원과 각Angles in Circles

접현각 정리로 호의 절반:

원주각과 같은 요금표다 — 꼭짓점이 원 위에 있으면 언제나 "호의 절반".

By the tangent-chord theorem, half the arc:

Same fare as an inscribed angle — a vertex on the circle always pays "half the arc."

내부각은 두 호의 절반 합:

두 호의 평균이라고 읽어도 좋다 — 안에서 만나면 두 호가 반반씩 힘을 보탠다.

The interior angle is half the sum:

Read it as the average of the two arcs — meeting inside, both arcs chip in half each.

외부각은 두 호의 절반 차:

검산 — 외각 정리로: 먼 호의 원주각 $60°$가 외부각과 가까운 호의 원주각 $20°$의 합 ✓.

The exterior angle is half the difference:

Check via the exterior angle theorem: the far arc's inscribed angle $60°$ equals the external angle plus the near arc's inscribed angle $20°$ ✓.

(1) 접현각의 두 배: $130°$.

(2) 반대쪽 원주각은 같은 호를 보므로 $\dfrac{130°}{2} = 65°$ — 접현각의 복사본이다.

(3) 평각에서 $180° - 65° = 115°$. 이는 나머지 호 $360° - 130° = 230°$의 절반이기도 하다 ✓ — 접선의 양쪽 각이 두 호를 하나씩 맡는다.

(1) Twice the tangent-chord angle: $130°$.

(2) The far-side inscribed angle sees the same arc: $\dfrac{130°}{2} = 65°$ — a copy of the tangent-chord angle.

(3) Supplementary: $180° - 65° = 115°$. That is also half the remaining arc, $\dfrac{360° - 130°}{2}$ ✓ — the tangent's two sides each take charge of one arc.

현 $\overline{TA}$를 긋고 $\triangle PTA$의 외각을 찾아라.

Draw chord $\overline{TA}$ and find the exterior angle of $\triangle PTA$.

현 $\overline{TA}$를 긋는다. $\angle TAB$는 $\triangle PTA$에서 $A$의 외각이므로

두 각을 호로 번역한다: $\angle TAB$는 호 $TB$를 보는 원주각이므로 $\dfrac{\text{호 } TB}{2}$, $\angle PTA$는 접선과 현 $\overline{TA}$의 접현각이므로 $\dfrac{\text{호 } TA}{2}$. 대입하고 이항하면

할선-할선 증명과 똑같은 조립인데, 원주각 하나가 접현각으로 교체됐을 뿐이다 — 접현각이 "원주각의 극한"이라는 말의 실전 의미다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 보조 현과 외각 정리 (1점)
• 원주각·접현각으로의 번역 (1점)
• 이항하여 결론 (1점)

Draw chord $\overline{TA}$. Then $\angle TAB$ is the exterior angle of $\triangle PTA$ at $A$:

Translate both into arcs: $\angle TAB$ is the inscribed angle on arc $TB$, so it equals $\dfrac{\text{arc } TB}{2}$; and $\angle PTA$ is the tangent-chord angle on arc $TA$, so it equals $\dfrac{\text{arc } TA}{2}$. Substitute and rearrange:

The identical assembly as the secant-secant proof, with one inscribed angle swapped for a tangent-chord angle — the working meaning of "the tangent-chord angle is the inscribed angle's limit."

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Auxiliary chord and the exterior angle theorem (1 pt)
• Translation into inscribed/tangent-chord angles (1 pt)
• Rearranging to conclude (1 pt)

내부각 공식 $75° = \dfrac{60° + x}{2}$에서

검산: $\dfrac{60° + 90°}{2} = 75°$ ✓. 공식을 거꾸로 타는 것 — 각에 $2$를 곱한 뒤 아는 호를 빼면 된다.

From $75° = \dfrac{60° + x}{2}$,

Check: $\dfrac{60° + 90°}{2} = 75°$ ✓. The formula ridden backwards — double the angle, subtract the known arc.

두 호를 $x$(먼 호), $y$(가까운 호)라 하면

더하고 빼면 $x = 220°$, $y = 140°$.

검산: $\dfrac{220° - 140°}{2} = 40°$ ✓. 접선 두 개는 원 전체를 두 호로만 가르므로, 합 $360°$가 공짜 식으로 따라온다 — 연립의 반쪽은 항상 채워져 있는 셈이다.

