반로그 좌표와 선형화Semi-log Plots & Linearization

— 기울기 $\log 2$(매 단위 $\times 2$의 로그), 절편 $\log 5$(초기값 $5$의 로그).

— slope $\log 2$ (the log of the per-unit factor $2$), intercept $\log 5$ (the log of the initial value).

절편이 $A = 10$, 기울기가 $b = 10^{0.5}$ — 직선의 두 수가 지수 모델의 두 상수로 되돌아온다.

The intercept returns $A = 10$, the slope returns $b = 10^{0.5}$ — two line numbers, two model constants.

이웃 비: $\dfrac63 = \dfrac{12}6 = \dfrac{24}{12} = 2$ — 일정: 지수 모델이다(반로그에서 직선이 될 데이터).

초기값 $3$, 배율 $2$:

Neighbor ratios: $\dfrac63 = \dfrac{12}6 = \dfrac{24}{12} = 2$ — constant: exponential (data that would run straight on semi-log axes).

Initial value $3$, factor $2$:

($\Rightarrow$) $y = Ab^x$의 양변에 로그(양수이므로 허용):

— 기울기 $\log b$, 절편 $\log A$인 일차함수다.

($\Leftarrow$) $\log y = mx + c$라 하자. $10$의 거듭제곱으로 벗기면

— $A = 10^c > 0$, $b = 10^m > 0$인 지수 모델이다. $\blacksquare$

두 방향이 모두 가역 변형(로그 씌우기/벗기기 — 왕복 항등식)이라 동치가 성립한다. 판별("직선인가?")과 복원("직선이면 이 모델")이 한 정리의 두 사용법이고, 반로그 좌표는 이 동치를 눈으로 보이게 만든 장치다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 정방향 (1점)
• 역방향 복원 (1점)
• 가역성(동치) 언급 (1점)

($\Rightarrow$) Log both sides of $y = Ab^x$ (allowed — positive):

— linear, slope $\log b$, intercept $\log A$.

($\Leftarrow$) Suppose $\log y = mx + c$. Peel with powers of $10$:

— an exponential model with $A = 10^c > 0$, $b = 10^m > 0$. $\blacksquare$

Both directions are reversible transformations (logging/unlogging — the round-trip identities), so the equivalence stands. Diagnosis ("is it straight?") and recovery ("straight, so this model") are two uses of one theorem — and semi-log axes are the device that makes the equivalence visible.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The forward direction (1 pt)
• The recovery direction (1 pt)
• Reversibility (equivalence) noted (1 pt)

$\log y$ 값: $\log 100 = 2$, $\log 400 = 2.602$, $\log 3200 = 3.505$.

— 일정: 지수 모델이고, 기울기 $0.301 = \log 2$이므로 매시간 $2$배:

검산: $100 \cdot 2^5 = 3200$ ✓. 두 구간 기울기의 일치가 "직선"의 실측 확인 — 데이터 셋이 세 점뿐이어도 판별이 작동한다.

The $\log y$ values: $\log 100 = 2$, $\log 400 = 2.602$, $\log 3200 = 3.505$.

— constant: exponential, and slope $0.301 = \log 2$ means doubling hourly:

Check: $100 \cdot 2^5 = 3200$ ✓. Matching slopes on two stretches is the field test of "straight" — the diagnostic works even on three points.

로그를 씌우면

— $\log x$에 대한 일차함수, 기울기 $n$. $\blacksquare$

데이터의 $(\log x, \log y)$: $(0, 0.301), (0.301, 1.204), (0.602, 2.107)$ — 기울기:

$n = 3$, 절편 $\log A = 0.301 \Rightarrow A = 2$:

$x$가 두 배 될 때마다 $y$가 $2^3 = 8$배 — 거듭제곱의 문법("크기 배가마다 같은 배율")이 데이터에서 읽힌다.

