판별식과 복소근The Discriminant & Complex Roots

(2)의 답이 "해 없음"에서 "켤레 허근 쌍"으로 승격된 것이 이 차시의 요점이다.

The promotion of (2)'s verdict from "no solution" to "a conjugate pair" is this lesson's point.

검산 — 근과 계수로: 합 $2$ ✓, 곱 $1 + 9 = 10$ ✓.

Check by Vieta: sum $2$ ✓, product $1 + 9 = 10$ ✓.

(1) 합 $= -(-7) = 7$, 곱 $= 3$.

(2) 합 $= -\dfrac62 = -3$, 곱 $= -\dfrac52$ — 최고차계수 $2$로 나누는 것을 잊지 말 것.

(1) Sum $= -(-7) = 7$, product $= 3$.

(2) Sum $= -\dfrac62 = -3$, product $= -\dfrac52$ — don't forget to divide by the leading $2$.

합 $5$, 곱 $3$에서

곱셈 공식 하나가 근의 공식 두 번을 대신했다 — 대칭식은 언제나 합·곱의 조립이다.

From sum $5$ and product $3$,

One product formula replaced two runs of the quadratic formula — symmetric expressions always assemble from sum and product.

합 $= 6$, 곱 $= 9 - 2 = 7$:

검산: $x = 3 + \sqrt2$ 대입 — $(11 + 6\sqrt2) - (18 + 6\sqrt2) + 7 = 0$ ✓. 무리수 켤레 쌍의 합·곱이 유리수가 되어 유리 계수 방정식이 복원된다 — 허근 켤레 쌍과 같은 구조다.

Sum $= 6$, product $= 9 - 2 = 7$:

Check by substituting $x = 3 + \sqrt2$: $(11 + 6\sqrt2) - (18 + 6\sqrt2) + 7 = 0$ ✓. A surd conjugate pair has rational sum and product, rebuilding a rational equation — the same structure as complex conjugate pairs.

합 $= 4$, 곱 $= (2+3i)(2-3i) = 4 + 9 = 13$:

허근인데 계수는 전부 실수다 — 켤레 쌍의 합과 곱이 실수이기 때문이고, 켤레근 정리의 "역방향 확인"인 셈이다.

Sum $= 4$, product $= (2+3i)(2-3i) = 4 + 9 = 13$:

Nonreal roots, all-real coefficients — because a conjugate pair's sum and product are real: the conjugate root theorem, confirmed in reverse.

$(\alpha - \beta)^2$이 곧 판별식 $D = 25 - 12$와 같은 값인 것에 주목 — $(\alpha - \beta)^2 = \dfrac{D}{a^2}$은 우연이 아니라 근의 공식의 $\pm\sqrt D$ 구조 그 자체다.

Note $(\alpha - \beta)^2$ equals the discriminant $D = 25 - 12$ — no coincidence: $(\alpha - \beta)^2 = \dfrac{D}{a^2}$ is the $\pm\sqrt D$ structure of the quadratic formula itself.

두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 이차식은 인수분해꼴로 적힌다:

우변을 전개하면

같은 다항식이므로 계수끼리 같다:

전개와 계수 비교 — 두 동작뿐이다. 이 증명은 이차에 한정되지 않는 씨앗이다: 삼차·사차에서도 인수분해꼴 전개가 같은 방식으로 근의 합·곱(그리고 쌍끼리의 곱)을 계수에 연결하고, 다항함수 단원에서 그 일반판을 만난다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 근의 공식 직접 합산 포함)

• 인수분해꼴 설정 (1점)
• 전개 (1점)
• 계수 비교로 두 관계 (1점)

With roots $\alpha$, $\beta$, the quadratic factors:

Expanding the right side,

Equal polynomials have equal coefficients:

Expand and compare — two moves only. And the proof is a seed beyond quadratics: for cubics and quartics the same expansion ties the roots' sums and products to the coefficients, with the general edition arriving in the polynomial unit.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including direct summation from the quadratic formula)

• The factored-form setup (1 pt)
• The expansion (1 pt)
• Coefficient comparison yielding both relations (1 pt)

방정식 전체에 켤레를 취하라 — 지난 차시에 증명한 "켤레는 합·곱을 보존한다"가 열쇠다.

Conjugate the whole equation — last lesson's "conjugation preserves sums and products" is the key.

