이항정리The Binomial Theorem

계수는 $_4\mathrm C_0, \dots, {}_4\mathrm C_4 = 1, 4, 6, 4, 1$ — 파스칼 삼각형의 $4$행이다:

검산: $a = b = 1$에서 $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$ ✓.

The coefficients $_4\mathrm C_0, \dots, {}_4\mathrm C_4 = 1, 4, 6, 4, 1$ — row $4$ of Pascal's triangle:

Check: $a = b = 1$ gives $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$ ✓.

일반항 $_5\mathrm C_k\, x^{5-k}$에서 $5 - k = 2 \Rightarrow k = 3$:

In the general term $_5\mathrm C_k\, x^{5-k}$, set $5 - k = 2 \Rightarrow k = 3$:

이웃한 두 수를 더해 내려간다:

검산: 합 $= 64 = 2^6$ ✓ — 각 행의 합은 $2^n$이어야 한다.

Add adjacent pairs downward:

Check: the sum is $64 = 2^6$ ✓ — every row must total $2^n$.

$(a+b)^n$은 같은 괄호 $n$개의 곱이다. 분배법칙으로 전부 풀면, 결과의 각 항은 괄호마다 $a$ 또는 $b$ 중 하나를 골라 곱한 것이다 — 선택의 총 가짓수는 $2^n$개이고, 그 하나하나가 항 하나씩을 만든다.

이 중 $a^{n-k}b^k$이 되는 선택은 $b$를 내놓을 괄호 $k$개를 고르는 선택과 정확히 일대일이다 — 가짓수는 $_n\mathrm C_k$. 같은 꼴끼리 모으면 $a^{n-k}b^k$의 계수가 $_n\mathrm C_k$:

작은 확인: $n = 2$에서 선택 $2^2 = 4$가지($aa, ab, ba, bb$) — $ab$형이 $_2\mathrm C_1 = 2$개라 $2ab$ ✓.

전개 계수가 조합인 이유는 신비가 아니다 — 전개가 곧 선택의 목록이기 때문이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 전개 = 괄호별 선택의 합 (1점)
• $a^{n-k}b^k$ ↔ $k$개 괄호 선택 대응 (1점)
• 같은 꼴 모아 결론 (1점)

$(a+b)^n$ multiplies $n$ identical brackets. Distributing fully, each resulting term comes from choosing $a$ or $b$ in every bracket and multiplying — $2^n$ selections, one term each.

The selections producing $a^{n-k}b^k$ correspond exactly to choosing which $k$ brackets contribute $b$ — counted by $_n\mathrm C_k$. Collecting like terms, the coefficient of $a^{n-k}b^k$ is $_n\mathrm C_k$:

Small check: $n = 2$ has $2^2 = 4$ selections ($aa, ab, ba, bb$) — the $ab$ type occurs $_2\mathrm C_1 = 2$ times, giving $2ab$ ✓.

No mystery in combinatorial coefficients — an expansion is a list of selections.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Expansion = sum over bracket-wise selections (1 pt)
• The $a^{n-k}b^k$ ↔ choose-$k$-brackets correspondence (1 pt)
• Collecting like terms to conclude (1 pt)

$n$개의 대상 중 하나를 지목해 $\star$라 하자. $k$개를 뽑는 모든 선택을 $\star$의 포함 여부로 가른다:

• $\star$를 포함하는 선택: 나머지 $n-1$개에서 $k-1$개를 더 뽑는다 — $_{n-1}\mathrm C_{k-1}$가지.
• $\star$를 제외하는 선택: $n-1$개에서 $k$개를 다 뽑는다 — $_{n-1}\mathrm C_k$가지.

두 갈래는 겹치지 않고(포함이면서 제외일 수 없다) 빠짐없다(모든 선택이 어느 한쪽) — 합의 법칙으로

수치 확인: $_5\mathrm C_2 = 10 = 4 + 6 = {}_4\mathrm C_1 + {}_4\mathrm C_2$ ✓.

공식 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$의 통분 계산으로도 증명되지만, 분류 논증은 삼각형이 왜 쌓이는지를 보여 준다 — 계산 없는 증명이 더 많이 말한다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $\star$ 포함 여부 분류 (1점)
• 두 갈래의 가짓수 (1점)
• 배반·전부 확인과 결론 (1점)

Single out one of the $n$ objects, calling it $\star$. Split all $k$-selections by whether $\star$ is included:

• Selections with $\star$: choose $k-1$ more from the other $n-1$ — $_{n-1}\mathrm C_{k-1}$ ways.
• Selections without $\star$: choose all $k$ from those $n-1$ — $_{n-1}\mathrm C_k$ ways.

