무한등비급수 문제집

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

$1 + \dfrac13 + \dfrac19 + \dfrac1{27} + \cdots$ 의 합을 구하여라.

Find the sum $1 + \dfrac13 + \dfrac19 + \dfrac1{27} + \cdots$

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

$3 - 1 + \dfrac13 - \dfrac19 + \cdots$ 의 합을 구하여라.

Find the sum $3 - 1 + \dfrac13 - \dfrac19 + \cdots$

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

다음 중 수렴하는 급수를 모두 골라라.

(1)\; \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac9{10}\right)^n \qquad (2)\; \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \qquad (3)\; \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac54\right)^n

Which of these series converge?

(1)\; \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac9{10}\right)^n \qquad (2)\; \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \qquad (3)\; \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac54\right)^n

문제Problem 4 핵심Core

$0.999\ldots = 1$ 임을 두 가지 방법 — 무한등비급수와 어긋 빼기( $10x$ 트릭) — 으로 증명하여라.

Prove $0.999\ldots = 1$ in two ways — as an infinite geometric series, and by the shift trick ( $10x$ ).

문제Problem 5 핵심Core

순환소수 $0.\overline{45}$ 를 기약분수로 나타내어라.

Express the repeating decimal $0.\overline{45}$ as a fraction in lowest terms.

문제Problem 6 핵심Core

순환소수 $0.41\overline{6}$ 을 기약분수로 나타내어라.

Express $0.41\overline{6}$ as a fraction in lowest terms.

문제Problem 7 핵심Core

급수 $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \cdots$ 의 합 $S = 2$ 와 부분합 $S_{10}$ 의 차이를 구하여라.

For the series $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \cdots$ with sum $S = 2$ , find the gap $S - S_{10}$ .

문제Problem 8 핵심Core

공을 $10\,\mathrm m$ 높이에서 떨어뜨린다. 공은 튈 때마다 직전 높이의 $\dfrac35$ 까지 올라온다. 공이 멈출 때까지 움직인 총거리를 구하여라.

A ball drops from $10\,\mathrm m$ , rebounding to $\dfrac35$ of its previous height each bounce. Find the total distance traveled before it comes to rest.

문제Problem 9 도전Challenge

아킬레우스는 $10\,\mathrm{m/s}$ , 거북은 $1\,\mathrm{m/s}$ 로 달리고, 거북이 $90\,\mathrm m$ 앞에서 출발한다. "아킬레우스가 거북의 자리에 갈 때마다 거북은 조금 더 가 있다"는 무한 단계를 급수로 더해, 따라잡는 시각을 구하여라. 일차방정식으로도 확인하여라.

Achilles runs at $10\,\mathrm{m/s}$ , a tortoise at $1\,\mathrm{m/s}$ with a $90\,\mathrm m$ head start. Sum the infinite stages of "each time Achilles reaches the tortoise's spot, it has moved on" as a series to find when he catches it — then confirm with a linear equation.

문제Problem 10 도전Challenge

한 변이 $2$ 인 정사각형의 네 변의 중점을 이어 두 번째 정사각형을 만들고, 그 중점을 이어 세 번째를 만들고 — 이를 무한히 반복한다. 모든 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.

Join the midpoints of a square of side $2$ to form a second square, join its midpoints for a third — repeating forever. Find the total area of all the squares.

문제Problem 11 도전Challenge

무한등비급수 $a + a^2 + a^3 + \cdots$ 의 합이 $2$ 일 때, $a$ 를 구하여라.

The infinite geometric series $a + a^2 + a^3 + \cdots$ sums to $2$ . Find $a$ .

문제Problem 12 경시Contest

넓이 $1$ 인 정삼각형에서 시작해, 각 변의 가운데 $\frac13$ 위에 바깥쪽으로 작은 정삼각형을 세우는 일을 무한히 반복한다(코흐 눈송이). 최종 도형의 넓이를 구하여라.

Start with an equilateral triangle of area $1$ ; on the middle third of each side erect a smaller equilateral triangle outward, repeating forever (the Koch snowflake). Find the final area.

문제Problem 13 경시Contest

다음 급수의 합을 구하여라(수렴은 인정하고 계산한다).

S = \frac12 + \frac2{4} + \frac3{8} + \frac4{16} + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k}

Find the sum (convergence granted):

S = \frac12 + \frac2{4} + \frac3{8} + \frac4{16} + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k}

무한등비급수Infinite Geometric Series · 문제집Worksheet