$az^2 + bz + c = 0$의 양변에 켤레를 취한다. 켤레는 합과 곱을 보존하므로($\overline{z + w} = \bar z + \bar w$, $\overline{zw} = \bar z \bar w$ — 지난 차시의 증명)

$a$, $b$, $c$는 실수라 켤레가 자기 자신이고, $\bar 0 = 0$이므로

— $\bar z$가 같은 방정식을 만족한다. $\blacksquare$

증명 어디에서도 "이차"라는 사실을 쓰지 않았다 — 항이 몇 개든 같은 논리가 통하므로, 실계수 다항방정식 전체에서 허근은 켤레 쌍으로 나타난다. 이차에서 증명한 정리가 공짜로 모든 차수로 확장되는 드문 장면이고, 다항함수 단원에서 이 일반판이 곧바로 쓰인다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 양변 켤레와 보존 성질 인용 (1점)
• 실수 계수 처리($\bar a = a$ 등) (1점)
• 결론 $+$ (임의 차수로 확장됨을 언급하면 가산 없이 칭찬)

Conjugate both sides of $az^2 + bz + c = 0$. Conjugation preserves sums and products ($\overline{z + w} = \bar z + \bar w$, $\overline{zw} = \bar z \bar w$ — proved last lesson), so

Real coefficients are their own conjugates, and $\bar 0 = 0$:

— $\bar z$ satisfies the same equation. $\blacksquare$

Nowhere did the proof use "quadratic" — the logic survives any number of terms, so nonreal roots pair up in every real-coefficient polynomial equation. A rare scene: a theorem proved for quadratics extends to all degrees free of charge, and the polynomial unit will use that general edition immediately.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Conjugating both sides, citing the preservation properties (1 pt)
• Handling the real coefficients ($\bar a = a$, etc.) (1 pt)
• The conclusion (extension to any degree: praise, no extra points needed)

실계수이므로 켤레근 정리에 의해 다른 근은 $2 - i$다. 합 $4$, 곱 $4 + 1 = 5$:

검산: $(2+i)^2 - 4(2+i) + 5 = (3 + 4i) - 8 - 4i + 5 = 0$ ✓. "근 하나 $=$ 정보 절반"이 아니다 — 실계수라는 조건이 나머지 근을 공짜로 준다.

Real coefficients force the other root to be $2 - i$ (conjugate root theorem). Sum $4$, product $4 + 1 = 5$:

Check: $(2+i)^2 - 4(2+i) + 5 = (3 + 4i) - 8 - 4i + 5 = 0$ ✓. One root is not half the information — the reality of the coefficients hands over the second root free.

$(\alpha + \beta)^3$의 전개에서 $\alpha^3 + \beta^3$을 분리하라.

Isolate $\alpha^3 + \beta^3$ from the expansion of $(\alpha + \beta)^3$.

세제곱 공식에서

합 $3$, 곱 $1$만 썼다. 근은 $\dfrac{3 \pm \sqrt5}{2}$ — 이 무리수들을 세제곱해 더하는 정면 돌파와 비교하면, 대칭식 조립의 위력이 체감된다. ($\alpha^2 + \beta^2 = 7$을 거쳐 $(\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = 3 \times 6 = 18$로 가도 같다.)

From the cube formula,

Only sum $3$ and product $1$ were used. The roots are $\dfrac{3 \pm \sqrt5}{2}$ — compare cubing and adding those surds head-on, and the power of symmetric assembly registers. (Routing through $\alpha^2 + \beta^2 = 7$ and $(\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = 3 \times 6 = 18$ agrees.)

중근 조건 $D = 0$:

• $k = 6$: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ — 중근 $-3$.
• $k = -2$: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ — 중근 $1$.

중근은 $x = -\frac{k}{2}$로도 바로 나온다(합의 절반). 판별식이 $k$의 이차방정식이 되는 구조 — 조건이 방정식을 낳는 이 이중 구조가 매개변수 문제의 표준 풍경이다.

The double-root condition $D = 0$:

• $k = 6$: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ — double root $-3$.
• $k = -2$: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ — double root $1$.

(The double root also reads directly as $x = -\frac{k}{2}$, half the sum.) The discriminant becoming a quadratic in $k$ — a condition breeding an equation — is the standard scenery of parameter problems.

$\alpha^2 = 2\alpha - 5$를 반복해서 대입해 차수를 낮춰라.

Substitute $\alpha^2 = 2\alpha - 5$ repeatedly to lower the degree.

$\alpha$가 근이므로 $\alpha^2 = 2\alpha - 5$ — 이 등식으로 차수를 계속 낮춘다:

대입하면

$\alpha = 1 \pm 2i$ 어느 쪽이든 같은 실수 $10$이다 — $\alpha$항의 계수가 정확히 $0$으로 소거됐기 때문이다.

"근이 만족하는 방정식으로 차수 낮추기"는 사실 다항식 나눗셈의 나머지를 손으로 계산한 것이다 — $x^3 - 3x^2 + 7x + 5$를 $x^2 - 2x + 5$로 나눈 나머지가 상수 $10$이라는 뜻이고, 이 관점이 다음 단원(다항식 나눗셈)의 예고편이다.

Being a root gives $\alpha^2 = 2\alpha - 5$ — use it to keep lowering the degree:

Substituting,

Either root $\alpha = 1 \pm 2i$ yields the same real $10$ — the $\alpha$-coefficient canceled to exactly $0$.

Degree-lowering by the root's own equation is, in truth, hand-computing the remainder of a polynomial division — it says the remainder of $x^3 - 3x^2 + 7x + 5$ divided by $x^2 - 2x + 5$ is the constant $10$: a trailer for the next unit's polynomial division.