The branches don't overlap (no selection both includes and excludes $\star$) and miss nothing (every selection is one or the other) — the addition principle gives

Numeric check: $_5\mathrm C_2 = 10 = 4 + 6 = {}_4\mathrm C_1 + {}_4\mathrm C_2$ ✓.

The formula $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ proves it by common denominators too, but the classification shows why the triangle stacks — the computation-free proof says more.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The include/exclude classification (1 pt)
• Both branch counts (1 pt)
• Exclusive-and-exhaustive check, conclusion (1 pt)

일반항 $_5\mathrm C_k\, x^{5-k} \cdot 2^k$에서 $5 - k = 3 \Rightarrow k = 2$:

$_5\mathrm C_2 = 10$에서 멈추면 안 된다 — $b$ 자리의 $2$가 $2^2$로 함께 들어온다.

In the general term $_5\mathrm C_k\, x^{5-k} \cdot 2^k$, set $5 - k = 3 \Rightarrow k = 2$:

Don't stop at $_5\mathrm C_2 = 10$ — the $2$ in the $b$ slot rides in as $2^2$.

$a = 2x$, $b = -y$로 두면 $x^2y^2$ 항은 $k = 2$:

$(-y)^2 = +y^2$ — 짝수 거듭제곱이라 부호가 살아남았다. $x y^3$ 항이었다면 $(-y)^3$이 음수를 만든다($_4\mathrm C_3 \cdot 2 \cdot (-1)^3 = -8$): 부호는 $k$의 홀짝이 정한다.

With $a = 2x$, $b = -y$, the $x^2y^2$ term takes $k = 2$:

$(-y)^2 = +y^2$ — an even power let the sign survive. The $xy^3$ term would not: $(-y)^3$ turns it negative ($_4\mathrm C_3 \cdot 2 \cdot (-1)^3 = -8$) — the parity of $k$ rules the sign.

일반항의 $x$ 지수를 $k$의 식으로 쓰고 $0$이 되게 하라.

Write the general term's exponent of $x$ in terms of $k$, then make it $0$.

일반항:

상수항은 $12 - 3k = 0 \Rightarrow k = 4$:

지수의 장부($12 - 3k$)를 먼저 정리하는 것 — 두 인자가 $x$를 반대 방향으로 밀 때의 표준 절차다.

General term:

The constant term needs $12 - 3k = 0 \Rightarrow k = 4$:

Settle the exponent ledger ($12 - 3k$) first — the standard procedure when the two factors push $x$ in opposite directions.

이항정리는 항등식이므로 $a = b = 1$을 대입할 수 있다:

세기 해석: $n$개짜리 집합의 부분집합 전체를 두 방법으로 센다.

• 크기별로: 크기 $k$인 부분집합이 $_n\mathrm C_k$개 — 합이 좌변.
• 원소별로: 원소마다 "넣는다/뺀다"의 $2$갈래 — 곱의 법칙으로 $2^n$.

같은 대상의 두 셈이므로 등식 — 이항정리 없이도 성립하는 이중 세기 증명이고, 대입 항등식들이 대개 이런 세기의 그림자임을 보여 준다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $a = b = 1$ 대입 (1점)
• 크기별 세기 해석 (1점)
• 원소별 세기 해석과 결론 (1점)

The binomial theorem is an identity — substitute $a = b = 1$:

The counting reading: count all subsets of an $n$-element set two ways.

• By size: $_n\mathrm C_k$ subsets of size $k$ — summing gives the left side.
• By element: each element is in or out — $2$ branches each, so $2^n$ by the multiplication principle.

Two counts of one collection force the equation — a double-counting proof needing no binomial theorem at all, and a sign that substitution identities are usually shadows of counts.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The $a = b = 1$ substitution (1 pt)
• The count by size (1 pt)
• The count by element, and conclusion (1 pt)

$a = 1$, $b = -1$ 대입:

교대합을 짝수 $k$와 홀수 $k$로 가르면

한편 p09에서 $E + O = 2^n$ — 두 식을 연립하면

$n$개짜리 집합에서 짝수 크기 부분집합과 홀수 크기 부분집합이 정확히 반반 — 대입 두 번($\pm1$)과 연립이 캐낸, 겉보기에 당연하지 않은 사실이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $b = -1$ 대입 (1점)
• $E = O$ 분리 (1점)
• $E + O = 2^n$과 연립 (1점)

Substitute $a = 1$, $b = -1$:

Split the alternating sum by parity of $k$:

Meanwhile p09 gives $E + O = 2^n$ — solving the pair:

Among an $n$-set's subsets, even sizes and odd sizes split exactly in half — a fact not obvious on its face, mined by two substitutions ($\pm1$) and a small system.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The $b = -1$ substitution (1 pt)
• Separating to $E = O$ (1 pt)
• Combining with $E + O = 2^n$ (1 pt)

$(1 + 0.01)^{10}$의 처음 세 항이면 충분하다 — 넷째 항의 크기를 확인하라.

