무한등비급수Infinite Geometric Series

$a = 1$, $r = \dfrac13$이고 $|r| < 1$ — 수렴:

확인: 부분합 $1, \frac43, \frac{13}9, \frac{40}{27}, \dots$이 $1.5$로 조여든다 ✓.

$a = 1$, $r = \dfrac13$, and $|r| < 1$ — convergent:

Check: the partial sums $1, \frac43, \frac{13}9, \frac{40}{27}, \dots$ tighten toward $1.5$ ✓.

$a = 3$, $r = -\dfrac13$ — $|r| = \dfrac13 < 1$이므로 수렴:

공비가 음수면 부분합이 행선지 양쪽을 번갈아 오가며 조여든다: $3, 2, \frac73, \frac{20}9, \dots \to 2.25$ ✓.

$a = 3$, $r = -\dfrac13$ — and $|r| = \dfrac13 < 1$, so it converges:

With a negative ratio the partial sums alternate around the destination as they tighten: $3, 2, \frac73, \frac{20}9, \dots \to 2.25$ ✓.

공비만 보면 된다: $(1)$ $|r| = 0.9 < 1$ — 수렴(합 $\frac{0.9}{0.1} = 9$). $(2)$ $|r| = 1$ — 부분합이 $-1, 0, -1, 0, \dots$으로 진동, 행선지 없음. $(3)$ $|r| = 1.25 > 1$ — 항이 커져만 가니 발산.

$(2)$가 교훈이다 — 항이 작아지지 않으면($|r| \ge 1$) 합은 자리 잡을 수 없다.

Only the ratio matters: $(1)$ $|r| = 0.9 < 1$ — converges (to $\frac{0.9}{0.1} = 9$). $(2)$ $|r| = 1$ — partial sums oscillate $-1, 0, -1, 0, \dots$: no destination. $(3)$ $|r| = 1.25 > 1$ — terms only grow: diverges.

$(2)$ carries the lesson — unless terms shrink ($|r| < 1$), a sum cannot settle.

방법 1 (급수):

방법 2 ($10x$ 트릭): $x = 0.999\ldots$라 하면

(방법 2의 "$10x = 9 + x$"는 소수점 아래가 같다는 관찰 — 그 정당화가 사실 방법 1의 수렴이다. 두 방법은 한 증명의 두 층이다.)

$1$과 $0.999\ldots$ 사이에 다른 수가 있을 수 없다는 관찰도 결정적이다: 차이 $1 - 0.\underbrace{9\cdots9}_{n}$은 $10^{-n}$으로, 어떤 양수보다 작아진다 — 빈틈이 없으면 같은 수다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 급수 변환과 공식 적용 (1점)
• $10x$ 설정과 마무리 (1점)
• "같다"의 의미(행선지/빈틈 없음) 서술 (1점)

Method 1 (series):

Method 2 (the $10x$ trick): let $x = 0.999\ldots$; then

(Method 2's "$10x = 9 + x$" observes that the decimal tails agree — and justifying that is precisely Method 1's convergence. The two methods are two floors of one proof.)

One more decisive observation: no number fits between them — the gap $1 - 0.\underbrace{9\cdots9}_{n}$ equals $10^{-n}$, smaller than every positive number. No gap, same number.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Series conversion and formula (1 pt)
• The $10x$ setup and finish (1 pt)
• Articulating "equals" (destination / no gap) (1 pt)

검산: $5 \div 11 = 0.4545\ldots$ ✓. "순환마디 $\div$ $99$" — 마디 길이 $2$이니 $9$가 두 개.

Check: $5 \div 11 = 0.4545\ldots$ ✓. "Block over $99$" — two $9$s for a block of length $2$.

순환하지 않는 머리 $0.41$과 순환하는 꼬리를 분리하라.

Separate the non-repeating head $0.41$ from the repeating tail.

