신축과 변환의 순서Stretches & Order of Transformations

바깥 배율은 그대로 세로에, 안쪽 배율은 역수로 가로에 작용한다:

(1)(2) 출력 $\times 3$, $\times \frac12$. (3) $f(2x)$: 사건 주소가 절반 — 가로 $\frac12$. (4) $f(x/3)$: 주소가 $3$배 — 가로 $3$배.

Outside factors act on the vertical as written; inside factors act on the horizontal as reciprocals:

(1)(2) outputs $\times 3$, $\times \frac12$. (3) $f(2x)$: event addresses halve — horizontal $\frac12$. (4) $f(x/3)$: addresses triple — horizontal $\times 3$.

(1) 세로 $2$배: $(6, 8)$.

(2) 가로 $\frac12$: $x$좌표가 절반 — $(3, 4)$. 확인: 새 함수의 $x = 3$에서 $f(6) = 4$ ✓.

(3) 가로 $2$배: $(12, 4)$.

신축은 좌표 하나만 곱한다 — 이동이 더하기였다면 신축은 곱하기다.

(1) Vertical $\times 2$: $(6, 8)$.

(2) Horizontal $\times \frac12$: the $x$-coordinate halves — $(3, 4)$. Confirm: at $x = 3$ the new function gives $f(6) = 4$ ✓.

(3) Horizontal $\times 2$: $(12, 4)$.

A stretch multiplies one coordinate only — where shifts added, stretches multiply.

세로 $2$배는 앞의 $2$, 오른쪽 $1$은 안의 $-1$:

꼭짓점 $(0,0)$은 신축에 안 움직이고 이동으로 $(1, 0)$. $x = 3$: $2|2| = 4$ ✓ (기울기가 $2$가 됐다 — 세로 신축이 V의 팔을 가파르게 만든다).

The vertical $\times 2$ is the leading $2$; right $1$ is the inside $-1$:

The corner $(0,0)$ ignores the stretch and moves to $(1, 0)$. At $x = 3$: $2|2| = 4$ ✓ (the arms now have slope $2$ — vertical stretches steepen the V).

표준 독법(신축 먼저, 이동 나중):

1. 세로 $2$배: $y = 2x^2$
2. 오른쪽 $3$: $y = 2(x-3)^2$
3. 위 $1$: $y = 2(x-3)^2 + 1$

꼭짓점은 $(0,0) \to (0,0) \to (3,0) \to (3,1)$.

이 식이 곧 Algebra 1의 꼭짓점꼴 $a(x-h)^2 + k$다 — 그 시절 "공식"이던 것이 이제 일반 변환 규칙의 이차함수 사례로 자리를 찾았다.

The standard reading (stretch first, shifts last):

1. vertical $\times 2$: $y = 2x^2$
2. right $3$: $y = 2(x-3)^2$
3. up $1$: $y = 2(x-3)^2 + 1$

The vertex travels $(0,0) \to (0,0) \to (3,0) \to (3,1)$.

And this is Algebra 1's vertex form $a(x-h)^2 + k$ — what was once "a formula" now takes its seat as the quadratic instance of the general transformation rules.

시험점으로 확인하자. $f(2x - 4)$는 $x = 2$에서 $f(0)$의 사건을 겪는다 — 원래 시작점(주소 $0$)이 $2$에 있다. 그런데 "$\frac12$ 눌림 후 오른쪽 $4$"라면 시작점은 $0 \to 0 \to 4$, 즉 $4$에 있어야 한다 — 모순이다.

틀린 이유: 눌림을 먼저 적용하면 이미 있던 이동량까지 함께 눌린다. $-4$라는 안쪽 숫자는 눌리기 전의 좌표로 적힌 것이라, 눌린 뒤의 세계에서는 $4$가 아니라 $2$의 이동이 된다.

올바른 독법 두 가지:

1. 인수분해 독법 — $f(2x - 4) = f(2(x - 2))$: 가로 $\frac12$ 눌림 후 오른쪽 $2$. (시작점 $0 \to 0 \to 2$ ✓)
2. 이동 먼저 독법 — 오른쪽 $4$ 후 가로 $\frac12$ 눌림. (시작점 $0 \to 4 \to 2$ ✓ — 눌림이 이동량까지 절반으로.)

같은 그래프에 이르는 두 절차 — 어느 쪽이든 좋지만, 섞어 쓰면(눌림 먼저 $+$ 이동 $4$) 틀린다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 시험점 등으로 오류 확인 (1점)
• 인수분해 독법 제시 (1점)
• 이동 먼저 독법(또는 동등한 설명) 제시 (1점)

Check with a test point. $f(2x - 4)$ experiences $f(0)$'s event at $x = 2$ — the original starting point (address $0$) now sits at $2$. But "compress, then right $4$" would put it at $0 \to 0 \to 4$ — contradiction.

