원과 각Angles in Circles · 문제집Worksheet

접점 $T$에서 접선과 현 $\overline{TA}$가 이루는 각을 구하여라. 현이 잘라낸 호 $TA$의 크기는 $100°$다.

At the point of tangency $T$, find the angle between the tangent and the chord $\overline{TA}$, given that the arc $TA$ cut off by the chord measures $100°$.

두 현이 원 안에서 만나 이루는 각을 구하여라. 맞꼭지각 쌍이 잘라내는 두 호가 $40°$와 $80°$다.

Two chords meet inside a circle. Find the angle they make, given the two arcs cut off by the vertical angle pair are $40°$ and $80°$.

원 밖의 점에서 두 할선을 그었더니 먼 호가 $120°$, 가까운 호가 $40°$였다. 두 할선이 이루는 각을 구하여라.

From a point outside a circle, two secants cut a far arc of $120°$ and a near arc of $40°$. Find the angle between the secants.

접점 $T$에서 접선과 현 $\overline{TA}$가 이루는 각이 $65°$다.

(1) 현이 잘라낸 호 $TA$의 크기는? (2) 현의 반대쪽 원 위의 점 $B$에 대하여 $\angle TBA$는? (3) 접선의 다른 쪽에서 현과 이루는 각은?

At the point of tangency $T$, the tangent makes a $65°$ angle with chord $\overline{TA}$.

(1) Find the arc $TA$ cut off by the chord. (2) For a point $B$ on the far side of the chord, find $\angle TBA$. (3) Find the angle between the chord and the other side of the tangent.

원 밖의 점 $P$에서 접선(접점 $T$)과 할선(가까운 교점 $A$, 먼 교점 $B$)을 그었다. 다음을 증명하여라:

From a point $P$ outside a circle, a tangent (touching at $T$) and a secant (near point $A$, far point $B$) are drawn. Prove:

두 현이 원 안에서 만나 $75°$의 각을 이룬다. 맞꼭지각 쌍이 잘라내는 두 호 중 하나가 $60°$일 때, 다른 하나를 구하여라.

Two chords meet inside a circle at $75°$. One of the two arcs cut off by the vertical angle pair is $60°$; find the other.

원 밖의 점에서 그은 두 접선이 $40°$의 각을 이룬다. 두 접점이 가르는 두 호의 크기를 각각 구하여라.

Two tangents from an external point make a $40°$ angle. Find the two arcs into which the points of tangency divide the circle.

접점 $T$에서의 접선 위에 점 $P$가 있고, $\angle PTB = 58°$다($B$는 원 위의 점). 현 $\overline{TB}$에 대해 $P$의 반대쪽 원 위의 점 $A$에 대하여 $\angle TAB$를 구하여라.

$P$ lies on the tangent at $T$, with $\angle PTB = 58°$ ($B$ on the circle). For a point $A$ on the circle on the opposite side of chord $\overline{TB}$ from $P$, find $\angle TAB$.

원 밖의 점 $P$에서 접선(접점 $T$)과 할선(교점 $A$, $B$ — $A$가 가깝다)을 그었다. $\angle P = 35°$이고 호 $TB$(먼 호)가 $130°$일 때, 호 $TA$를 구하여라.

From external point $P$, a tangent (touching at $T$) and a secant (meeting the circle at $A$, then $B$; $A$ nearer) are drawn. Given $\angle P = 35°$ and far arc $TB = 130°$, find arc $TA$.

원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선이 점 $P$에서 만나고, $\angle APB = 100°$, 호 $AB = 120°$다. $\angle CAD$를 구하여라.

Cyclic quadrilateral $ABCD$ has diagonals meeting at $P$, with $\angle APB = 100°$ and arc $AB = 120°$. Find $\angle CAD$.

원의 접선이 현 $\overline{AB}$와 평행하면, 접점 $T$는 호 $AB$(접선 쪽 호)의 중점임을 증명하여라.

Prove that if a tangent to a circle is parallel to a chord $\overline{AB}$, the point of tangency $T$ is the midpoint of arc $AB$ (the arc on the tangent's side).

$\angle A = 50°$인 삼각형 $ABC$의 내접원이 세 변 $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$에 각각 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 접점 삼각형의 각 $\angle FDE$를 구하여라.

The incircle of triangle $ABC$ with $\angle A = 50°$ touches sides $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ at $D$, $E$, $F$. Find the contact triangle's angle $\angle FDE$.

원 위에 두 점 $A$, $B$가 있고, 직선 $AB$에 대해 같은 쪽에서 호 $AB$를 보는 원주각의 크기를 $\theta$라 하자. 같은 쪽의 점 $P$에 대하여 다음을 증명하여라:

• $P$가 원의 내부에 있으면 $\angle APB > \theta$
• $P$가 원의 외부에 있으면 $\angle APB < \theta$

(따라서 $\angle APB = \theta$인 점 $P$는 반드시 원 위에 있다 — 원주각 정리의 역.)

Points $A$, $B$ lie on a circle; let $\theta$ be the inscribed angle on arc $AB$ seen from one side of line $AB$. For a point $P$ on that same side, prove:

• If $P$ is inside the circle, then $\angle APB > \theta$.
• If $P$ is outside, then $\angle APB < \theta$.

(Hence any $P$ with $\angle APB = \theta$ must lie on the circle — the converse of the inscribed angle theorem.)