타원Ellipses

$a = 5$, $b = 3$ — 장축 $2a = 10$, 단축 $2b = 6$.

— 큰 분모가 $x^2$ 쪽이므로 초점은 $x$축 위 $(\pm 4, 0)$.

$a = 5$, $b = 3$ — major $2a = 10$, minor $2b = 6$.

— the larger denominator sits under $x^2$, so the foci ride the $x$-axis: $(\pm 4, 0)$.

$2a = 10 \Rightarrow a = 5$, $c = 3$:

검산: $c^2 = 25 - 16 = 9$ ✓.

$2a = 10 \Rightarrow a = 5$, and $c = 3$:

Check: $c^2 = 25 - 16 = 9$ ✓.

정의에 의해 두 거리의 합은 $2a = 10$:

좌표도 거리 공식도 필요 없다 — 정의 자체가 답을 준다. (포물선의 "준선 환전"처럼, 타원에선 "합 $2a$"가 제일 빠른 도구다.)

By definition the two distances sum to $2a = 10$:

No coordinates, no distance formula — the definition itself answers. (As the parabola had its directrix exchange, the ellipse's fastest tool is "sum $= 2a$.")

조건을 쓰고 한 근호를 고립시킨다:

제곱하면(좌변 $\ge 0$; 우변도 자취 위에서 $\ge 0$ — 각 초점 거리는 $2a$ 이하이므로):

$(x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx$로 정리하면

다시 제곱($a^2 - cx > 0$: $|x| \le a$, $c < a$이므로):

$b^2 = a^2 - c^2 > 0$으로 이름 짓고 $a^2 b^2$으로 나누면

무리방정식의 "제곱 두 번"이 자취의 정의를 대수로 번역했다 — 각 제곱에서 양변의 부호를 확인했으므로 동치가 유지된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 고립과 첫 제곱 (1점)
• $a\sqrt{\cdots} = a^2 - cx$ 정리 (1점)
• 둘째 제곱과 $b^2$ 도입 (1점)

Write the condition and isolate one radical:

Square (left side $\ge 0$; right side too on the locus, each focal distance being at most $2a$):

Using $(x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx$ and simplifying:

Square again ($a^2 - cx > 0$ since $|x| \le a$ and $c < a$):

Name $b^2 = a^2 - c^2 > 0$ and divide by $a^2 b^2$:

The radical equations' "square twice" translated the locus definition into algebra — with signs checked at each squaring, equivalence held throughout.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Isolation and first squaring (1 pt)
• Reaching $a\sqrt{\cdots} = a^2 - cx$ (1 pt)
• Second squaring and introducing $b^2$ (1 pt)

단축의 끝 $B(0, b)$는 두 초점 $(\pm c, 0)$에서 같은 거리에 있다(대칭). 정의로 두 거리의 합이 $2a$이므로 각각은 정확히 $a$:

한편 $\triangle BOF$ ($O$: 중심)는 다리가 $b$(세로)와 $c$(가로)인 직각삼각형이고 빗변이 $\overline{BF} = a$ — 피타고라스로

거리 공식으로도 같다: $\overline{BF} = \sqrt{c^2 + b^2}$이고 이것이 $a$와 같다는 것이 위 논증이다. 실 절반이 빗변 — $a$, $b$, $c$ 관계는 외울 공식이 아니라 그림 속 삼각형 하나다. ($c^2 = a^2 - b^2$: 포물선에 없던 "빼기"가 나오는 이유이고, 쌍곡선에서는 더하기로 뒤집힌다 — 다음 차시.)

The minor-axis endpoint $B(0, b)$ sits at equal distances from the two foci $(\pm c, 0)$ (symmetry). The definition makes the two distances sum to $2a$, so each is exactly $a$:

Meanwhile $\triangle BOF$ ($O$ the center) is a right triangle with legs $b$ (vertical) and $c$ (horizontal) and hypotenuse $\overline{BF} = a$ — Pythagoras gives

The distance formula agrees: $\overline{BF} = \sqrt{c^2 + b^2}$, and the argument above says this equals $a$. Half the string is the hypotenuse — the $a$-$b$-$c$ relation is not a formula to memorize but one triangle in the picture. (Why subtraction, $c^2 = a^2 - b^2$, where the parabola had none — and the hyperbola will flip it to addition, next lesson.)

큰 분모 $25$가 $y^2$ 밑에 — 장축이 세로다: $a^2 = 25$, $b^2 = 9$.

초점은 언제나 긴 축 위 — 분모 크기 비교가 첫 동작이다.

The larger denominator $25$ sits under $y^2$ — the major axis is vertical: $a^2 = 25$, $b^2 = 9$.

Foci always ride the longer axis — comparing denominators is move one.