Logging gives

— linear in $\log x$, slope $n$. $\blacksquare$

The data's $(\log x, \log y)$: $(0, 0.301), (0.301, 1.204), (0.602, 2.107)$ — slopes:

So $n = 3$, intercept $\log A = 0.301 \Rightarrow A = 2$:

Each doubling of $x$ multiplies $y$ by $2^3 = 8$ — the power law's grammar ("equal factors per doubling of size"), read straight off the data.

"$2$년마다 $\times 2$"는 $N = N_0 \cdot 2^{t/2}$ — 반로그에서

— 기울기 $\dfrac{0.301}{2} \approx 0.15/$년의 직선이다. $10$년이면 배가가 $5$번:

수십 년치 반도체 데이터가 이 직선 위에 놓였다 — 지수 법칙을 "일정 기울기의 직선"으로 관리해 온 산업의 자가 반로그 좌표였다.

"Times $2$ every $2$ years" is $N = N_0 \cdot 2^{t/2}$ — on semi-log axes,

— a line of slope $\dfrac{0.301}{2} \approx 0.15/\text{yr}$. Ten years hold $5$ doublings:

Decades of semiconductor data sat on that line — the industry's ruler for managing an exponential law as "a line of constant slope" was the semi-log chart.

반로그 검사(이웃 비): $\dfrac41 = 4$, $\dfrac94 = 2.25$, $\dfrac{16}9 \approx 1.78$ — 비가 줄어든다: 지수 아님.

로그-로그 검사: $(\log x, \log y)$에서 기울기 $= \dfrac{\log 4 - \log 1}{\log 2 - \log 1} = \dfrac{2\log 2}{\log 2} = 2$; 다음 구간도 $\dfrac{\log 9 - \log 4}{\log 3 - \log 2} = \dfrac{2(\log 3 - \log 2)}{\log 3 - \log 2} = 2$ ✓ — 일정.

같은 데이터를 두 좌표에 걸어 보는 것 — 지수와 거듭제곱을 가르는 실무 절차이고, 성장의 문법("시간마다 배율" vs "배가마다 배율")을 판정하는 기계다.

Semi-log test (neighbor ratios): $\dfrac41 = 4$, $\dfrac94 = 2.25$, $\dfrac{16}9 \approx 1.78$ — shrinking: not exponential.

Log-log test: slopes in $(\log x, \log y)$: $\dfrac{2\log 2}{\log 2} = 2$, then $\dfrac{2(\log 3 - \log 2)}{\log 3 - \log 2} = 2$ ✓ — constant.

Hanging one data set on both coordinate systems — the working procedure that separates exponential from power, a machine for judging growth's grammar ("factor per unit time" vs "factor per doubling").

규모 $+1$마다 $\times \dfrac1{10}$:

실측(연 $10$~$20$회의 $M7$, 연 $1$회 안팎의 $M8$)과 잘 맞는다. 리히터 규모 자체가 로그 눈금(A2)이므로, "규모 대 $\log($빈도$)$" 그래프는 로그 대 로그 — 큰 지진일수록 드물다는 법칙이 직선 하나로 요약된다.

Each $+1$ of magnitude means $\times \dfrac1{10}$:

This matches observation well ($10$–$20$ $M7$s, roughly one $M8$ a year). Since Richter magnitude is itself a log scale (A2), "magnitude vs $\log(\text{count})$" is log against log — the law that bigger quakes are rarer, summarized by one straight line.

기울기:

반감기 $T$는 $\log\frac12 = mT$에서

검산: $10$일 동안 $8000 \to 4000 \to 2000$ — 정확히 반감 $2$번 ✓.

붕괴 데이터에서 반감기를 재는 실무가 "반로그 기울기 재기"인 이유 — 직선의 기울기는 두 점이면 충분하고, 지수의 상수는 기울기에 통째로 들어 있다.

The slope:

The half-life $T$ solves $\log\frac12 = mT$:

Check: over $10$ days, $8000 \to 4000 \to 2000$ — exactly two halvings ✓.