The reason it fails: compressing first compresses any built-in shift along with it. The inside $-4$ is written in pre-compression coordinates, so after compressing it is worth a shift of $2$, not $4$.

The two correct readings:

1. Factored reading — $f(2x - 4) = f(2(x - 2))$: compress by $\frac12$, then right $2$. (Start: $0 \to 0 \to 2$ ✓)
2. Shift-first reading — right $4$, then compress by $\frac12$. (Start: $0 \to 4 \to 2$ ✓ — the compression halves the shift too.)

Two procedures, one graph — either works, but mixing them (compress first, shift $4$) fails.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Exposing the error, e.g. by a test point (1 pt)
• The factored reading (1 pt)
• The shift-first reading (or equivalent) (1 pt)

안쪽의 $9$는 가로 $\dfrac19$배 눌림이다. 한편 계산하면

— 세로 $3$배 늘임이기도 하다. 같은 그래프의 두 해석이다.

검산 — 점 추적: $(9, 3)$은 가로 눌림으로 $(1, 3)$에 가고, 세로 늘임으로는 $(1, 1) \to (1, 3)$ — 같은 점이다 ✓. 제곱근 가족의 환율은 "가로 $\frac1{k^2}$ $=$ 세로 $k$" — 함수 가족마다 이런 환율이 하나씩 있고, 그것이 각 가족의 지문이다.

The inside $9$ compresses horizontally by $\dfrac19$. But computing,

— also a vertical stretch by $3$. Two descriptions of one graph.

Check by tracking a point: $(9, 3)$ goes to $(1, 3)$ under the compression; under the vertical stretch, $(1, 1) \to (1, 3)$ — the same point ✓. The root family's exchange rate is "horizontal $\frac1{k^2}$ $=$ vertical $k$" — every family owns such a rate, and it is that family's fingerprint.

— 가로 $\frac12$ 눌림 $=$ 세로 $4$배.

제곱근에서는 $\sqrt{4x} = 2\sqrt x$로 가로 $\frac14$ $=$ 세로 $2$배였다. 차이의 원천은 안의 배율이 밖으로 나올 때 거치는 거듭제곱이다: $f(x) = x^2$이면 $f(bx) = b^2 f(x)$(제곱), $f(x) = \sqrt x$면 $f(bx) = \sqrt b\, f(x)$(제곱근). 안의 $b$가 밖에서 $b^2$, $b^{1/2}$로 바뀌는 것 — 지수가 곧 환율이다.

— horizontal $\frac12$ $=$ vertical $\times 4$.

For roots it was $\sqrt{4x} = 2\sqrt x$: horizontal $\frac14$ $=$ vertical $\times 2$. The source of the difference is the power an inside factor passes through on its way out: for $f(x) = x^2$, $f(bx) = b^2 f(x)$ (squared); for $f(x) = \sqrt x$, $f(bx) = \sqrt b\, f(x)$ (rooted). The inside $b$ emerges as $b^2$ or $b^{1/2}$ — the exponent is the exchange rate.

꼭짓점 $(-1, -2)$, 아래로 벌어진 가파른 포물선. 반사와 세로 신축은 순서를 바꿔도 같다($-3 = 3 \times (-1)$ — 곱셈이라 교환된다). 이동이 마지막이라 $-2$가 그대로 최종 높이다.

Vertex $(-1, -2)$, a steep downward parabola. Reflection and vertical stretch commute ($-3 = 3 \times (-1)$ — they are both multiplications). The shifts come last, so $-2$ is the genuine final drop.

안쪽을 묶으면 $\sqrt{3(x + 2)}$:

1. 가로 $\dfrac13$ 눌림 — $(0,0) \to (0,0)$
2. 왼쪽 $2$ — $\to (-2, 0)$
3. 세로 $2$배 $+$ 반사($-2$) — $\to (-2, 0)$ ($y = 0$이라 제자리)
4. 위 $1$ — $\to (-2, 1)$

검산: $x = -1$에서 식은 $-2\sqrt{3} + 1 \approx -2.46$; 시작점 $(-2, 1)$에서 오른쪽으로 가며 내려가는 곡선의 값으로 자연스럽다 ✓ (정의역 $x \ge -2$도 시작점과 일치).

Factoring inside gives $\sqrt{3(x + 2)}$:

1. horizontal compression $\dfrac13$ — $(0,0) \to (0,0)$
2. left $2$ — $\to (-2, 0)$
3. vertical $\times 2$ with reflection (the $-2$) — $\to (-2, 0)$ (unmoved: $y = 0$)
4. up $1$ — $\to (-2, 1)$

Check: at $x = -1$ the formula gives $-2\sqrt{3} + 1 \approx -2.46$ — consistent with a curve descending rightward from $(-2, 1)$ ✓ (and the domain $x \ge -2$ matches the endpoint).