$a = 5$, $c = 4$:

— 상당히 길쭉한 타원이다. $e = 0$은 $c = 0$: 두 초점이 중심에 겹치고 "두 거리의 합 일정"이 "한 점에서 거리 일정"으로 줄어든다 — 원이다. 원은 타원 가족의 $e = 0$ 특수형이고, 이심률은 그 가족 안에서 "원에서 얼마나 멀어졌나"를 재는 눈금이다.

$a = 5$, $c = 4$:

— a rather elongated ellipse. $e = 0$ means $c = 0$: the foci merge at the center, and "constant sum of two distances" collapses to "constant distance from one point" — a circle. The circle is the family's $e = 0$ member, and eccentricity is the family's gauge of distance-from-circlehood.

원 위의 점 $(x, y)$의 상을 $(X, Y) = \left(x, \dfrac ba y\right)$라 하자. 되돌리면 $x = X$, $y = \dfrac ab Y$ — 원의 방정식에 대입:

$a^2$으로 나누면

(역방향도 같은 치환으로 성립 — 압축은 일대일이므로 타원 전체가 정확히 원의 상이다.)

첫 단원의 신축 문법("$y$를 $k$배 = 방정식에서 $y \mapsto y/k$")이 그대로다. 타원은 새 곡선이라기보다 원의 압축 사진이고, 이 관점이 다음 문제들에서 원의 성질을 타원으로 실어 나른다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 압축의 역치환 (1점)
• 대입·정리 (1점)
• 전사성(원 ↔ 타원 대응) 언급 (1점)

Let the image of a circle point $(x, y)$ be $(X, Y) = \left(x, \dfrac ba y\right)$. Inverting: $x = X$, $y = \dfrac ab Y$ — substitute into the circle:

Divide by $a^2$:

(The converse runs on the same substitution — compression is one-to-one, so the full ellipse is exactly the circle's image.)

Unit 1's stretch grammar ("scale $y$ by $k$ = replace $y \mapsto y/k$ in the equation"), verbatim. The ellipse is less a new curve than a compressed photograph of a circle — the viewpoint that ferries circle facts to ellipses in the next problems.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Inverting the compression (1 pt)
• Substitution and cleanup (1 pt)
• Noting the onto correspondence (1 pt)

근일점 거리는 $a - c$, 원일점 거리는 $a + c$다.

Perihelion distance is $a - c$; aphelion is $a + c$.

태양이 초점 $F$에 있으므로 장축 위에서

더하고 빼면

이심률 $2\%$가 안 된다 — 교과서 그림의 길쭉한 타원과 달리 지구 궤도는 눈으로 원과 구별할 수 없을 만큼 둥글다. 계절이 생기는 이유가 "여름에 태양과 가까워서"가 아닌 것도 이 계산이 말해 준다(거리 변화는 $3\%$뿐 — 계절은 자전축 기울기의 몫이다).

With the Sun at focus $F$, along the major axis

Add and subtract:

Under $2\%$ — unlike the textbook's elongated ovals, Earth's orbit is visually indistinguishable from a circle. The computation also debunks "summer is when we're closer": the distance varies only $3\%$ — seasons belong to the axial tilt.

한 초점 $F$에서 나간 소리가 벽 위의 점 $P$에 반사되어 다른 초점 $F'$에 도착한다고 하자. 이동 거리는

— 그런데 이것은 타원의 정의 그 자체로, $P$가 벽의 어디든 상수 $2a$다.

그러므로 사방으로 퍼진 소리가 벽 곳곳에 반사되어도 모든 경로의 길이가 같아 같은 시각에 $F'$에 도착한다 — 흩어졌던 파동이 위상까지 맞아 겹쳐지며 또렷해지는 것이다. (각 반사가 정확히 $F'$를 향하는 것 — 반사각의 법칙과 맞물리는 부분 — 은 접선이 필요해 미적분의 몫이지만, "도착 시각이 같다"는 정의만으로 완결된다.)

포물선의 반사가 "평행 → 한 점"이었다면 타원은 "한 점 → 다른 한 점" — 두 자취 정의가 각자의 광학을 낳는다.

Sound leaving one focus $F$ reflects at a wall point $P$ and reaches the other focus $F'$. Its travel distance is

— which is the ellipse's definition itself: constant $2a$ for every wall point $P$.

So the sound spreading in all directions, bouncing all over the wall, travels paths of equal length and arrives at $F'$ at the same instant — the scattered waves recombine in step, crisp and clear. (That each bounce actually heads to $F'$ — where the law of reflection engages — needs tangent lines and is calculus's share; but "same arrival time" is complete from the definition alone.)

The parabola reflected "parallel → one point"; the ellipse reflects "one point → the other" — each locus definition breeds its own optics.

