쌍곡선Hyperbolas

$a = 3$, $b = 4$:

꼭짓점 $(\pm 3, 0)$, 초점 $(\pm 5, 0)$ — $3$-$4$-$5$ 삼각형이 쌍곡선의 상수로 들어왔고, 초점이 꼭짓점 바깥이다(타원과 반대).

$a = 3$, $b = 4$:

Vertices $(\pm 3, 0)$, foci $(\pm 5, 0)$ — the $3$-$4$-$5$ triangle turned hyperbola constants, with the foci outside the vertices (the ellipse reversed).

그리기 요령: $6 \times 8$ 직사각형($2a \times 2b$)의 대각선 연장이 이 두 직선이다.

Sketching recipe: extend the diagonals of the $6 \times 8$ rectangle ($2a \times 2b$) — those are these lines.

정의로 거리의 차가 $2a = 6$이고, $F$ 쪽 가지에서는 $F'$가 먼 초점이다:

타원의 "합 $2a$"가 쌍곡선에선 "차 $2a$" — 정의가 곧 계산 도구인 것은 똑같다.

By definition the distances differ by $2a = 6$, and on $F$'s branch, $F'$ is the far focus:

The ellipse's "sum $2a$" becomes the hyperbola's "difference $2a$" — the definition doubling as calculator, just the same.

오른쪽 가지($F'$가 먼 경우)를 쓰면 조건은

한 근호를 넘겨 고립시키고 제곱한다:

$(x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx$로 정리하면

(오른쪽 가지에서 $x \ge a$이므로 좌변 $\ge a(c-a) > 0$ — 제곱해도 동치). 다시 제곱:

$c > a$이므로 $b^2 = c^2 - a^2 > 0$으로 이름 짓고 $a^2b^2$으로 나누면

(왼쪽 가지는 차의 부호만 반대 — 같은 계산이 같은 방정식에 닿는다: 한 방정식이 두 갈래를 모두 담는다.)

타원 유도와 나란히 놓으면 갈림길은 단 하나 — $c$와 $a$의 대소가 $b^2$의 정의를 $a^2 - c^2$에서 $c^2 - a^2$으로 뒤집는다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 고립·첫 제곱·정리 (1점)
• 부호 확인과 둘째 제곱 (1점)
• $b^2$ 도입과 두 가지 언급 (1점)

On the right branch (where $F'$ is farther) the condition reads

Isolate one radical and square:

With $(x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx$, this tidies to

(on the right branch $x \ge a$, so the left side is $\ge a(c-a) > 0$ — squaring stays an equivalence). Square again:

Since $c > a$, name $b^2 = c^2 - a^2 > 0$ and divide by $a^2b^2$:

(The left branch flips only the difference's sign — the same computation reaches the same equation: one equation holds both branches.)

Set beside the ellipse derivation, the fork is a single comparison — whether $c$ or $a$ is larger flips $b^2$ from $a^2 - c^2$ to $c^2 - a^2$.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Isolation, first squaring, cleanup (1 pt)
• Sign check and second squaring (1 pt)
• Introducing $b^2$; both branches noted (1 pt)

$a = 4$, $c = 5$:

검산: $c^2 = 16 + 9 = 25$ ✓.

$a = 4$, $c = 5$:

Check: $c^2 = 16 + 9 = 25$ ✓.

오른쪽 위 가지는 $y = \dfrac ba\sqrt{x^2 - a^2}$ ($x \ge a$). 직선과의 세로 간격은

켤레를 곱해 유리화하면(합리화의 그 기술):

분자는 상수 $a^2 b/a = ab$, 분모는 $x$와 함께 한없이 커진다 — 간격이 $0$으로 사그라든다. 그리고 $\sqrt{x^2 - a^2} < x$이므로 간격은 항상 양수: 곡선은 직선 아래에서 다가가되 닿지 않는다. $\blacksquare$

대칭(상하·좌우 반사)으로 네 방향 모두 같은 결론 — 점근선 $y = \pm\frac ba x$가 확정된다. 유리함수에서 "몫이 점근선"이었다면, 여기선 켤레가 점근선을 증명한다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 간격의 식 (1점)
• 켤레 유리화 (1점)
• $0$으로의 수렴과 "닿지 않음" (1점)

The upper-right branch is $y = \dfrac ba\sqrt{x^2 - a^2}$ ($x \ge a$). The vertical gap to the line:

Rationalize by the conjugate (that radical-expressions technique):

The numerator is the constant $ab$; the denominator grows without bound with $x$ — the gap dwindles to $0$. And since $\sqrt{x^2 - a^2} < x$, the gap stays positive: the curve approaches from below, never touching. $\blacksquare$

Symmetry (both reflections) settles all four directions — the asymptotes $y = \pm\frac ba x$ stand confirmed. Where rational functions had "the quotient is the asymptote," here the conjugate proves it.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The gap expression (1 pt)
• Conjugate rationalization (1 pt)
• Convergence to $0$ and "never touches" (1 pt)

$+1$이 붙은 항이 $y^2$ 쪽 — 실축이 세로다: $a = 3$(세로), $b = 4$, $c = 5$.

