판별식과 복소근The Discriminant & Complex Roots · 문제집Worksheet

판별식으로 다음 방정식의 근의 종류를 판별하여라.

(1) $x^2 - 6x + 9 = 0$ (2) $x^2 + x + 1 = 0$ (3) $2x^2 - 5x + 1 = 0$

Classify each equation's roots via the discriminant.

(1) $x^2 - 6x + 9 = 0$ (2) $x^2 + x + 1 = 0$ (3) $2x^2 - 5x + 1 = 0$

$x^2 - 2x + 10 = 0$을 복소수 범위에서 풀어라.

Solve $x^2 - 2x + 10 = 0$ over the complex numbers.

근을 구하지 말고, 두 근의 합과 곱을 읽어라.

(1) $x^2 - 7x + 3 = 0$ (2) $2x^2 + 6x - 5 = 0$

Without solving, read off the sum and product of the roots.

(1) $x^2 - 7x + 3 = 0$ (2) $2x^2 + 6x - 5 = 0$

$x^2 - 5x + 3 = 0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$에 대하여 $\alpha^2 + \beta^2$을 구하여라.

For the roots $\alpha$, $\beta$ of $x^2 - 5x + 3 = 0$, find $\alpha^2 + \beta^2$.

$3 + \sqrt2$와 $3 - \sqrt2$를 두 근으로 하는, 최고차계수가 $1$인 이차방정식을 구하여라.

Find the monic quadratic whose roots are $3 + \sqrt2$ and $3 - \sqrt2$.

$2 + 3i$와 $2 - 3i$를 두 근으로 하는, 최고차계수가 $1$인 이차방정식을 구하여라.

Find the monic quadratic with roots $2 + 3i$ and $2 - 3i$.

$x^2 - 5x + 3 = 0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$에 대하여 $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$와 $(\alpha - \beta)^2$을 구하여라.

For the roots $\alpha$, $\beta$ of $x^2 - 5x + 3 = 0$, find $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ and $(\alpha - \beta)^2$.

근과 계수의 관계를 증명하여라: $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$)의 두 근이 $\alpha$, $\beta$일 때

Prove Vieta's relations: for the roots $\alpha$, $\beta$ of $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$),

켤레근 정리를 증명하여라: 실수 $a$, $b$, $c$ ($a \ne 0$)에 대해 $z$가 $az^2 + bz + c = 0$의 근이면 $\bar z$도 근이다.

Prove the conjugate root theorem: for real $a$, $b$, $c$ ($a \ne 0$), if $z$ solves $az^2 + bz + c = 0$, so does $\bar z$.

한 근이 $2 + i$인, 실수 계수·최고차계수 $1$인 이차방정식을 구하여라.

Find the monic real-coefficient quadratic having $2 + i$ as a root.

$x^2 - 3x + 1 = 0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$에 대하여 $\alpha^3 + \beta^3$을 구하여라.

For the roots $\alpha$, $\beta$ of $x^2 - 3x + 1 = 0$, find $\alpha^3 + \beta^3$.

방정식 $x^2 + kx + k + 3 = 0$이 중근을 갖도록 하는 실수 $k$를 모두 구하고, 각각의 중근을 밝혀라.

Find all real $k$ for which $x^2 + kx + k + 3 = 0$ has a double root, and give each double root.

$\alpha$가 $x^2 - 2x + 5 = 0$의 근일 때, $\alpha^3 - 3\alpha^2 + 7\alpha + 5$의 값을 구하여라.

If $\alpha$ is a root of $x^2 - 2x + 5 = 0$, find the value of $\alpha^3 - 3\alpha^2 + 7\alpha + 5$.