Why lab practice measures half-lives as "semi-log slopes" — a line's slope needs only two points, and the exponential's constant lives entirely inside it.

$\log_2$를 씌우면 두 직선:

같다고 놓으면

검산: $A(24) = 100 \cdot 2^8 = 25600$, $B(24) = 6400 \cdot 2^2 = 25600$ ✓.

곡선의 교차 문제가 반로그에서 직선의 교점 문제로 내려앉는다 — 기울기 큰 쪽(빠른 배가)이 결국 이긴다는 것도 직선 그림에서 자명해진다.

Applying $\log_2$ gives two lines:

Setting them equal:

Check: $A(24) = 100 \cdot 2^8 = 25600$, $B(24) = 6400 \cdot 2^2 = 25600$ ✓.

A curve-crossing question descends to a line intersection on semi-log axes — and that the steeper line (faster doubling) must eventually win becomes obvious in the straight picture.

$(1)$ $5$등급이 $100$배이므로 $1$등급은

$(2)$ 등급 차 $-1.5 - (-26.7) = 25.2$ — 태양이 시리우스보다

밝다.

pH·리히터·데시벨에 이은 로그 눈금 목록의 하나 — 등급의 "덧셈"이 밝기의 "곱셈"이고, 큰 세계($10^{10}$배!)를 두 자리 수($25.2$등급)에 접어 넣는다. 고대 그리스의 $1$~$6$등급 목측 분류가 로그 눈금이었다는 것이 뒤늦게 밝혀진 셈이다 — 사람의 감각 자체가 로그적이기 때문이다.

$(1)$ Five magnitudes making $100\times$ gives, per magnitude,

$(2)$ The gap is $-1.5 - (-26.7) = 25.2$ magnitudes — the Sun outshines Sirius by

Another entry in the log-scale roster after pH, Richter, decibels — magnitude addition is brightness multiplication, folding a $10^{10}$-fold world into a two-digit difference ($25.2$). The ancient Greeks' naked-eye classes $1$–$6$ turned out, centuries later, to have been a log scale all along — human senses themselves run logarithmically.

이웃 비를 나열한다:

초반($t = 0$~$2$): 비가 $2$로 일정 — 반로그에서 기울기 $\log 2$의 직선: 순수 지수 성장이다.

후반($t = 3$~$5$): 비가 $1.98 \to 1.90 \to 1.73$으로 꺾이며 감소 — 반로그 직선이 아래로 휘기 시작했다. 지수 모델이 데이터를 더는 설명하지 못한다는 신호다.

예고하는 것: 성장률이 규모와 함께 줄어드는 패턴 — 감염 가능한 사람의 소진, 곧 한계가 있는 성장이다. 이런 곡선(처음엔 지수, 갈수록 포화)의 표준 모델이 다음 차시의 로지스틱이고, 반로그 그래프에서 "직선이 휘는 순간"을 읽는 것이 지수적 국면의 종료를 가장 일찍 알아채는 실무 기술이다.

(지수 모델이 "틀렸다"기보다 적용 구간이 끝났다 — 모든 모델은 유효 구간과 함께 산다는 교훈까지가 이 데이터의 내용이다.)

List the neighbor ratios:

Early ($t = 0$–$2$): ratios steady at $2$ — a semi-log line of slope $\log 2$: pure exponential growth.

Late ($t = 3$–$5$): ratios bend downward, $1.98 \to 1.90 \to 1.73$ — the semi-log line has begun to curve. The signal that an exponential model no longer explains the data.

What it foretells: a growth rate shrinking as the count grows — the depletion of the susceptible, i.e. growth with a ceiling. The standard model for such curves (exponential at first, saturating later) is next lesson's logistic — and reading "the moment the line bends" off a semi-log chart is the working skill that detects the end of an exponential phase earliest.

(Not that the exponential model was "wrong" — its window of validity closed: every model lives with one. That lesson, too, is in this data.)