꼭짓점 $(0, \pm 3)$, 초점 $(0, \pm 5)$, 점근선은 $\dfrac{y^2}9 - \dfrac{x^2}{16} = 0$에서

가로형 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}9 = 1$과 점근선이 같다 — 같은 대각선 틀을 공유하며 서로 반대 사분면을 차지하는 켤레 쌍곡선이다.

The $+1$ term is the $y^2$ one — the transverse axis is vertical: $a = 3$ (vertical), $b = 4$, $c = 5$.

Vertices $(0, \pm 3)$, foci $(0, \pm 5)$, and from $\dfrac{y^2}9 - \dfrac{x^2}{16} = 0$ the asymptotes

The horizontal cousin $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}9 = 1$ shares these asymptotes — the two are conjugate hyperbolas, occupying opposite sectors of one diagonal frame.

$c$의 위치가 모든 차이의 뿌리다 — 합이 일정하려면 초점이 안에 있어야 하고(밖이면 합이 얼마든지 커진다), 차가 일정하려면 밖에 있어야 한다(삼각형 부등식: 안쪽 점에서는 차가 $\overline{FF'}$보다 작은 모든 값을 돌아다닌다… 정확히는 차의 상한이 $2c$이고 $2a < 2c$가 필요). 부호 하나($\pm$)와 대소 하나($c \lessgtr a$)가 두 곡선의 전 생애를 가른다 — 그리고 포물선은 그 경계($e = 1$)에 서 있다.

The position of $c$ roots every difference — a constant sum demands interior foci (outside, sums grow at will), a constant difference demands exterior ones (the difference is capped at $2c$, so $2a < 2c$ is required). One sign ($\pm$) and one comparison ($c \lessgtr a$) part the two curves' entire lives — with the parabola standing on the boundary between them ($e = 1$).

거리 차가 일정 — $A$, $B$를 초점으로 하는 쌍곡선이다: $2a = 4 \Rightarrow a = 2$, $c = 3$:

$A$에서 더 멀므로 $P$는 $B$에 가까운 가지($x > 0$) 위 — 방정식만이 아니라 가지의 선택까지가 답이다.

관측소를 하나 더 세우면 쌍곡선이 하나 더 생기고, 두 곡선의 교점이 천둥의 자리를 찍는다 — 거리의 차를 재는 모든 위치 결정(LORAN, 번개 탐지)의 수학이다.

A constant difference of distances — a hyperbola with foci $A$, $B$: $2a = 4 \Rightarrow a = 2$, $c = 3$:

Being farther from $A$, the point $P$ rides the branch nearer $B$ ($x > 0$) — the branch choice is part of the answer, not just the equation.

A third station adds a second hyperbola, and the curves' intersection pins the thunder — the mathematics of every difference-of-distance positioning system (LORAN, lightning detection).

표준형 쌍곡선의 신원 확인 목록에 하나씩 대조한다.

• 두 갈래: $x > 0$(1사분면)과 $x < 0$(3사분면)의 분리된 두 곡선 ✓
• 점근선 둘: $x \to \pm\infty$에서 $y \to 0$($x$축), $x \to 0$에서 $y \to \pm\infty$($y$축) — 두 좌표축이 점근선 ✓ (표준형의 $y = \pm\frac ba x$가 직교하는 특수형)
• 대칭: $x$와 $y$를 맞바꿔도 식이 그대로 — $y = x$ 대칭; $(x, y) \mapsto (-x, -y)$에도 불변 — 원점 대칭 ✓
• 꼭짓점: 대칭축 $y = x$와의 교점 $(1, 1)$, $(-1, -1)$ — 중심(원점)에서 거리 $\sqrt2$, 곧 $a = \sqrt2$

즉 $xy = 1$은 실축이 $y = x$로 $45°$ 기울어진 쌍곡선이다 — 점근선이 직교하므로 $a = b$($= \sqrt2$)인 직각쌍곡선. 유리함수 단원에서 "쌍곡선"이라 불렀던 이름이 정식 신분증을 받는 순간이고, 초점 거리 차가 정말 $2a = 2\sqrt2$로 일정하다는 마지막 확인은 p13이 맡는다.

Check the standard hyperbola's identity list item by item.

• Two branches: separate curves in $x > 0$ (quadrant I) and $x < 0$ (quadrant III) ✓
• Two asymptotes: $y \to 0$ as $x \to \pm\infty$ (the $x$-axis) and $y \to \pm\infty$ as $x \to 0$ (the $y$-axis) — the coordinate axes ✓ (a special case of $y = \pm\frac ba x$, here perpendicular)
• Symmetry: swapping $x$ and $y$ fixes the equation — symmetric in $y = x$; invariant under $(x, y) \mapsto (-x, -y)$ — origin symmetry ✓
• Vertices: the meetings with the axis $y = x$ at $(1, 1)$ and $(-1, -1)$ — distance $\sqrt2$ from the center, so $a = \sqrt2$

Thus $xy = 1$ is a hyperbola tilted $45°$, transverse axis along $y = x$ — and with perpendicular asymptotes it is rectangular: $a = b$ ($= \sqrt2$). The name "hyperbola," used loosely in the rational functions unit, receives its official papers here — and the final verification, that the focal difference truly stays $2a = 2\sqrt2$, belongs to p13.

