지수·로그 모델Exponential & Log Models

$12$시간은 배가 시간의 $\dfrac{12}{3} = 4$배:

모델로 쓰면 $N = 500 \cdot 2^{t/3}$ — 지수 $t/3$이 "$3$시간마다"를 담는다.

Twelve hours is $\dfrac{12}{3} = 4$ doubling times:

As a model, $N = 500 \cdot 2^{t/3}$ — the exponent $t/3$ encodes "every $3$ hours."

"$20\%$ 감소"의 배율은 $1 - 0.2 = 0.8$:

$3000 \times (1 - 0.6) = 1200$처럼 율을 세 번 더해 빼면 틀린다 — 율은 곱하는 수다.

The factor for "$20\%$ loss" is $1 - 0.2 = 0.8$:

Adding the rate three times ($30000 \times (1 - 0.6) = 12000$) is wrong — rates multiply, not add.

$24$일은 반감기 $3$번:

절반 → 절반 → 절반: $160 \to 80 \to 40 \to 20$ ✓.

Twenty-four days is $3$ half-lives:

Half, half, half: $160 \to 80 \to 40 \to 20$ ✓.

율 → 배율 번역이 전부다:

$(1)$ 증가율 $2\% \Rightarrow a = 1 + 0.02 = 1.02$.

$(2)$ 감쇠율 $5\% \Rightarrow a = 1 - 0.05 = 0.95$.

배율이 $1$보다 큰가 작은가가 성장과 감쇠를 가른다 — 지수함수 $a > 1$/$0 < a < 1$의 구분이 현실의 옷을 입은 것.

Rate-to-factor translation is the whole task:

$(1)$ growth rate $2\% \Rightarrow a = 1 + 0.02 = 1.02$.

$(2)$ decay rate $5\% \Rightarrow a = 1 - 0.05 = 0.95$.

Whether the factor exceeds $1$ separates growth from decay — the $a > 1$ versus $0 < a < 1$ dichotomy, dressed in reality.

지수 자리에는 "절반이 된 횟수"가 들어가야 한다. $t$년 동안 반감기가 $\dfrac tT$번 지나가므로, 절반을 $\dfrac tT$번 곱한

가 맞는 모델이다. 확인: $t = T$이면 지수 $1$ — 절반 ✓; $t = 2T$이면 지수 $2$ — 4분의 1 ✓; $t = 0$이면 $A_0$ ✓.

함수 변환의 언어로는 가로 신축이다 — $\left(\frac12\right)^t$의 시계를 $T$배 느리게 돌린 것($t \mapsto t/T$). 배가 시간 $D$의 성장 모델 $y = A_0 \cdot 2^{t/D}$도 정확히 같은 문법이다.

The exponent's job is to count "how many halvings." In $t$ years, $\dfrac tT$ half-lives elapse, so multiply by one half that many times:

Verify: $t = T$ gives exponent $1$ — half ✓; $t = 2T$ gives $2$ — a quarter ✓; $t = 0$ gives $A_0$ ✓.

In transformation language this is a horizontal scaling — the clock of $\left(\frac12\right)^t$ run $T$ times slower ($t \mapsto t/T$). Growth with doubling time $D$, $y = A_0 \cdot 2^{t/D}$, uses exactly the same grammar.

원리금은 $100 \times 1.06^{10}$만 원. 로그로 크기를 재면

따라서 약 $\mathbf{179}$만 원 — $10$년 만에 $79\%$가 붙었다. (실제 $1.06^{10} = 1.7908\ldots$ ✓)

단리라면 $100 \times (1 + 0.06 \times 10) = 160$만 원 — 복리와의 차 $19$만 원이 "이자의 이자"다.

The balance is $10000 \times 1.06^{10}$. Sizing it with logs:

so about $\mathbf{\$17{,}900}$ — up $79\%$ in ten years. (Indeed $1.06^{10} = 1.7908\ldots$ ✓)

Simple interest would give $10000 \times (1 + 0.06 \times 10) = \$16{,}000$ — the $\$1{,}900$ gap is interest on interest.

$1.05^t = 2$의 양변에 상용로그:

검산: $1.05^{14} \approx 1.98$, $1.05^{15} \approx 2.08$ — $14$과 $15$년 사이 ✓.

"언제?"라는 질문 앞에서 로그가 지수를 끌어내리는 표준 동작이다.

Common log on both sides of $1.05^t = 2$:

Check: $1.05^{14} \approx 1.98$ and $1.05^{15} \approx 2.08$ — between $14$ and $15$ ✓.

The standard move: facing "when?", the logarithm pulls the unknown down from the exponent.

$(1)$ 진폭이 $1000$배이면 로그 차는 $\log 1000 = 3$ — 규모 $3$ 차이.