머리와 꼬리로 가른다:

통분하면

검산: $5 \div 12 = 0.41666\ldots$ ✓. 혼합 순환소수는 "유한소수 머리 + 등비급수 꼬리"의 합성일 뿐이다.

Split head from tail:

Over a common denominator:

Check: $5 \div 12 = 0.41666\ldots$ ✓. A mixed repeating decimal is just "finite head plus geometric tail."

남은 꼬리가 그 자체로 등비급수다:

열 항 만에 오차가 $0.2\%$ 아래 — "수렴한다"는 말의 체감 속도다. 꼬리의 첫 항을 $1 - r$로 나누는 이 계산은 근사의 오차를 재는 표준 도구가 된다.

The leftover tail is itself geometric:

Ten terms in, the error is under $0.2\%$ — convergence, felt at speed. Dividing the tail's first term by $1 - r$ becomes the standard gauge of approximation error.

첫 낙하를 빼면, 이후는 "올라갔다 내려오는" 왕복들이다.

Set aside the first drop — everything after is round trips, up and down.

첫 낙하 $10$. 이후 $k$번째 왕복은 높이 $10\left(\frac35\right)^k$를 오르고 내리는 $2 \cdot 10\left(\frac35\right)^k$:

무한 번 튀지만 총거리는 유한 — 제논의 방과 같은 구조다. 첫 낙하에는 "올라감"이 없다는 것(그래서 $2$배 급수에서 분리)이 이 문제의 유일한 함정이다.

First drop: $10$. The $k$th round trip afterwards climbs and falls $10\left(\frac35\right)^k$ each way, totaling $2 \cdot 10\left(\frac35\right)^k$:

Infinitely many bounces, finite distance — Zeno's room again. The lone trap: the first drop has no "up," hence its separation from the doubled series.

급수로: 1단계 — $90\,\mathrm m$를 $9$초에 달리는 동안 거북은 $9\,\mathrm m$ 전진. 2단계 — 그 $9\,\mathrm m$를 $0.9$초에 달리는 동안 거북은 $0.9\,\mathrm m$ 전진. 각 단계의 시간이 공비 $\frac1{10}$의 등비수열이므로

방정식으로: $10t = 90 + t \Rightarrow 9t = 90 \Rightarrow t = 10$ ✓.

무한 단계의 합이 유한한 $10$초에 정확히 갇힌다 — "단계가 무한하니 영원히 못 따라잡는다"던 제논의 결론은, 무한 개의 시간 조각이 유한한 총량을 가질 수 있음을 몰랐던 데서 나왔다.

By series: Stage 1 — covering $90\,\mathrm m$ takes $9$ s, during which the tortoise gains $9\,\mathrm m$. Stage 2 — covering those $9\,\mathrm m$ takes $0.9$ s, the tortoise gains $0.9\,\mathrm m$. Stage times form a geometric sequence with ratio $\frac1{10}$:

By equation: $10t = 90 + t \Rightarrow 9t = 90 \Rightarrow t = 10$ ✓.

Infinitely many stages, trapped exactly inside a finite $10$ seconds — Zeno's "infinitely many stages, so never" came from not knowing that infinitely many time pieces can have a finite total.

중점을 이으면 넓이가 어떻게 되는가 — 한 번 접어 보라.

What does midpoint-joining do to the area — try folding once.

중점 연결 정사각형의 넓이는 원래의 절반이다: 네 귀퉁이의 직각삼각형을 안으로 접으면 새 정사각형을 정확히 덮는다(또는 대각선 계산 — 새 변은 원래 변의 $\frac{\sqrt2}{2}$배, 넓이는 $\frac12$배).

첫 넓이 $4$, 공비 $\frac12$:

기하의 반복 구조가 등비급수를 낳는다 — 닮음비 $k$의 반복은 넓이 공비 $k^2$의 급수다.

The midpoint square has half the area: fold the four corner right triangles inward and they exactly cover the new square (or compute — the new side is $\frac{\sqrt2}{2}$ of the old, so the area halves).

First area $4$, ratio $\frac12$:

Repeated geometric structure breeds geometric series — iterating a similarity of ratio $k$ makes an area series with ratio $k^2$.

공비가 첫째항과 같은 $a$인 급수다. 수렴하려면 $|a| < 1$이어야 하고, 그때

조건 확인: $\left|\frac23\right| < 1$ ✓. 검산: $\frac{2/3}{1/3} = 2$ ✓.

방정식을 풀고 나서 수렴 조건에 답을 통과시키는 마무리 — 진수 조건·근호 조건과 같은 관문 습관이다.

Here the ratio equals the first term, $a$. Convergence demands $|a| < 1$, and then

Condition check: $\left|\frac23\right| < 1$ ✓. Verify: $\frac{2/3}{1/3} = 2$ ✓.

Solving, then passing the answer through the convergence gate — the same checkpoint habit as argument and radical conditions.

$k$단계에서 새로 돋는 삼각형은 몇 개이고, 하나의 넓이는 직전 것의 몇 배인가.

At stage $k$, how many new triangles sprout, and what is each one's area relative to the previous stage's?

돋는 개수: 1단계엔 변이 $3$개라 삼각형 $3$개가 돋고, 삼각형 하나가 돋을 때마다 변이 $1$개에서 $4$개로 늘므로 다음 단계엔 $4$배씩 — $k$단계에 $3 \cdot 4^{k-1}$개.

하나의 넓이: 변이 $\frac13$로 줄어드니 넓이는 $\frac19$ — $k$단계 삼각형 하나는 $\left(\frac19\right)^k$.

더하면:

한편 둘레는 단계마다 $\frac43$배로 한없이 자란다 — 유한한 넓이를 두른 무한한 둘레. 무한 반복이 낳는 이 기묘한 도형(프랙털)에서, 넓이의 급수는 수렴하고 둘레의 급수는 발산한다는 것이 공비 $\frac49 < 1 < \frac43$ 한 줄에 담겨 있다.

How many sprout: stage 1 grows $3$ (one per side), and each sprouted triangle turns $1$ side into $4$, so counts quadruple — stage $k$ grows $3 \cdot 4^{k-1}$.

Each one's area: sides shrink to $\frac13$, so areas to $\frac19$ — a stage-$k$ triangle has area $\left(\frac19\right)^k$.

Summing:

Meanwhile the perimeter multiplies by $\frac43$ every stage, growing without bound — an infinite fence around a finite field. In this strange figure of infinite repetition (a fractal), the area series converges while the perimeter series diverges — all encoded in one line: $\frac49 < 1 < \frac43$.

등비 합을 증명했던 그 기술 — $\dfrac S2$를 만들어 어긋나게 빼라.

The technique that proved the geometric sum — build $\dfrac S2$ and subtract off-by-one.

어긋 빼기를 재활용한다. $\dfrac S2 = \dfrac1{4} + \dfrac2{8} + \dfrac3{16} + \cdots$이므로 자리를 맞춰 빼면

곧 $\dfrac S2 = 1$, $S = 2$.

분자(등차 $1, 2, 3, \dots$)와 분모(등비 $2^k$)가 겹친 등차등비급수 — 한 번의 어긋 빼기가 등차 층을 깎아 순수 등비급수로 낮춘다. 검산: 부분합 $\frac12, 1, \frac{11}8, \frac{13}8, \dots$이 $2$로 조여든다 ✓.

Recycle the shift-and-subtract. With $\dfrac S2 = \dfrac1{4} + \dfrac2{8} + \dfrac3{16} + \cdots$, subtract aligned:

so $\dfrac S2 = 1$ and $S = 2$.

An arithmetico-geometric series — arithmetic numerators $1, 2, 3, \dots$ over geometric denominators $2^k$. One shift-subtraction shaves off the arithmetic layer, leaving pure geometric. Check: partial sums $\frac12, 1, \frac{11}8, \frac{13}8, \dots$ tighten toward $2$ ✓.