반로그 좌표와 선형화Semi-log Plots & Linearization · 문제집Worksheet

$y = 5 \cdot 2^x$를 반로그 좌표에 그리면 나타나는 직선의 기울기와 절편을 구하여라. ($\log 2 \approx 0.301$, $\log 5 \approx 0.699$)

Graphed on semi-log axes, $y = 5 \cdot 2^x$ appears as a line — find its slope and intercept. ($\log 2 \approx 0.301$, $\log 5 \approx 0.699$)

반로그 좌표에서 데이터가 기울기 $0.5$, 절편 $1$인 직선 $\log y = 0.5x + 1$을 이룬다. 원래 모델 $y = A b^x$를 복원하여라.

On semi-log axes a data set forms the line $\log y = 0.5x + 1$. Recover the model $y = A b^x$.

데이터 $(0, 3), (1, 6), (2, 12), (3, 24)$가 지수 모델임을 판별하고 식을 구하여라.

Confirm the data $(0, 3), (1, 6), (2, 12), (3, 24)$ is exponential and find the model.

다음 동치를 증명하여라: 양수 데이터 $y$가 $x$의 함수로 지수 모델 $y = Ab^x$ ($A, b > 0$)를 따른다 $\iff$ $\log y$가 $x$의 일차함수다.

Prove the equivalence: positive data $y$ follows an exponential model $y = Ab^x$ ($A, b > 0$) in $x$ $\iff$ $\log y$ is a linear function of $x$.

세균 수를 측정했다: $t = 0$에서 $100$, $t = 2$에서 $400$, $t = 5$에서 $3200$ ($t$: 시간). 반로그 직선의 기울기를 두 구간에서 계산해 일치를 확인하고, 모델을 세워라. ($\log 2 \approx 0.301$)

Bacteria were counted: $100$ at $t = 0$, $400$ at $t = 2$, $3200$ at $t = 5$ ($t$ in hours). Compute the semi-log slope on both stretches to confirm agreement, and build the model. ($\log 2 \approx 0.301$)

거듭제곱 모델 $y = Ax^n$이 로그-로그 좌표에서 기울기 $n$의 직선이 됨을 보이고, 데이터 $(1, 2), (2, 16), (4, 128)$의 모델을 구하여라.

Show that a power model $y = Ax^n$ becomes a line of slope $n$ on log-log axes, and find the model for $(1, 2), (2, 16), (4, 128)$.

무어의 법칙("트랜지스터 수는 약 $2$년마다 두 배")을 반로그 직선으로 번역하여라 — 연 단위 기울기(상용로그)와, $10$년 동안의 배율을 구하여라. ($\log 2 \approx 0.301$)

Translate Moore's law ("transistor counts double about every $2$ years") into a semi-log line — its slope per year (common log), and the factor gained over $10$ years. ($\log 2 \approx 0.301$)

데이터 $(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)$은 반로그와 로그-로그 중 어느 좌표에서 직선이 되는가 — 판별하고 모델을 밝혀라.

On which axes — semi-log or log-log — does the data $(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)$ straighten? Diagnose and identify the model.

지진의 규모-빈도 관계(구텐베르크-리히터)는 반로그에서 기울기 $-1$의 직선으로 근사된다: 규모가 $1$ 커질 때마다 연간 발생 수가 $\dfrac1{10}$로 준다. 전 세계에서 규모 $5$ 이상이 연간 약 $1500$회라면, 규모 $7$ 이상과 규모 $8$ 이상은 각각 연간 약 몇 회로 추정되는가?

The magnitude–frequency relation of earthquakes (Gutenberg–Richter) approximates a semi-log line of slope $-1$: each unit of magnitude divides the annual count by $10$. If magnitude $5+$ quakes number about $1500$ per year worldwide, estimate the annual counts of magnitude $7+$ and $8+$.

방사성 시료의 계수율을 재니 $t = 0$일에 $8000$, $t = 10$일에 $2000$이었다. 반로그 직선의 기울기에서 반감기를 구하여라. ($\log 2 \approx 0.301$)

A radioactive sample's count rate reads $8000$ at $t = 0$ days and $2000$ at $t = 10$. Find the half-life from the semi-log slope. ($\log 2 \approx 0.301$)

두 감염병 모델 $A(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$과 $B(t) = 6400 \cdot 2^{t/12}$ ($t$: 일)가 있다. 반로그 좌표에서 두 직선이 만나는 시각 — 곧 $A$가 $B$를 따라잡는 시각 — 을 구하여라.

Two epidemic models: $A(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$ and $B(t) = 6400 \cdot 2^{t/12}$ ($t$ in days). Find when the two semi-log lines cross — the moment $A$ overtakes $B$.

별의 겉보기 등급은 " $5$등급 차이 $=$ 밝기 $100$배"인 로그 눈금이다(등급이 작을수록 밝다). $(1)$ $1$등급 차이는 밝기 몇 배인가? $(2)$ 시리우스($-1.5$등급)와 태양($-26.7$등급)의 밝기 비를 구하여라. ($10^{0.08} \approx 1.2$)

Stellar apparent magnitude is a log scale with "$5$ magnitudes $=$ $100\times$ brightness" (smaller magnitude = brighter). $(1)$ What brightness factor is one magnitude? $(2)$ Find the brightness ratio of the Sun ($-26.7$) to Sirius ($-1.5$). ($10^{0.08} \approx 1.2$)

어느 감염병의 일일 확진자 데이터다: $(0, 10), (1, 20), (2, 40), (3, 79), (4, 150), (5, 260)$. 반로그 관점에서 이 데이터를 진단하고 — 초반과 후반의 차이, 그리고 그것이 예고하는 것 — 을 설명하여라.

Daily case counts of an epidemic: $(0, 10), (1, 20), (2, 40), (3, 79), (4, 150), (5, 260)$. Diagnose this data from the semi-log viewpoint — the early/late difference, and what it foretells.