지수·로그 모델Exponential & Log Models · 문제집Worksheet

어떤 박테리아는 $3$시간마다 수가 두 배가 된다. 처음 $500$마리였다면 $12$시간 뒤에는 몇 마리인가?

A bacterial population doubles every $3$ hours. Starting from $500$, how many after $12$ hours?

새 차의 가치가 매년 $20\%$씩 떨어진다. $3000$만 원짜리 차의 $3$년 뒤 가치는?

A new car loses $20\%$ of its value each year. What is a $\$30{,}000$ car worth after $3$ years?

반감기가 $8$일인 방사성 물질 $160\,\mathrm{mg}$이 있다. $24$일 뒤 남는 양은?

A radioactive sample of $160\,\mathrm{mg}$ has half-life $8$ days. How much remains after $24$ days?

다음 상황 각각을 $y = A_0\,a^t$ 꼴로 모델링하여라($t$는 년).

$(1)$ 인구 $50$만 명이 매년 $2\%$씩 성장 $\qquad(2)$ 약물 $200\,\mathrm{mg}$이 매년 $5\%$씩 분해

Model each situation as $y = A_0\,a^t$ ($t$ in years).

$(1)$ A population of $500{,}000$ growing $2\%$ yearly $\qquad(2)$ $200\,\mathrm{mg}$ of a drug breaking down $5\%$ yearly

반감기 $T$인 물질의 모델이 왜 $y = A_0\left(\dfrac12\right)^{t/T}$인지 — 특히 지수가 $t$가 아니라 $\dfrac tT$인 이유를 설명하여라.

Explain why a substance with half-life $T$ follows $y = A_0\left(\dfrac12\right)^{t/T}$ — in particular, why the exponent is $\dfrac tT$ rather than $t$.

$100$만 원을 연 $6\%$ 복리로 $10$년 맡기면 대략 얼마가 되는가? ($\log 1.06 \approx 0.0253$, $10^{0.25} \approx 1.78$)

$\$10{,}000$ is deposited at $6\%$ annual compound interest for $10$ years. Roughly how much results? ($\log 1.06 \approx 0.0253$, $10^{0.25} \approx 1.78$)

연 $5\%$ 복리로 원금이 두 배가 되는 데 걸리는 시간을 구하여라. ($\log 2 \approx 0.3010$, $\log 1.05 \approx 0.0212$)

How long does money take to double at $5\%$ annual compound interest? ($\log 2 \approx 0.3010$, $\log 1.05 \approx 0.0212$)

리히터 규모는 $M = \log \dfrac{A}{A_0}$ ($A$: 지진파 진폭)로 정의된다.

$(1)$ 진폭이 $1000$배인 지진의 규모 차는? $\qquad(2)$ 규모 $7$ 지진의 진폭은 규모 $5$의 몇 배인가?

Richter magnitude is defined by $M = \log \dfrac{A}{A_0}$ ($A$: seismic amplitude).

$(1)$ What magnitude difference corresponds to $1000\times$ the amplitude? $\qquad(2)$ How many times larger is the amplitude of a magnitude-$7$ quake than a magnitude-$5$?

연이율 $100\%$로 $1$원을 맡기고 이자를 $n$번에 나눠 복리로 받으면 $1$년 뒤 $\left(1 + \dfrac1n\right)^n$원이 된다. $n = 1, 2, 4$의 값을 직접 계산하고, 이 수열이 향하는 곳을 설명하여라.

Deposit $1$ unit at $100\%$ annual interest, compounded in $n$ installments, and a year returns $\left(1 + \dfrac1n\right)^n$. Compute the values for $n = 1, 2, 4$, and describe where the sequence is heading.

수소 이온 농도 $[\mathrm{H^+}]$에 대해 $\text{pH} = -\log[\mathrm{H^+}]$이다. pH $2$인 레몬즙은 pH $5$인 커피보다 수소 이온 농도가 몇 배 진한가?

With $\text{pH} = -\log[\mathrm{H^+}]$, how many times more concentrated in hydrogen ions is lemon juice (pH $2$) than coffee (pH $5$)?

세균 수가 $N = 100 \cdot 3^{t/2}$ ($t$: 시간)로 늘어난다. $N = 8100$이 되는 시각을 구하여라.

A bacterial count grows as $N = 100 \cdot 3^{t/2}$ ($t$ in hours). When does $N = 8100$?

탄소-14의 반감기는 약 $5730$년이다. 발굴된 유물의 탄소-14가 처음의 $\dfrac1{10}$만 남았다면, 유물의 나이는 약 몇 년인가? ($\log 2 \approx 0.3010$)

Carbon-14 has a half-life of about $5730$ years. An excavated artifact retains $\dfrac1{10}$ of its original carbon-14. About how old is it? ($\log 2 \approx 0.3010$)

72의 법칙: 연 $r\%$ 복리의 배가 시간은 대략 $\dfrac{72}{r}$년이라고 알려져 있다. $r = 8$과 $r = 12$에서 정확한 배가 시간 $t = \dfrac{\log 2}{\log(1 + r/100)}$을 계산해 법칙을 검증하여라. ($\log 2 \approx 0.3010$, $\log 1.08 \approx 0.0334$, $\log 1.12 \approx 0.0492$)

The Rule of 72: at $r\%$ annual compound interest, doubling takes roughly $\dfrac{72}{r}$ years. Verify the rule at $r = 8$ and $r = 12$ against the exact doubling time $t = \dfrac{\log 2}{\log(1 + r/100)}$. ($\log 2 \approx 0.3010$, $\log 1.08 \approx 0.0334$, $\log 1.12 \approx 0.0492$)