나머지정리와 인수정리Remainder & Factor Theorems

나머지정리로 대입만 한다:

(2)에서 대입값은 $x + 2 = 0$의 해 $-2$다 — 부호를 제수에서 읽는다.

By the remainder theorem, substitute:

In (2) the substituted value is $-2$, the zero of $x + 2$ — read the sign off the divisor.

둘 다 근이므로 둘 다 인수 — 실제로 $f(x) = (x - 2)^2(x + 1)$이다(전개 검산: $(x^2 - 4x + 4)(x + 1) = x^3 - 3x^2 + 4$ ✓). $2$가 중근이라 근은 두 종류뿐이지만 차수 예산 $3$은 $2 + 1$로 꽉 찬다.

Both roots, hence both factors — indeed $f(x) = (x - 2)^2(x + 1)$ (expand to check: $(x^2 - 4x + 4)(x + 1) = x^3 - 3x^2 + 4$ ✓). With $2$ a double root, only two distinct roots appear, yet the degree budget $3$ fills as $2 + 1$.

인수정리 — $f(2) = 0$:

검산: $x^3 - x - 6 = (x - 2)(x^2 + 2x + 3)$ — 조립제법 $1, 0, -1, -6$에 기준수 $2$: $1, 2, 3, 0$ ✓.

Factor theorem — $f(2) = 0$:

Check: $x^3 - x - 6 = (x - 2)(x^2 + 2x + 3)$ — synthetic on $1, 0, -1, -6$ with reference $2$: $1, 2, 3, 0$ ✓.

정수근 후보는 상수항 $-12$의 약수 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$:

조립제법($1, 2, -11, -12$, 기준수 $-1$): $1, 1, -12, 0$ — 몫 $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$:

검산 — 상수항: $(1)(-3)(4) = -12$ ✓. 후보 대입 → 뜯어내기 → 이차 마무리의 표준 3단이다.

Integer-root candidates divide the constant $-12$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$:

Synthetic ($1, 2, -11, -12$, reference $-1$): $1, 1, -12, 0$ — quotient $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$:

Check the constant: $(1)(-3)(4) = -12$ ✓. The standard three beats: try candidates → tear off → finish the quadratic.

나눗셈 정리에 의해

이고, 제수가 일차이므로 나머지 $R$는 상수다.

이 등식은 항등식 — 모든 $x$에서 성립한다. $x = a$를 대입하면 첫 항이 $0 \cdot Q(a) = 0$으로 사라지고

증명의 두 기둥: 나머지가 상수라는 것(차수 조건), 그리고 항등식에는 아무 값이나 넣어도 된다는 것. "나눗셈 문제"가 "대입 문제"로 바뀌는 이 축약이, 인수정리와 고차 인수분해 전체의 출발점이 된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 나눗셈 정리 설정과 $R$ 상수 근거 (1점)
• $x = a$ 대입 (1점)
• 항등식임을 명시 (1점)

By the division theorem,

and since the divisor is linear, the remainder $R$ is a constant.

The equation is an identity — valid for every $x$. Substituting $x = a$ kills the first term ($0 \cdot Q(a) = 0$):

Two pillars: the remainder is constant (the degree condition), and identities accept any value. This compression — a division problem becoming a substitution problem — launches the factor theorem and all of higher-degree factoring.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The division setup with $R$ constant justified (1 pt)
• The substitution $x = a$ (1 pt)
• Noting the identity holds for all $x$ (1 pt)

나머지 $0$ — $x - 1$은 이 $50$차 다항식의 인수다. 차수 $50$이 위협적이지만 나머지정리 앞에서는 대입 한 번이다. (계수의 합이 $0$인 다항식은 언제나 $x - 1$을 인수로 갖는다 — $f(1)$이 곧 계수의 합이므로.)

Remainder $0$ — $x - 1$ is a factor of this degree-$50$ polynomial. The degree menaces; the remainder theorem shrugs with one substitution. (Any polynomial whose coefficients sum to $0$ has $x - 1$ as a factor — since $f(1)$ is the coefficient sum.)

인수정리 두 번:

빼면 $a = 0$, $b = -7$: $f = x^3 - 7x + 6$.

셋째 근은 근과 곱으로 — 세 근의 곱 $= -6$(상수항의 부호 반전, 삼차 판)이고 $1 \times 2 \times r = -6$에서 $r = -3$:

검산: $f(-3) = -27 + 21 + 6 = 0$ ✓.