$Q(q_1, q_2)$이면 $R(q_1, 0)$, 중점은

$Q$가 원 위에 있다는 조건에 대입:

— $a = 5$, $b = \dfrac52$인 타원.

이것이 "원을 세로로 반 누른" 압축의 자취 버전이다 — 매개변수($Q$)를 자취의 좌표로 역번역해 대입하는 절차는 모든 자취 문제의 공통 뼈대다.

If $Q = (q_1, q_2)$ then $R = (q_1, 0)$ and the midpoint is

Substitute into $Q$'s circle condition:

— an ellipse with $a = 5$, $b = \dfrac52$.

The compress-the-circle picture, as a locus — and the procedure (translate the moving point's coordinates back into the locus point's, then substitute) is the common skeleton of every locus problem.

세로 $\frac ba$배 압축은 모든 도형의 넓이를 몇 배로 만드는가 — 가는 세로 조각들로 생각하라.

What does a vertical $\frac ba$ compression do to any region's area — think in thin vertical strips.

타원은 원 $x^2 + y^2 = a^2$(넓이 $\pi a^2$)을 세로로 $\dfrac ba$배 압축한 것이다(p08).

압축이 넓이에 하는 일: 도형을 가는 세로 막대들로 썰면, 압축은 각 막대의 가로 폭은 그대로 두고 높이만 $\dfrac ba$배로 만든다 — 막대 하나하나의 넓이가 $\dfrac ba$배가 되므로, 합인 전체 넓이도 $\dfrac ba$배다.

확인: $a = b = r$이면 $\pi r^2$ — 원으로 되돌아간다 ✓.

곡선 자체를 적분하지 않고, 변환이 넓이를 어떻게 바꾸는지만으로 답에 닿았다. 같은 논법이 어떤 도형의 압축에도 통한다 — 한편 타원의 둘레는 이런 요령이 없고, 초등함수의 닫힌 식 자체가 존재하지 않는다(타원 적분 — 대학 수학의 몫).

The ellipse is the circle $x^2 + y^2 = a^2$ (area $\pi a^2$) compressed vertically by $\dfrac ba$ (p08).

What compression does to area: slice a region into thin vertical strips; compression keeps each strip's width and scales only its height by $\dfrac ba$ — each strip's area scales by $\dfrac ba$, hence so does the total.

Check: $a = b = r$ returns $\pi r^2$ — the circle ✓.

No integration of the curve itself — only how the transformation rescales area. The same argument works for compressing any shape. The ellipse's perimeter, by contrast, admits no such trick — indeed no closed elementary formula exists at all (elliptic integrals: university mathematics' share).

원에 내접하는 최대 직사각형은 정사각형 — 그다음 압축하라.

In a circle the best inscribed rectangle is a square — then compress.

원에서 먼저: 원 $x^2 + y^2 = a^2$에 내접하는 직사각형의 꼭짓점을 $(x, y)$라 하면 넓이는 $4xy$이고, $x^2 + y^2 = a^2$의 제약 아래 $2xy \le x^2 + y^2$(산술-기하)로

등호는 $x = y$ — 정사각형일 때 최대 $2a^2$.

압축으로 운반: 세로 $\frac ba$배 압축은 축에 평행한 직사각형을 축에 평행한 직사각형으로 보내고(내접도 보존), p12의 논법으로 모든 넓이를 $\frac ba$배 한다. 넓이의 대소 순서가 그대로 보존되므로 최댓값끼리 대응한다:

확인: 원($a = b$)이면 $2a^2$ ✓. 타원 넓이 $\pi ab$와의 비 $\dfrac{2}{\pi} \approx 64\%$ — 원에서의 비율이 압축 후에도 그대로다.

"어려운 도형의 최적화를 쉬운 도형으로 옮겨 풀고 변환으로 되돌린다" — 압축 관점의 완성형이자, 이 과정의 마지막 최적화 문제다.

Circle first: an inscribed rectangle in $x^2 + y^2 = a^2$ with corner $(x, y)$ has area $4xy$, and under the constraint, AM–GM ($2xy \le x^2 + y^2$) gives

with equality at $x = y$ — the square, maximum $2a^2$.

Carry by compression: the vertical $\frac ba$ compression sends axis-parallel rectangles to axis-parallel rectangles (inscription preserved), and by p12's argument scales every area by $\frac ba$. Area order is preserved, so maxima correspond:

Check: for a circle ($a = b$), $2a^2$ ✓. The ratio to the ellipse's area $\pi ab$ is $\dfrac{2}{\pi} \approx 64\%$ — the circle's proportion, intact after compression.

"Optimize on the easy figure, transport by the transformation" — the compression viewpoint completed, and this course's final optimization problem.