타원Ellipses · 문제집Worksheet

타원 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$의 장축·단축의 길이와 초점을 구하여라.

Find the axis lengths and foci of $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

초점이 $(\pm 3, 0)$이고 장축의 길이가 $10$인 타원의 방정식을 구하여라.

Find the ellipse with foci $(\pm 3, 0)$ and major axis length $10$.

타원 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리를 재니 하나가 $7$이었다. 다른 하나는 얼마인가?

At a point on $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$, one focal distance measures $7$. Find the other.

두 초점 $(\pm c, 0)$, 거리 합 $2a$ ($a > c > 0$)의 정의에서 타원의 방정식

을 유도하여라.

From the definition — foci $(\pm c, 0)$, distance sum $2a$ ($a > c > 0$) — derive the ellipse's equation

관계식 $a^2 = b^2 + c^2$이 타원 그림 속 어떤 직각삼각형에서 오는지 설명하여라 — 특히 단축의 끝에서 초점까지의 거리가 $a$임을 밝혀라.

Explain which right triangle in the ellipse's picture produces $a^2 = b^2 + c^2$ — in particular, show the distance from a minor-axis endpoint to a focus is $a$.

타원 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$의 초점과 장축의 길이를 구하여라.

Find the foci and major axis length of $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$.

타원 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$의 이심률을 구하고, 이심률 $0$인 타원은 무엇인지 말하여라.

Find the eccentricity of $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$, and say what an eccentricity-$0$ ellipse is.

원 $x^2 + y^2 = a^2$를 세로로만 $\dfrac ba$배 압축하면($(x, y) \mapsto (x, \tfrac ba y)$) 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$이 됨을 증명하여라.

Prove that compressing the circle $x^2 + y^2 = a^2$ vertically by $\dfrac ba$ (the map $(x, y) \mapsto (x, \tfrac ba y)$) yields the ellipse $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.

지구는 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다. 태양에 가장 가까울 때(근일점) $1.471$억 $\mathrm{km}$, 가장 멀 때(원일점) $1.521$억 $\mathrm{km}$이다. 궤도의 긴반지름 $a$와 이심률을 구하여라.

Earth orbits the Sun on an ellipse with the Sun at one focus: nearest (perihelion) $147.1$ million $\mathrm{km}$, farthest (aphelion) $152.1$ million $\mathrm{km}$. Find the semi-major axis $a$ and the eccentricity.

타원형 방(속삭임 회랑)의 한 초점에서 속삭이면 다른 초점에서 또렷이 들린다. 타원의 정의로 이 현상의 핵심 — 벽 어디에 반사되든 소리의 이동 거리가 같다는 것 — 을 설명하여라.

In an elliptical room (a whispering gallery), a whisper at one focus is heard clearly at the other. Using the ellipse's definition, explain the heart of the phenomenon — that the sound's travel distance is the same wherever it bounces.

점 $Q$가 원 $x^2 + y^2 = 25$ 위를 움직인다. $Q$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $R$라 할 때, 선분 $QR$의 중점 $M$의 자취의 방정식을 구하여라.

A point $Q$ moves on the circle $x^2 + y^2 = 25$. With $R$ the foot of the perpendicular from $Q$ to the $x$-axis, find the locus of the midpoint $M$ of $QR$.

타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 넓이가 $\pi ab$임을 압축 관점으로 유도하여라. (원의 넓이 $\pi r^2$은 알려진 것으로 한다.)

Derive the area $\pi ab$ of the ellipse $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ from the compression viewpoint. (Take the circle's area $\pi r^2$ as known.)

타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$에 내접하는(네 변이 축과 평행한) 직사각형의 최대 넓이를 구하여라.

Find the maximum area of a rectangle inscribed in $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ with sides parallel to the axes.