우변을 $0$으로 놓고 제곱의 차로 인수분해한다:

— 곱이 $0$이니 두 직선

의 합집합, 정확히 점근선의 쌍이다.

이유가 있는 암기법이다: 멀리서 보면($x, y$가 클 때) 우변의 $1$은 좌변의 큰 항들에 비해 티끌이고, 곡선은 "$1$을 $0$으로 취급한" 방정식 — 점근선 쌍 — 과 구별이 안 가게 된다(p06의 켤레 계산이 이 직관의 엄밀판). 켤레쌍곡선($1$ 대신 $-1$)이 같은 점근선을 갖는 이유도 즉시 보인다.

Set the right side to $0$ and factor the difference of squares:

— a zero product: the union of the two lines

precisely the asymptote pair.

The mnemonic has a reason: from far away (large $x, y$) the right side's $1$ is a speck beside the left side's huge terms, and the curve becomes indistinguishable from the "treat $1$ as $0$" equation — the asymptote pair (p06's conjugate computation is this intuition made rigorous). It also shows at once why the conjugate hyperbola ($-1$ in place of $1$) shares the same asymptotes.

$|d_1 - d_2|$와 $d_1^2 + d_2^2$을 알면 $d_1 d_2$가 나온다.

Knowing $|d_1 - d_2|$ and $d_1^2 + d_2^2$ yields $d_1 d_2$.

$d_1 = \overline{PF}$, $d_2 = \overline{PF'}$라 하자. 두 정보가 있다:

• 쌍곡선의 정의: $|d_1 - d_2| = 2a = 8$
• 직각(피타고라스): $d_1^2 + d_2^2 = \overline{FF'}^2 = (2c)^2 = 100$ (여기서 $c^2 = 16 + 9 = 25$)

곱셈 공식으로 잇는다:

직각삼각형의 넓이는 두 다리의 곱의 절반:

답이 $b^2 = 9$와 같다 — 우연이 아니라 일반 사실이다(직각일 때 넓이 $= b^2$). 정의(차) + 피타고라스(직각) + 곱셈 공식(다리) — 세 도구의 합동 작전이 좌표 없이 끝냈다.

Let $d_1 = \overline{PF}$, $d_2 = \overline{PF'}$. Two facts:

• the hyperbola's definition: $|d_1 - d_2| = 2a = 8$
• the right angle (Pythagoras): $d_1^2 + d_2^2 = \overline{FF'}^2 = (2c)^2 = 100$ (with $c^2 = 16 + 9 = 25$)

A multiplication formula bridges them:

A right triangle's area is half the product of its legs:

The answer equals $b^2 = 9$ — no accident but a general fact (at a right angle, area $= b^2$). Definition (difference) + Pythagoras (right angle) + multiplication formula (the bridge) — three tools finishing without a single coordinate.

$\overline{PF}^2$을 전개해 $t + \dfrac1t$의 식으로 묶으면 완전제곱이 나타난다.

Expand $\overline{PF}^2$ and collect in $t + \dfrac1t$ — a perfect square appears.

$s = t + \dfrac1t$로 두자($t > 0$이므로 산술-기하 평균으로 $s \ge 2$).

$\overline{PF}$ 계산:

$t^2 + \frac1{t^2} = s^2 - 2$를 넣으면

($s \ge 2 > \sqrt2$이므로 양수 — 절댓값이 그대로 벗겨진다).

$\overline{PF'}$ 계산: 부호만 반대인 같은 전개로

차:

— $t$에 무관한 상수다($t < 0$의 가지는 대칭으로 같다). $\blacksquare$

$xy = 1$은 초점 $(\pm\sqrt2, \pm\sqrt2)$, $2a = 2\sqrt2$의 쌍곡선이다 — 유리함수 단원에서 그려 온 곡선이 자취 정의의 검증을 통과하는 순간이다. 거리의 제곱이 완전제곱으로 무너지는 것이 증명의 심장이고, 그 무너짐을 지킨 것은 곱셈 공식($s^2 - 2$)과 산술-기하 평균($s \ge 2$) — 이 과정을 관통해 온 두 오랜 도구의 마지막 합동 출연이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $s$ 치환과 $\overline{PF}^2$의 완전제곱화 (1점)
• $s \ge 2$로 절댓값 처리 (1점)
• 차 $2\sqrt2$ 결론 (1점)

Set $s = t + \dfrac1t$ (by AM–GM, $s \ge 2$ for $t > 0$).