합성과 대칭Compositions & Symmetry · 문제집Worksheet

점 $(2, 3)$에 $y$축 반사를 적용한 뒤 $(+3, -1)$만큼 평행이동했다. 최종 상을 구하여라.

Apply to $(2, 3)$: reflection across the $y$-axis, then translation by $(+3, -1)$. Find the final image.

점 $(0, 5)$를 직선 $x = 1$에 반사한 뒤 직선 $x = 4$에 반사했다. 최종 상을 구하고, 두 반사의 합성이 어떤 변환인지 밝혀라.

Reflect $(0, 5)$ across the line $x = 1$, then across $x = 4$. Find the final image and identify the composition.

정삼각형의 대칭은 모두 몇 개인가? 나열하여라.

How many symmetries does an equilateral triangle have? List them.

점 $(5, 1)$을 $x$축에 반사한 뒤 직선 $y = x$에 반사했다. 최종 상을 구하고, 이 합성이 어떤 단일 변환과 같은지 밝혀라.

Reflect $(5, 1)$ across the $x$-axis, then across the line $y = x$. Find the final image, and identify the single transformation this composition equals.

교차 거울 정리를 증명하여라: 한 점 $O$에서 만나는 두 거울선 $\ell_1$, $\ell_2$의 사잇각이 $\theta$일 때, $\ell_1$ 반사 후 $\ell_2$ 반사의 합성이 $O$ 중심의 $2\theta$ 회전임을 보여라.

Prove the crossing-mirror theorem: if mirrors $\ell_1$ and $\ell_2$ meet at $O$ with angle $\theta$ between them, the composition "reflect in $\ell_1$, then in $\ell_2$" is the rotation about $O$ by $2\theta$.

정사각형의 대칭 $8$개를 빠짐없이 나열하여라.

List all $8$ symmetries of a square.

변환 $A$는 "원점 중심 반시계 $90°$ 회전", 변환 $B$는 "$x$축 반사"다. 합성 "$A$ 먼저, $B$ 나중"과 "$B$ 먼저, $A$ 나중"을 시험점 $(1, 0)$으로 비교하여, 두 합성이 다른 변환임을 보여라.

Transformation $A$ is "rotate $90°$ counterclockwise about the origin"; $B$ is "reflect across the $x$-axis." Compare "$A$ then $B$" against "$B$ then $A$" on the test point $(1, 0)$, showing the two compositions are different transformations.

일반 평행사변형(직사각형도 마름모도 아닌 것)의 대칭은 모두 몇 개인가? 반사 대칭이 하나도 없는 이유도 설명하여라.

How many symmetries does a generic parallelogram (neither rectangle nor rhombus) have? Explain why it has no reflection symmetry at all.

원점 중심 반시계 $90°$ 회전에 이어 원점 중심 $180°$ 회전을 합성했다. 합성이 어떤 단일 변환인지 밝히고, 시험점 $(2, 1)$로 확인하여라.

Compose the counterclockwise $90°$ rotation about the origin with the $180°$ rotation about the origin. Identify the single resulting transformation, and check with the test point $(2, 1)$.

점 $A(1, 1)$에 대한 점대칭에 이어 점 $B(4, 2)$에 대한 점대칭을 합성했다. 합성이 어떤 단일 변환인지 일반 점 $P(x, y)$의 계산으로 밝히고, $A$, $B$와의 관계를 말하여라.

Compose the point symmetry about $A(1, 1)$ with the point symmetry about $B(4, 2)$. Identify the single resulting transformation by computing with a general point $P(x, y)$, and state its relation to $A$ and $B$.

한 종류의 정다각형 타일만으로 평면을 빈틈도 겹침도 없이 덮으려 한다. 가능한 정다각형을 모두 찾고, 나머지는 왜 불가능한지 근거를 대어라.

You want to tile the plane with copies of a single regular polygon — no gaps, no overlaps. Find all regular polygons that work, and justify why the rest fail.

(1) 대칭이 정확히 $10$개인 정다각형은 무엇인가? (2) 대칭의 개수가 홀수인 도형이 존재할 수 있는가? 있다면 예를 들어라.

(1) Which regular polygon has exactly $10$ symmetries? (2) Can a figure have an odd number of symmetries? If so, give an example.

정$n$각형의 대칭이 정확히 $2n$개임을 증명하여라: $2n$개 이상임은 나열로, $2n$개 이하임은 "대칭이 꼭짓점 하나와 그 이웃을 어디로 보내는지"로 보여라.

Prove that a regular $n$-gon has exactly $2n$ symmetries: at least $2n$ by listing them, at most $2n$ by tracking "where a symmetry sends one vertex and its neighbor."