$(2)$ 규모 차 $2$ ⟺ $\log$ 차 $2$ ⟺ 진폭비 $10^2 = 100$배.

곱셈($\times 10$)의 세계가 덧셈($+1$)의 눈금으로 접힌다 — 로그 눈금의 문법이다.

$(1)$ Amplitude $\times 1000$ means a log difference of $\log 1000 = 3$ — three units of magnitude.

$(2)$ Magnitude difference $2$ ⟺ log difference $2$ ⟺ amplitude ratio $10^2 = 100$.

A multiplicative world ($\times 10$) folds onto an additive ruler ($+1$) — the grammar of log scales.

나눠 받을수록 "이자의 이자"가 일찍 붙기 시작하므로 값은 커진다. 그러나 폭주하지는 않는다 — $n = 12$에서 $2.6130$, $n = 365$에서 $2.7146$: 증가폭이 급격히 줄며 값들이

로 조여든다. 이 극한이 자연상수 $e$ — 연속 복리의 밑이다. "증가하지만 $3$을 넘지 못한다"의 엄밀한 증명과, $e$가 지수함수의 중심이 되는 이야기는 미적분에서 완성된다 — 여기서는 복리 창구에서 태어난 수라는 출생 기록을 남겨 둔다.

The more often interest lands, the earlier interest-on-interest begins — so the values increase. But they do not run away: $n = 12$ gives $2.6130$, $n = 365$ gives $2.7146$; the gains shrink fast as the values tighten toward

This limit is the natural constant $e$ — the base of continuous compounding. The rigorous proof of "increasing yet never past $3$," and $e$'s ascent to the center of exponential mathematics, are completed in calculus — for now, record its birth certificate: born at the compounding window.

pH가 작을수록 농도는 진하다(음의 로그). 두 농도를 $x$, $y$라 하면

pH 차 $3$ = 농도비 $10^3$ — 리히터와 같은 설계에 음의 부호만 얹은 것이다.

Lower pH means higher concentration (the minus sign). With concentrations $x$, $y$:

A pH gap of $3$ is a concentration ratio of $10^3$ — the Richter design with a minus sign on top.

검산: $100 \cdot 3^4 = 8100$ ✓.

이번엔 밑이 통일되는 행운 — $81$이 $3$의 거듭제곱이라 로그 없이 일대일 성질만으로 끝났다. $N = 8000$이었다면 $t = 2\log_3 80$, 로그의 몫이다.

Check: $100 \cdot 3^4 = 8100$ ✓.

A lucky unifiable base — $81$ is a power of $3$, so one-to-oneness finished it without logs. Had it been $N = 8000$, the answer $t = 2\log_3 80$ would belong to the logarithm.

$\left(\frac12\right)^{t/5730} = \frac1{10}$ — 로그를 씌워 지수를 끌어내려라.

$\left(\frac12\right)^{t/5730} = \frac1{10}$ — apply a log to pull the exponent down.

(마지막은 역수 공식 — $\log_2 10 = 1/\log_{10} 2$). 따라서

검산: 3반감기($17190$년)면 $\frac18$, 4반감기($22920$년)면 $\frac1{16}$ — $\frac1{10}$은 그 사이 ✓.

방사성 연대 측정의 수학은 이 한 줄이다 — 남은 비율에 로그를 씌워 시간을 읽는다.

(the last step is the reciprocal formula — $\log_2 10 = 1/\log_{10} 2$). Hence

Check: $3$ half-lives ($17190$ y) leave $\frac18$; $4$ ($22920$ y) leave $\frac1{16}$ — and $\frac1{10}$ sits between ✓.

The mathematics of radiocarbon dating is this one line — log the remaining fraction, read off the time.

일상적 이율 범위($4\% \sim 15\%$)에서 $t \times r$이 $72$ 근방에 머무는 것이 법칙의 정체다 — $72$가 선택된 데는 약수가 많다는 실용적 이유도 있다($72 = 8 \times 9 = 6 \times 12 = \ldots$).

왜 하필 $72$ 근방인지의 완전한 유도는 자연로그의 근사($\ln(1+x) \approx x$)가 필요해 미적분의 몫이다 — 여기서는 로그 계산이 법칙을 검증할 수 있다는 것, 어림 규칙 뒤에 정확한 공식 $t = \log 2 / \log(1 + r/100)$이 서 있다는 것을 확인해 두자.

Across everyday rates ($4\%$–$15\%$), the product $t \times r$ hovers near $72$ — that is the rule's whole identity. The choice of $72$ is also practical: it divides beautifully ($72 = 8 \times 9 = 6 \times 12 = \ldots$).

The full derivation of why the constant lands near $72$ needs the natural-log approximation $\ln(1+x) \approx x$ — calculus's business. What stands confirmed here: log computation can verify the rule, and behind the rough rule stands the exact formula $t = \log 2 / \log(1 + r/100)$.