The factor theorem twice:

Subtracting: $a = 0$, $b = -7$: $f = x^3 - 7x + 6$.

The third root via the product — the three roots multiply to $-6$ (the constant, sign-flipped, cubic edition), so $1 \times 2 \times r = -6$ gives $r = -3$:

Check: $f(-3) = -27 + 21 + 6 = 0$ ✓.

정수근 $a$를 대입하면($n$차, 상수항 $c$):

괄호 안은 정수들의 합·곱이므로 정수 — 곧 $c$는 $a \times (\text{정수})$, $a$의 배수다. 다시 말해 $a$는 $c$의 약수다.

이것이 근 사냥의 후보 명단이 "상수항의 약수"인 근거다 — 무한한 정수 중 유한 명단으로 좁혀 주는 필터. (최고차계수가 $1$이 아니면 후보가 $\frac{\text{상수항의 약수}}{\text{최고차계수의 약수}}$로 넓어진다 — 유리근 정리, 다음 차시.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 대입 후 상수항 분리 (1점)
• 괄호가 정수임을 지적 (1점)
• $a \mid c$ 결론 (1점)

Substitute an integer root $a$ (degree $n$, constant $c$):

The bracket is a sum of products of integers — an integer. So $c = a \times (\text{integer})$: a multiple of $a$, i.e. $a$ divides $c$.

This grounds the candidate roster "divisors of the constant" — a filter narrowing infinitely many integers to a finite list. (For non-monic polynomials the roster widens to $\frac{\text{divisors of constant}}{\text{divisors of leading coefficient}}$ — the rational root theorem, next lesson.)

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Isolating the constant after substitution (1 pt)
• The bracket being an integer (1 pt)
• Concluding $a \mid c$ (1 pt)

(1) 인수정리. $f(1) = 1 - 5 + 4 = 0$, $f(-1) = 0$, $f(2) = 16 - 20 + 4 = 0$, $f(-2) = 0$ — 근 넷을 찾았고 차수도 $4$:

(2) 치환. $t = x^2$으로 $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)$:

같은 답, 다른 길 — 짝수 차수만 있으면 치환이 빠르고, 일반 사차면 인수정리가 표준이다. 도구 상자에서 골라 쓰는 감각까지가 실력이다.

(1) Factor theorem. $f(1) = 0$, $f(-1) = 0$, $f(2) = 16 - 20 + 4 = 0$, $f(-2) = 0$ — four roots found, matching degree $4$:

(2) Substitution. With $t = x^2$: $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)$:

One answer, two roads — even-degrees-only invites substitution; a general quartic calls the factor theorem. Choosing well from the toolbox is part of the skill.

$f$가 서로 다른 근 $a_1, a_2, \dots$를 갖는다고 하자.

$a_1$이 근이므로 인수정리로 $f(x) = (x - a_1)Q_1(x)$ — $Q_1$은 $n - 1$차.

$a_2$도 $f$의 근이므로 $0 = f(a_2) = (a_2 - a_1)Q_1(a_2)$. $a_2 \ne a_1$이라 첫 인수가 $0$이 아니므로 $Q_1(a_2) = 0$ — 인수정리를 $Q_1$에 적용해 $f = (x - a_1)(x - a_2)Q_2$, $Q_2$는 $n-2$차.

같은 논법을 반복하면 서로 다른 근 하나마다 일차 인수 하나와 차수 $1$을 소비한다. $n$개를 소비하면 남는 몫은 $0$차(영 아닌 상수) — 상수는 근이 없으므로 더 이상의 서로 다른 근은 불가능하다. $\blacksquare$

핵심 대목은 둘째 단계 — "$a_2$가 $f$의 근"에서 "$Q_1$의 근"으로 넘어갈 때 $a_2 \ne a_1$이 필요하다는 것(그래서 "서로 다른" 근을 세는 정리다). 이 정리의 따름 — $n+1$개 점 일치 $\Rightarrow$ 동일 다항식 — 이 다항식 세계의 "결정 정리"로 두루 쓰인다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 첫 인수 분리 (1점)
• $a_2 \ne a_1$을 써서 $Q_1(a_2) = 0$ (1점)
• 차수 소진 논증으로 결론 (1점)

Suppose $f$ has distinct roots $a_1, a_2, \dots$.

Since $a_1$ is a root, the factor theorem gives $f(x) = (x - a_1)Q_1(x)$ with $Q_1$ of degree $n - 1$.