With $x$ the far arc and $y$ the near arc,

Adding and subtracting: $x = 220°$, $y = 140°$.

Check: $\dfrac{220° - 140°}{2} = 40°$ ✓. Two tangents split the circle into just two arcs, so the sum $360°$ comes free — half the system is always pre-filled.

$\angle PTB$는 접현각 — 현 $\overline{TB}$가 $P$ 쪽으로 잘라낸 호 $TB$의 절반이다. $A$는 현의 반대쪽에 있으므로 $\angle TAB$는 바로 그 호를 보는 원주각:

접현각은 각을 현 건너편으로 무료 배송한다 — 이 한 수가 다음 차시 방멱 정리의 닮음을 여는 열쇠가 된다.

$\angle PTB$ is a tangent-chord angle — half the arc $TB$ cut off on $P$'s side. Since $A$ sits across the chord, $\angle TAB$ is the inscribed angle on that very arc:

The tangent-chord angle ships angles across the chord free of charge — the move that will unlock next lesson's power-of-a-point similarity.

접선-할선 외부각 공식으로

검산: $\dfrac{130° - 60°}{2} = 35°$ ✓. 남은 호 $AB$는 $360° - 130° - 60° = 170°$ — 세 호의 합이 온 원이 되는지로 그림 전체를 한 번 더 검산할 수 있다.

By the tangent-secant exterior formula,

Check: $\dfrac{130° - 60°}{2} = 35°$ ✓. The leftover arc $AB$ is $360° - 130° - 60° = 170°$ — summing all three arcs back to a full circle double-checks the whole picture.

먼저 내부각 공식으로 호 $CD$를 구하라.

First recover arc $CD$ from the interior angle formula.

대각선 $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$의 교점 $P$에서 $\angle APB$가 잘라내는 두 호는 $AB$와 $CD$다:

$\angle CAD$는 꼭짓점 $A$에서 호 $CD$를 보는 원주각:

내부각 공식으로 호를 복원하고, 원주각 정리로 각을 읽는 2단 조합 — 원 각 문제의 표준 리듬이다.

At the diagonal intersection $P$, the angle $\angle APB$ cuts off arcs $AB$ and $CD$:

$\angle CAD$ is the inscribed angle at $A$ on arc $CD$:

Interior formula to recover the arc, inscribed angle theorem to read the angle — the standard two-beat rhythm of circle angle problems.

접현각과 엇각 — 두 정리가 같은 각을 서로 다른 호로 읽는다.

Tangent-chord angle and alternate angles — two theorems reading the same angle as two different arcs.

접선과 현 $\overline{TA}$가 이루는 접현각은 호 $TA$의 절반이다. 한편 접선 $\parallel \overline{AB}$이므로 엇각에 의해 이 접현각은 $\angle TAB$와 같고, $\angle TAB$는 호 $TB$를 보는 원주각 — 호 $TB$의 절반이다.

$T$가 호 $AB$를 같은 두 조각으로 가르므로 중점이다. $\blacksquare$

평행선 단원의 엇각이 통역을 맡았다 — 같은 각을 접현각으로 읽으면 호 $TA$, 원주각으로 읽으면 호 $TB$가 나오니 두 호가 같을 수밖에 없다. 대칭으로 봐도 자연스럽다: 접선이 현과 평행하려면 접점이 현의 수직이등분선(대칭축) 위에 있어야 한다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 수직이등분선 대칭 논증 포함)

• 접현각 $=$ 호 $TA$의 절반 (1점)
• 엇각으로 $\angle TAB$와 연결 (1점)
• 두 호가 같음 → 중점 결론 (1점)

The tangent-chord angle with chord $\overline{TA}$ equals half of arc $TA$. But the tangent is parallel to $\overline{AB}$, so by alternate angles this angle equals $\angle TAB$ — an inscribed angle on arc $TB$, hence half of arc $TB$:

$T$ splits arc $AB$ into equal pieces — the midpoint. $\blacksquare$

The parallel-lines unit's alternate angles serve as interpreter — the same angle read as a tangent-chord angle yields arc $TA$, read as an inscribed angle yields arc $TB$, so the arcs must agree. Symmetry says the same: a tangent parallel to a chord must touch on the chord's perpendicular bisector, the axis of symmetry.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including the perpendicular-bisector symmetry argument)

• Tangent-chord angle $=$ half arc $TA$ (1 pt)
• Alternate angles linking to $\angle TAB$ (1 pt)
• Equal arcs → midpoint (1 pt)

$AF = AE$(두 접선 정리)와 접현각 — 두 정리를 이어 붙여라.

