 미적분에서 밝혀진다). 상수가 정확히 $1$이 되는 밑이 $e$ — 그래서 $e^x$는 "변화율 $=$ 자기 자신"이라는 가장 깨끗한 성장 방정식을 만족하고, 이것이 '자연'이라는 이름의 뜻이다. 미적분에서 $(e^x)' = e^x$로 다시 만난다.

$\dfrac{e^h - 1}{h}$ is the average rate of change of $e^x$ on $[0, h]$ (namely $\frac{e^h - e^0}{h - 0}$). Narrowing $h$:

— destination $1$: the instantaneous rate of $e^x$ at $x = 0$ is $1$.

For a general base, the rate of $a^x$ is $a^x \cdot \dfrac{a^h - 1}{h}$ — "itself $\times$ a constant," with the constant varying by base (about $0.693$ for $2$, about $2.303$ for $10$ — unmasked as $\ln 2$ and $\ln 10$ in calculus). The base making the constant exactly $1$ is $e$ — so $e^x$ satisfies the cleanest growth equation, "rate $=$ itself," and that is what "natural" means. Calculus will greet it again as $(e^x)' = e^x$.

$(1)$ 이항정리로 전개하면 모든 항이 양수다:

($n \ge 2$이므로 $\binom n2 t^2 > 0$ 항이 실제로 존재 — 부등호가 엄격하다). $\blacksquare$

$(2)$ $x > 0$을 고정하고 $t = \dfrac xn$으로 두면, $n \ge 2$에서

좌변은 $n \to \infty$에서 $e^x$로 다가가고(연속 복리 유도와 같은 치환), 매 항이 $1 + x$보다 큰 수열의 행선지는 $1 + x$ 이상이다. 엄격 부등호는 $n = 2$ 항이 이미 $1 + x + \frac{x^2}4$로 $1 + x$와 양의 간격을 갖고 수열이 증가함에서 나온다:

기하적으로: $y = e^x$는 $(0, 1)$에서의 접선 $y = 1 + x$ 위에 있다 — 다음 문제(p12)에서 $e^\pi$ 대 $\pi^e$를 판정하는 무기가 된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 이항 전개의 양수성 (1점)
• $t = x/n$ 치환과 극한 (1점)
• 엄격성 논거 (1점)

$(1)$ The binomial expansion has all positive terms:

(with $n \ge 2$, the term $\binom n2 t^2 > 0$ genuinely exists — making the inequality strict). $\blacksquare$

$(2)$ Fix $x > 0$ and set $t = \dfrac xn$: for $n \ge 2$,

The left side approaches $e^x$ as $n \to \infty$ (the continuous-compounding substitution), and the destination of a sequence exceeding $1 + x$ termwise is at least $1 + x$. Strictness follows since already the $n = 2$ term is $1 + x + \frac{x^2}4$, a positive gap above $1 + x$, and the sequence increases:

Geometrically: $y = e^x$ rides above its tangent at $(0,1)$, the line $y = 1 + x$ — the weapon that will judge $e^\pi$ versus $\pi^e$ in p12.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Positivity of the expansion (1 pt)
• The $t = x/n$ substitution and limit (1 pt)
• The strictness argument (1 pt)

반감기의 정의 $N_0 e^{-\lambda T} = \dfrac{N_0}2$에서

탄소-14:

A2의 반감기 모형 $\left(\frac12\right)^{t/T}$과 연속 모형 $e^{-\lambda t}$은 같은 곡선의 두 표기다 — $e^{-\lambda t} = \left(\frac12\right)^{t/T}$ ⟺ $\lambda T = \ln 2$, 방금 유도한 그 관계다. 배가 시간의 $\ln 2$와 반감기의 $\ln 2$는 같은 상수의 두 얼굴.

From the half-life's definition $N_0 e^{-\lambda T} = \dfrac{N_0}2$:

Carbon-14:

A2's half-life model $\left(\frac12\right)^{t/T}$ and the continuous $e^{-\lambda t}$ are two notations for one curve — $e^{-\lambda t} = \left(\frac12\right)^{t/T}$ ⟺ $\lambda T = \ln 2$, the very relation just derived. The $\ln 2$ of doubling and the $\ln 2$ of halving: one constant, two faces.

꼬리 추정: $k \ge 6$에서 $k! \ge 6! \cdot 7^{k-6}$... 더 간단히 $k! \ge 720 \cdot 2^{k-6}$이므로

$\frac1{360} > \frac1{500}$ — 더 촘촘히: $k \ge 6$에서 $k! = 720 \cdot 7 \cdot 8 \cdots k \ge 720 \cdot 7^{k-6}$이므로

그러므로 $e$는 $2.7167$과 $2.7167 + 0.0017$ 사이 — 참값 $2.71828\ldots$ ✓. 계승 급수는 등비급수보다 훨씬 빨리 수렴한다 — 여섯 항으로 소수 둘째 자리가 확정됐다.

Tail estimate: for $k \ge 6$, $k! = 720 \cdot 7 \cdot 8 \cdots k \ge 720 \cdot 7^{k-6}$, so

Hence $e$ lies between $2.7167$ and $2.7167 + 0.0017$ — true value $2.71828\ldots$ ✓. Factorial series converge far faster than geometric ones — six terms pinned the second decimal.

$x = \dfrac\pi e - 1$을 넣어 보라 — $\pi > e$이므로 양수다.

Try $x = \dfrac\pi e - 1$ — positive, since $\pi > e$.

$\pi > e$이므로 $x = \dfrac\pi e - 1 > 0$ — p09의 부등식에 대입:

양변에 $e$를 곱하면($e^1$을 지수로 합치며)

양변을 $e$제곱한다 — 밑이 $1$보다 큰 지수함수는 증가하므로 부등호가 유지된다:

수치 확인: $e^\pi \approx 23.14$, $\pi^e \approx 22.46$ ✓.

유명한 비교 문제의 완전 초등 증명이다 — 재료는 이항정리(베르누이), $e$의 정의, 지수함수의 증가성뿐. "$e$의 접선 위에 있다"는 한 성질이 $\pi$라는 무관해 보이는 수와의 대결을 판정했다 — 어느 쪽이 클지 기억하는 요령도 이 증명 자체다: $e$가 지수 자리에 있는 쪽이 이긴다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 올바른 대입과 양수 확인 (1점)
• $e^{\pi/e} > \pi$ 도출 (1점)
• $e$제곱과 결론 (1점)

Since $\pi > e$, the number $x = \dfrac\pi e - 1$ is positive — substitute into p09:

Multiply by $e$ (absorbing it as $e^1$):

Raise both sides to the $e$th power — exponentials with base above $1$ increase, preserving the inequality: