나머지정리와 인수정리 문제집

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

$f(x) = x^3 - 2x + 5$ 를 (1) $x - 1$ , (2) $x + 2$ 로 나눈 나머지를 각각 구하여라.

Find the remainder of $f(x) = x^3 - 2x + 5$ upon division by (1) $x - 1$ , (2) $x + 2$ .

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ 에 대하여 $x - 2$ 와 $x + 1$ 이 각각 인수인지 판별하여라.

For $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ , decide whether $x - 2$ and $x + 1$ are factors.

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

$x^3 + ax - 6$ 이 $x - 2$ 로 나누어떨어지도록 하는 $a$ 를 구하여라.

Find $a$ so that $x^3 + ax - 6$ is divisible by $x - 2$ .

문제Problem 4 핵심Core

$x^3 + 2x^2 - 11x - 12$ 를 완전히 인수분해하여라.

Factor $x^3 + 2x^2 - 11x - 12$ completely.

문제Problem 5 핵심Core

나머지정리를 증명하여라: 다항식 $f(x)$ 를 $x - a$ 로 나눈 나머지는 $f(a)$ 다.

Prove the remainder theorem: the remainder of $f(x)$ divided by $x - a$ is $f(a)$ .

문제Problem 6 핵심Core

$x^{50} - 3x + 2$ 를 $x - 1$ 로 나눈 나머지를 구하여라.

Find the remainder of $x^{50} - 3x + 2$ upon division by $x - 1$ .

문제Problem 7 핵심Core

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6$ 이 $x - 1$ 과 $x - 2$ 로 모두 나누어떨어진다. $a$ , $b$ 를 구하고 $f$ 를 완전히 인수분해하여라.

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6$ is divisible by both $x - 1$ and $x - 2$ . Find $a$ , $b$ , and factor $f$ completely.

문제Problem 8 핵심Core

최고차계수가 $1$ 인 정수 계수 다항식의 정수근은 상수항의 약수여야 함을 설명하여라.

Explain why an integer root of a monic integer-coefficient polynomial must divide the constant term.

문제Problem 9 도전Challenge

$x^4 - 5x^2 + 4$ 를 두 가지 방법 — (1) 인수정리, (2) 복이차 치환 — 으로 완전히 인수분해하여라.

Factor $x^4 - 5x^2 + 4$ completely by two routes — (1) the factor theorem, (2) the biquadratic substitution.

문제Problem 10 도전Challenge

$n$ 차 다항식은 서로 다른 근을 최대 $n$ 개 가짐을, 인수정리를 반복 적용하여 증명하여라.

Prove, by repeated application of the factor theorem, that a degree- $n$ polynomial has at most $n$ distinct roots.

문제Problem 11 도전Challenge

삼차다항식 $f(x)$ 가 $f(1) = 1$ , $f(2) = 2$ , $f(3) = 3$ , $f(0) = 6$ 을 만족한다. $f(4)$ 를 구하여라.

A cubic $f(x)$ satisfies $f(1) = 1$ , $f(2) = 2$ , $f(3) = 3$ , and $f(0) = 6$ . Find $f(4)$ .

문제Problem 12 경시Contest

$x^3 + ax + b$ 가 $(x - 1)^2$ 으로 나누어떨어지도록 하는 $a$ , $b$ 를 구하여라.

Find $a$ , $b$ so that $x^3 + ax + b$ is divisible by $(x - 1)^2$ .

문제Problem 13 경시Contest

다항식 $f(x)$ 를 $x - 3$ 으로 나눈 나머지가 $5$ 다.

(1) $f$ 가 짝함수라면, $x + 3$ 으로 나눈 나머지는? (2) $f$ 가 홀함수라면, $x + 3$ 으로 나눈 나머지는?

The remainder of a polynomial $f(x)$ upon division by $x - 3$ is $5$ .

(1) If $f$ is even, what is the remainder upon division by $x + 3$ ? (2) If $f$ is odd?

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