(1) $g(x) = a f(x)$이면

— 짝. $\blacksquare$

(2) $h(x) = f(bx)$이면

($f$가 짝이므로 $f(-t) = f(t)$를 $t = bx$에 적용) — 짝. $\blacksquare$

이동의 반례. $f(x) = x^2$(짝)을 오른쪽 $1$ 이동한 $(x-1)^2$은 $x = 1$ 대칭이지 $y$축 대칭이 아니다 — $(-1-1)^2 = 4 \ne 0 = (1-1)^2$. 짝이 아니다.

신축·반사는 대칭축($y$축)을 제자리에 두지만, 가로 이동은 대칭축 자체를 옮긴다 — 대칭이 사라진 게 아니라 축이 이사한 것이고, 그것이 "$x = 1$ 대칭"이라는 새 표현으로 남는다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• (1) 계산 (1점)
• (2) 계산($t = bx$ 치환 명시) (1점)
• 이동 반례와 "축이 이사" 해석 (1점)

(1) For $g(x) = a f(x)$:

— even. $\blacksquare$

(2) For $h(x) = f(bx)$:

(applying $f(-t) = f(t)$ with $t = bx$) — even. $\blacksquare$

The shift counterexample. Shift the even $f(x) = x^2$ right by $1$: $(x-1)^2$ is symmetric about $x = 1$, not the $y$-axis — $(-1-1)^2 = 4 \ne 0 = (1-1)^2$. Not even.

Stretches and reflections leave the axis of symmetry in place; a horizontal shift moves the axis itself — the symmetry has not died, its axis has relocated, surviving as "symmetric about $x = 1$."

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The computation in (1) (1 pt)
• The computation in (2), with the $t = bx$ substitution explicit (1 pt)
• The shift counterexample with the "axis relocated" reading (1 pt)

가로를 $\dfrac1k$배로 누르는 것은 $y = |kx|$인데, 절댓값의 성질로($k > 0$)

— 세로 $k$배와 같은 식이다.

$|x|$의 환율이 "가로 $\frac1k$ $=$ 세로 $k$"로 일대일인 것은 $|x|$가 일차적으로 자라기 때문이다 — 제곱근은 $\frac1{k^2} \leftrightarrow k$, 제곱은 $\frac1k \leftrightarrow k^2$이었다. V자의 팔이 직선이라는 사실이 환율에 그대로 찍힌다.

Compressing horizontally by $\dfrac1k$ gives $y = |kx|$, and by the absolute value's property (with $k > 0$)

— the same formula as the vertical stretch by $k$.

That $|x|$'s exchange rate is the one-to-one "horizontal $\frac1k$ $=$ vertical $k$" reflects its linear growth — roots traded at $\frac1{k^2} \leftrightarrow k$, squares at $\frac1k \leftrightarrow k^2$. The V's straight arms stamp themselves onto the rate.

가로를 $\dfrac1b$로 누르는 변환이 세로 $b^3$배 늘임과 같은 그래프를 만든다 — 세제곱 가족의 환율은 세제곱이다.

이렇게 $f(bx) = (\text{상수}) \cdot f(x)$가 성립하는 함수(거듭제곱 함수들)에서는 가로 신축이 항상 세로 신축으로 번역된다 — 두 신축이 진짜로 다른 변환이 되는 것은 이 성질이 없는 함수(지수함수가 대표)에서이고, 그 구별이 지수·로그 단원에서 중요해진다.

Compressing horizontally by $\dfrac1b$ yields the same graph as stretching vertically by $b^3$ — the cubic family trades at the cube.

Functions satisfying $f(bx) = (\text{constant}) \cdot f(x)$ — the power functions — always convert horizontal stretches into vertical ones. The two stretches become genuinely different transformations only for functions without this property (the exponential is the flagship), and that distinction turns important in the exponentials unit.

(1) 세로 $2$배는 $y$좌표만, 오른쪽 $3$은 $x$좌표만 손댄다 — 서로 다른 좌표라 순서 무관:

(2) 둘 다 $y$좌표를 손댄다:

— 다르다. 반례의 수치: $f(x) = x^2$, $x = 0$에서 앞은 $6$, 뒤는 $3$.

판별 규칙: 다른 좌표를 건드리는 쌍은 교환, 같은 좌표의 "곱하기와 더하기"는 비교환 — $2(y + 3) \ne 2y + 3$이라는 분배법칙의 사실이 그래프의 언어로 나타난 것뿐이다. 변환의 산수는 결국 수의 산수다.

(1) The stretch touches only $y$, the shift only $x$ — different coordinates, order irrelevant:

(2) Both touch $y$:

— different. Numerically: with $f(x) = x^2$ at $x = 0$, the first gives $6$, the second $3$.

The rule: pairs touching different coordinates commute; multiply-and-add on the same coordinate does not — nothing but the distributive fact $2(y + 3) \ne 2y + 3$, spoken in the language of graphs. The arithmetic of transformations is, in the end, the arithmetic of numbers.