쌍곡선Hyperbolas · 문제집Worksheet

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$의 꼭짓점과 초점을 구하여라.

Find the vertices and foci of $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$의 점근선을 구하여라.

Find the asymptotes of $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$에서 초점 $F(5, 0)$에 가까운 가지 위의 점 $P$가 $\overline{PF} = 9$를 만족한다. 다른 초점 $F'$까지의 거리는?

On $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$, a point $P$ on the branch nearer the focus $F(5, 0)$ has $\overline{PF} = 9$. Find its distance to the other focus $F'$.

두 초점 $(\pm c, 0)$, 거리 차 $2a$ ($0 < a < c$)의 정의에서 쌍곡선의 방정식

을 유도하여라.

From the definition — foci $(\pm c, 0)$, distance difference $2a$ ($0 < a < c$) — derive the hyperbola's equation

초점이 $(\pm 5, 0)$이고 꼭짓점이 $(\pm 4, 0)$인 쌍곡선의 방정식과 점근선을 구하여라.

Find the hyperbola with foci $(\pm 5, 0)$ and vertices $(\pm 4, 0)$, and its asymptotes.

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 오른쪽 위 가지가 직선 $y = \dfrac ba x$에 한없이 가까워짐을 증명하여라.

Prove that the upper-right branch of $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ approaches the line $y = \dfrac ba x$ without bound.

쌍곡선 $\dfrac{y^2}{9} - \dfrac{x^2}{16} = 1$의 꼭짓점, 초점, 점근선을 구하여라.

Find the vertices, foci, and asymptotes of $\dfrac{y^2}{9} - \dfrac{x^2}{16} = 1$.

타원과 쌍곡선을 정의·방정식·$a, b, c$ 관계·점근선 유무로 대비해 정리하여라. $c$가 각각 어디에 서는지도 밝혀라.

Contrast the ellipse and hyperbola: definition, equation, the $a, b, c$ relation, and asymptotes. State where $c$ stands in each.

두 관측소 $A(-3, 0)$, $B(3, 0)$ (단위: $\mathrm{km}$)이 같은 천둥소리를 들었는데, $A$가 $B$보다 늦게 들었고 거리 차는 $4\,\mathrm{km}$였다($\overline{PA} - \overline{PB} = 4$). 천둥의 위치 $P$가 놓인 곡선의 방정식을 구하여라.

Stations $A(-3, 0)$ and $B(3, 0)$ (in $\mathrm{km}$) hear the same thunderclap, $A$ later than $B$, the distance difference being $4\,\mathrm{km}$ ($\overline{PA} - \overline{PB} = 4$). Find the curve containing the thunder's location $P$.

반비례 그래프 $xy = 1$이 쌍곡선의 자격을 갖추었음을 표준형과의 비교로 설명하여라 — 두 갈래, 점근선, 대칭축, 꼭짓점.

Explain how the reciprocal graph $xy = 1$ carries a hyperbola's full credentials, by comparison with the standard form — two branches, asymptotes, symmetry axis, vertices.

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 우변 $1$을 $0$으로 바꾸면 무엇이 되는가 — 식을 인수분해해 밝히고, 이것이 점근선 암기법으로 쓰이는 이유를 말하여라.

What does the right side $1$ of $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ become when replaced by $0$ — factor to identify it, and explain why this works as an asymptote mnemonic.

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 위의 점 $P$에서 두 초점 $F$, $F'$를 보는 각이 직각($\angle FPF' = 90°$)일 때, 삼각형 $PFF'$의 넓이를 구하여라.

At a point $P$ on $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$, the foci subtend a right angle ($\angle FPF' = 90°$). Find the area of triangle $PFF'$.

곡선 $xy = 1$ 위의 임의의 점 $P\left(t, \dfrac1t\right)$ ($t > 0$)에 대해, 두 점 $F(\sqrt2, \sqrt2)$, $F'(-\sqrt2, -\sqrt2)$까지의 거리의 차가 항상 $2\sqrt2$임을 증명하여라 — 곧 $xy = 1$이 이 두 점을 초점으로 하는 쌍곡선임을.

For an arbitrary point $P\left(t, \dfrac1t\right)$ ($t > 0$) on the curve $xy = 1$, prove that the distances to $F(\sqrt2, \sqrt2)$ and $F'(-\sqrt2, -\sqrt2)$ always differ by $2\sqrt2$ — that is, $xy = 1$ is a hyperbola with these foci.