이항정리The Binomial Theorem · 문제집Worksheet

이항정리로 $(a + b)^4$를 전개하여라.

Expand $(a + b)^4$ by the binomial theorem.

$(x + 1)^5$의 전개에서 $x^2$의 계수를 구하여라.

Find the coefficient of $x^2$ in $(x + 1)^5$.

파스칼의 삼각형에서 $5$행이 $1, 5, 10, 10, 5, 1$이다. $6$행을 만들어라.

Row $5$ of Pascal's triangle is $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Build row $6$.

이항정리

를 "항 선택" 논증으로 증명하여라.

Prove the binomial theorem

by the "term selection" argument.

파스칼의 규칙

를 조합적으로(선택의 분류로) 증명하여라.

Prove Pascal's rule

combinatorially (by classifying selections).

$(x + 2)^5$의 전개에서 $x^3$의 계수를 구하여라.

Find the coefficient of $x^3$ in the expansion of $(x + 2)^5$.

$(2x - y)^4$의 전개에서 $x^2y^2$의 계수를 구하여라.

Find the coefficient of $x^2y^2$ in $(2x - y)^4$.

$\left(x^2 + \dfrac1x\right)^6$의 전개에서 상수항을 구하여라.

Find the constant term of $\left(x^2 + \dfrac1x\right)^6$.

이항정리에 대입하여

을 증명하고, 이 식을 "부분집합 세기"로 다시 해석하여라.

By substituting into the binomial theorem, prove

then reinterpret the identity as a count of subsets.

$n \ge 1$일 때

임을 증명하고, 이로부터 "짝수 크기 부분집합의 수 $=$ 홀수 크기 부분집합의 수 $= 2^{n-1}$"를 끌어내어라.

For $n \ge 1$, prove

and deduce that the even-sized subsets and odd-sized subsets are equally many — $2^{n-1}$ each.

이항정리로 $1.01^{10}$을 소수 넷째 자리까지 어림하여라.

Use the binomial theorem to estimate $1.01^{10}$ to four decimal places.

$(1 + x)^{10}$의 전개에서 가장 큰 계수를 구하여라 — 왜 그 자리인지 이유와 함께.

Find the largest coefficient in the expansion of $(1 + x)^{10}$ — with the reason it sits where it does.

하키스틱 항등식의 한 사례

을 "가장 큰 원소로 분류"하는 세기로 증명하여라.

Prove this case of the hockey-stick identity,

by counting with a "classify by largest element" argument.