Three terms of $(1 + 0.01)^{10}$ suffice — check the size of the fourth.

넷째 항이 이미 $0.00012$이고 다섯째는 $210 \times 10^{-8}$ — 항들이 급감하므로 앞 몇 항이 답을 지배한다. (실제 값 $1.10462\ldots$ ✓)

$b$가 작을 때 $(1+b)^n \approx 1 + nb + \frac{n(n-1)}2 b^2$ — 이항정리가 근사 기계로 변신하는 장면이고, 복리($1.01$은 이율 $1\%$)의 빠른 어림이기도 하다.

The fourth term is already $0.00012$ and the fifth $210 \times 10^{-8}$ — terms plummet, so the first few dominate. (True value $1.10462\ldots$ ✓)

For small $b$, $(1+b)^n \approx 1 + nb + \frac{n(n-1)}2 b^2$ — the binomial theorem turned approximation machine, and a fast estimate for compound interest ($1.01$ is a $1\%$ rate).

이웃한 계수의 비를 본다:

— 이 비가 $1$보다 크다 $\iff 10 - k > k + 1 \iff k < 4.5$. 그러므로 계수는 $k = 0$부터 $5$까지 증가하고 그 뒤로 감소한다(그리고 대칭 $_{10}\mathrm C_k = {}_{10}\mathrm C_{10-k}$가 좌우를 거울로 만든다). 꼭대기는 한가운데:

확인: $_{10}\mathrm C_4 = 210 < 252 > 210 = {}_{10}\mathrm C_6$ ✓.

"비율로 증감을 판정"하는 이 수법은 계승·조합이 낀 수열의 최대를 찾는 표준 도구다 — 파스칼 삼각형 각 행이 가운데가 불룩한 단봉인 이유가 이 한 줄의 부등식이다.

Examine the ratio of neighbors:

— exceeding $1$ $\iff 10 - k > k + 1 \iff k < 4.5$. So the coefficients rise through $k = 5$ and fall after (with the symmetry $_{10}\mathrm C_k = {}_{10}\mathrm C_{10-k}$ mirroring the sides). The summit is dead center:

Check: $_{10}\mathrm C_4 = 210 < 252 > 210 = {}_{10}\mathrm C_6$ ✓.

Judging growth by ratios is the standard tool for maximizing sequences built from factorials — and this one-line inequality is why every Pascal row bulges in the middle.

$1$부터 $7$에서 $3$개를 뽑을 때, 뽑힌 수 중 최댓값이 $m$인 경우는 몇 가지인가.

Choosing $3$ numbers from $1$–$7$: how many selections have maximum exactly $m$?

우변 $_7\mathrm C_3$은 $\{1, 2, \dots, 7\}$에서 $3$개를 뽑는 가짓수다. 모든 선택을 뽑힌 수의 최댓값 $m$으로 분류하자.

최댓값이 $m$이면 나머지 둘은 $\{1, \dots, m-1\}$에서 — $_{m-1}\mathrm C_2$가지. 최댓값은 $3$부터 $7$까지 가능하므로

수치 확인: $1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 = {}_7\mathrm C_3$ ✓.

파스칼 삼각형에서 한 대각선을 따라 내려 더한 합이 꺾인 자리의 수와 같다 — 모양이 하키 스틱이라 붙은 이름이다. 특수화 $_1\mathrm C_1 + {}_2\mathrm C_1 + \cdots + {}_n\mathrm C_1 = {}_{n+1}\mathrm C_2$는 $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}2$ — 가우스의 합이 삼각형 안에 살고 있었다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 최댓값 분류 설정 (1점)
• 각 갈래 $_{m-1}\mathrm C_2$ (1점)
• 배반·전부 확인과 결론 (1점)

The right side $_7\mathrm C_3$ counts $3$-element selections from $\{1, 2, \dots, 7\}$. Classify every selection by its largest element $m$.

If the maximum is $m$, the other two come from $\{1, \dots, m-1\}$ — $_{m-1}\mathrm C_2$ ways. The maximum ranges over $3$ to $7$:

Numeric check: $1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 = {}_7\mathrm C_3$ ✓.

In Pascal's triangle, summing down a diagonal equals the entry at the bend — the shape names it the hockey stick. The special case $_1\mathrm C_1 + {}_2\mathrm C_1 + \cdots + {}_n\mathrm C_1 = {}_{n+1}\mathrm C_2$ reads $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}2$ — Gauss's sum was living inside the triangle all along.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The classify-by-maximum setup (1 pt)
• Each branch counted as $_{m-1}\mathrm C_2$ (1 pt)
• Exclusive-exhaustive check, conclusion (1 pt)