신축과 변환의 순서Stretches & Order of Transformations · 문제집Worksheet

$y = f(x)$의 그래프에 대하여 다음이 각각 어떤 신축인지 말로 설명하여라.

(1) $y = 3f(x)$ (2) $y = \dfrac12 f(x)$ (3) $y = f(2x)$ (4) $y = f\!\left(\dfrac{x}{3}\right)$

Describe each stretch of $y = f(x)$ in words.

(1) $y = 3f(x)$ (2) $y = \dfrac12 f(x)$ (3) $y = f(2x)$ (4) $y = f\!\left(\dfrac{x}{3}\right)$

점 $(6, 4)$가 $y = f(x)$의 그래프 위에 있다. 다음 그래프 위에서 이 점은 어디로 가는가?

(1) $y = 2f(x)$ (2) $y = f(2x)$ (3) $y = f\!\left(\dfrac{x}{2}\right)$

The point $(6, 4)$ lies on $y = f(x)$. Where does it go on each graph?

(1) $y = 2f(x)$ (2) $y = f(2x)$ (3) $y = f\!\left(\dfrac{x}{2}\right)$

$y = |x|$를 세로로 $2$배 늘인 뒤 오른쪽으로 $1$ 이동한 그래프의 식을 쓰고, 꼭짓점과 $x = 3$에서의 값을 구하여라.

Write the equation of $y = |x|$ stretched vertically by $2$, then shifted right $1$. Give the corner and the value at $x = 3$.

$f(x) = x^2$일 때, $y = 2f(x - 3) + 1$의 그래프를 얻는 변환을 순서대로 나열하고 꼭짓점을 구하여라. 이 식을 전개 없이 꼭짓점꼴로 그대로 읽으면 무엇인가?

For $f(x) = x^2$, list in order the transformations producing $y = 2f(x - 3) + 1$, and find the vertex. Read the formula directly as vertex form — what is it?

$y = f(2x - 4)$의 그래프를 "가로 $\frac12$ 눌림 후 오른쪽 $4$"로 읽으면 왜 틀리는지 설명하고, 올바른 두 가지 독법을 제시하여라.

Explain why reading $y = f(2x - 4)$ as "compress horizontally by $\frac12$, then shift right $4$" is wrong, and give the two correct readings.

$y = \sqrt{9x}$가 $y = \sqrt{x}$의 가로 신축이기도 하고 세로 신축이기도 함을 보이고, 두 배율을 각각 밝혀라.

Show that $y = \sqrt{9x}$ is both a horizontal and a vertical stretch of $y = \sqrt{x}$, giving both factors.

$y = (2x)^2$이 $y = x^2$의 세로 신축으로도 표현됨을 보이고 배율을 구하여라. 제곱근 가족($\sqrt{4x} = 2\sqrt x$)과 환율이 왜 다른지도 설명하여라.

Show that $y = (2x)^2$ is also a vertical stretch of $y = x^2$, with its factor. Explain why the exchange rate differs from the root family's ($\sqrt{4x} = 2\sqrt x$).

$y = x^2$에 다음 변환을 순서대로 적용한 그래프의 식을 구하여라: $x$축 반사 → 세로 $3$배 → 왼쪽 $1$ → 아래 $2$.

Apply to $y = x^2$, in order: $x$-axis reflection → vertical $\times 3$ → left $1$ → down $2$. Find the resulting equation.

$y = -2\sqrt{3x + 6} + 1$에 들어 있는 변환을 표준 독법(안쪽 인수분해, 안에서 밖으로)으로 모두 나열하고, $\sqrt x$의 시작점 $(0, 0)$이 어디로 가는지 추적하여라.

List every transformation inside $y = -2\sqrt{3x + 6} + 1$ by the standard reading (factor inside, inside-out), and track the endpoint $(0, 0)$ of $\sqrt x$.

$f$가 짝함수이면 (1) $a f(x)$ ($a \neq 0$)와 (2) $f(bx)$ ($b \neq 0$)도 짝함수임을 증명하여라. 또, 가로 이동은 짝을 깨뜨릴 수 있음을 반례로 보여라.

Prove that if $f$ is even, so are (1) $a f(x)$ ($a \neq 0$) and (2) $f(bx)$ ($b \neq 0$). Then show by counterexample that a horizontal shift can break evenness.

$y = |x|$에 대하여, 세로 $k$배($k > 0$)와 정확히 같은 그래프를 만드는 가로 신축의 배율을 구하고 근거를 밝혀라.

For $y = |x|$, find the horizontal stretch factor producing exactly the same graph as a vertical stretch by $k$ ($k > 0$), with justification.

$f(x) = x^3$에 대하여 $f(2x) = 8f(x)$임을 확인하고, 일반화하여 $f(bx) = b^3 f(x)$가 뜻하는 "가로–세로 환율"을 말로 정리하여라.

For $f(x) = x^3$, verify $f(2x) = 8f(x)$, and generalize: state in words the "horizontal–vertical exchange rate" that $f(bx) = b^3 f(x)$ expresses.

변환 두 개의 순서를 바꿔도 되는지 판별하려 한다.

(1) "세로 $2$배"와 "오른쪽 $3$" — 교환 가능한가? (2) "세로 $2$배"와 "위로 $3$" — 교환 가능한가? 안 되면 반례를 계산하라.

Decide whether each pair of transformations may swap order.

(1) "vertical $\times 2$" and "right $3$" — do they commute? (2) "vertical $\times 2$" and "up $3$" — do they commute? If not, compute a counterexample.