Since $a_2$ is also a root of $f$: $0 = f(a_2) = (a_2 - a_1)Q_1(a_2)$. As $a_2 \ne a_1$, the first factor is nonzero, so $Q_1(a_2) = 0$ — apply the factor theorem to $Q_1$: $f = (x - a_1)(x - a_2)Q_2$ with $Q_2$ of degree $n-2$.

Iterating, each distinct root spends one linear factor and one degree. After $n$ are spent, the quotient is a nonzero constant — which has no roots, so no further distinct root can exist. $\blacksquare$

The crux is the second step — passing from "$a_2$ is a root of $f$" to "of $Q_1$" requires $a_2 \ne a_1$ (hence the theorem counts distinct roots). Its corollary — agreement at $n+1$ points forces identical polynomials — serves everywhere as the polynomial world's "determination theorem."

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Splitting off the first factor (1 pt)
• Using $a_2 \ne a_1$ to get $Q_1(a_2) = 0$ (1 pt)
• The degree-exhaustion conclusion (1 pt)

$f(x) - x$를 생각하라 — 이 보조 다항식의 근이 셋이나 보인다.

Consider $f(x) - x$ — three roots of this auxiliary polynomial are in plain sight.

보조 다항식 $g(x) = f(x) - x$를 보자. $g(1) = g(2) = g(3) = 0$ — 삼차인 $g$가 근 셋을 가지므로 인수정리로

$f(0) = 6$으로 $c$를 정한다: $0 + c(-1)(-2)(-3) = -6c = 6 \Rightarrow c = -1$:

"$f$가 $x$처럼 행동하는 세 점"을 차의 근으로 번역한 것 — 조건이 대각선으로 놓인 문제는 보조 다항식 $f - (\text{그 무늬})$가 표준 열쇠다.

Look at the auxiliary $g(x) = f(x) - x$: $g(1) = g(2) = g(3) = 0$ — a cubic with three roots, so by the factor theorem

Fix $c$ by $f(0) = 6$: $0 + c(-1)(-2)(-3) = -6c = 6 \Rightarrow c = -1$:

The three points where $f$ mimics $x$, translated into roots of a difference — for conditions laid along a pattern, the auxiliary $f - (\text{pattern})$ is the standard key.

몫은 일차식 $x + c$ — 미정계수로 전개 비교하라.

The quotient is linear, $x + c$ — expand and compare coefficients.

나누어떨어지면 몫은 일차식:

계수 비교: $x^2$항 $c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$; $x$항 $a = 1 - 4 = -3$; 상수항 $b = c = 2$.

검산: $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ ✓, $f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0$ ✓. $(x-1)^2$ 나누어떨어짐은 $f(1) = 0$ 하나로는 부족하다($x - 1$ 한 번만 보장) — 중근 조건은 이렇게 미정계수로, 또는 몫에 다시 인수정리를 적용해 처리한다.

Exact division leaves a linear quotient:

Compare: $x^2$: $c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$; $x$: $a = 1 - 4 = -3$; constant: $b = c = 2$.

Check: $f(1) = 0$ ✓, $f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0$ ✓. Divisibility by $(x-1)^2$ is not settled by $f(1) = 0$ alone (that buys one factor of $x - 1$) — double-root conditions go through undetermined coefficients, or a second factor-theorem pass on the quotient.

나머지정리로 주어진 조건은 $f(3) = 5$이고, 구하는 것은 $f(-3)$이다.

(1) 짝함수: $f(-3) = f(3) = 5$.

(2) 홀함수: $f(-3) = -f(3) = -5$.

나머지정리가 나머지를 함숫값으로 바꿔 주는 순간, U1의 대칭 성질이 그대로 이식된다 — 정리 두 개가 손을 잡으면 나눗셈 없이 반대편 나머지가 나온다. (다항식이 짝이려면 짝수차 항만, 홀이려면 홀수차 항만 가진다는 판별도 함께 기억할 것.)

By the remainder theorem the given fact is $f(3) = 5$, and the target is $f(-3)$.

(1) Even: $f(-3) = f(3) = 5$.

(2) Odd: $f(-3) = -f(3) = -5$.

Once the remainder theorem converts remainders into function values, U1's symmetry properties transplant directly — two theorems joining hands deliver the opposite-side remainder with no division at all. (Recall the test: a polynomial is even iff it has only even-degree terms, odd iff only odd.)