Chain $AF = AE$ (two tangents) with the tangent-chord angle.

두 접선 정리로 $AF = AE$ — $\triangle AFE$는 이등변이고, 꼭지각이 $50°$이므로

이제 내접원의 입장에서 보면 $\overline{AB}$는 $F$에서의 접선이고 $\overline{FE}$는 현이다 — $\angle AFE$는 접현각이므로, 현 $\overline{FE}$ 건너편의 원주각과 같다:

검산 — 일반식: $\angle FDE = 90° - \dfrac{\angle A}{2} = 90° - 25° = 65°$ ✓. 접점 삼각형의 세 각은 전부 이 꼴이라 항상 예각 — 어떤 삼각형이든 접점 삼각형은 예각삼각형이라는 덤까지 따라온다.

By the two-tangent theorem $AF = AE$ — triangle $AFE$ is isosceles with apex $50°$, so

Now from the incircle's point of view, $\overline{AB}$ is a tangent at $F$ and $\overline{FE}$ a chord — so $\angle AFE$ is a tangent-chord angle, equal to the inscribed angle across the chord:

Check with the general formula: $\angle FDE = 90° - \dfrac{\angle A}{2} = 90° - 25° = 65°$ ✓. All three contact-triangle angles have this form, hence all are acute — a bonus: every triangle's contact triangle is acute.

$\overline{AP}$의 연장선이 원과 만나는 점을 잡고 외각 정리를 써라.

Extend $\overline{AP}$ to meet the circle and use the exterior angle theorem.

내부. $P$가 내부에 있으면 반직선 $AP$가 원과 다시 만나는 점 $Q$가 있다($P$는 $\overline{AQ}$ 위). $\angle APB$는 $\triangle PQB$에서 $P$의 외각이므로

($\angle AQB = \theta$는 같은 호의 원주각, $\angle QBP > 0$).

외부. $P$가 외부에 있으면 $\overline{AP}$가 원을 뚫고 지나는 점 $Q$가 있다($Q$는 $\overline{AP}$ 위). 이번에는 $\angle AQB$가 $\triangle PQB$의 외각이다:

결론. 같은 쪽에서 $\angle APB = \theta$이면 $P$는 내부도 외부도 아니다 — 원 위다. $\blacksquare$

"안으로 들어가면 커지고 밖으로 나가면 작아진다"는 이 단원의 관점(합의 절반 / 차의 절반)이 부등식으로 정제된 것이고, 등호가 성립하는 자리는 정확히 원 위뿐이다. 이로써 원주각 정리는 역까지 갖춘 판정이 된다 — 같은 쪽에서 같은 각으로 선분을 보는 점들의 자취가 곧 호다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 내부: 연장 교점 $Q$와 외각 정리로 $>$ (1점)
• 외부: 같은 구도로 $<$ (1점)
• 등호 $\Rightarrow$ 원 위 결론 (1점)

Inside. If $P$ is interior, ray $AP$ meets the circle again at $Q$ (with $P$ on $\overline{AQ}$). Then $\angle APB$ is the exterior angle of $\triangle PQB$ at $P$:

($\angle AQB = \theta$ as an inscribed angle on the same arc; $\angle QBP > 0$).

Outside. If $P$ is exterior, segment $\overline{AP}$ crosses the circle at $Q$ (with $Q$ on $\overline{AP}$). This time $\angle AQB$ is the exterior angle of $\triangle PQB$:

Conclusion. If $\angle APB = \theta$ from the same side, $P$ is neither inside nor outside — it lies on the circle. $\blacksquare$

This refines the unit's viewpoint — "step inside and angles grow, step outside and they shrink" (half-sum / half-difference) — into inequalities, with equality holding only on the circle itself. The inscribed angle theorem thus becomes a test with a converse: the locus of points seeing a segment at a fixed angle from one side is exactly an arc.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Inside: extension point $Q$ and exterior angle giving $>$ (1 pt)
• Outside: the same setup giving $<$ (1 pt)
• Equality $\Rightarrow$ on the circle (1 pt)