합성과 대칭Compositions & Symmetry

합성은 적용 순서대로 — 안쪽(먼저)부터 바깥쪽(나중)으로 계산한다.

Compositions run in order of application — inside (first) to outside (last).

알짜 효과는 $+6$ 평행이동 — 거울 간격 $4 - 1 = 3$의 두 배다. 평행 거울 정리의 수치 표본: 어느 점으로 시작해도 같은 $+6$이 나온다.

The net effect is a $+6$ translation — twice the mirror gap $4 - 1 = 3$. A numeric specimen of the parallel-mirror theorem: any starting point yields the same $+6$.

• 회전 $3$개: 중심 기준 $0°$(항등), $120°$, $240°$.
• 반사 $3$개: 각 꼭짓점과 맞은편 변의 중점을 잇는 축 $3$개.

합쳐서 $6$개. 항등을 빼먹지 않는 것($0°$도 대칭), 축이 꼭짓점 수만큼 있다는 것 — 두 확인이 요점이다. $2n$ 공식($n = 3$)과 일치한다.

• Rotations, $3$: about the center by $0°$ (the identity), $120°$, $240°$.
• Reflections, $3$: across the three axes joining each vertex to the opposite side's midpoint.

Six in all. Don't drop the identity ($0°$ counts), and the axes number the vertices — the two checkpoints. Matches the $2n$ formula with $n = 3$.

이는 $(x, y) \mapsto (-y, x)$ — 반시계 $90°$ 회전과 일치한다.

두 거울선($x$축과 $y = x$)의 사잇각이 $45°$이고 회전각이 그 두 배인 $90°$ — 교차 거울 정리의 수치 표본이다. 중심은 두 거울선의 교점인 원점 ✓.

This matches $(x, y) \mapsto (-y, x)$ — the counterclockwise $90°$ rotation.

The mirrors ($x$-axis and $y = x$) cross at $45°$, and the rotation is twice that, $90°$ — a numeric specimen of the crossing-mirror theorem, centered at the mirrors' intersection, the origin ✓.

점 $P$의 위치를 "$O$까지의 거리"와 "$\ell_1$에서 잰 각"으로 추적하라 — 반사는 거리를 지키고 각을 뒤집는다.

Track a point $P$ by its distance to $O$ and its angle measured from $\ell_1$ — reflections keep the distance and flip the angle.

두 반사 모두 $O$를 고정하고 거리를 보존하므로, 임의의 점 $P$의 상은 $O$ 중심·반지름 $OP$인 원 위에서 움직인다 — 추적할 것은 각뿐이다.

$\ell_1$에서 잰 $\overrightarrow{OP}$의 각을 $\varphi$라 하자.

첫 반사($\ell_1$). 반사는 거울선과 이루는 각을 반대쪽으로 뒤집으므로, 각 $\varphi$는 $-\varphi$가 된다.

둘째 반사($\ell_2$). $\ell_2$는 $\ell_1$에서 각 $\theta$에 있다. $-\varphi$ 방향이 $\ell_2$와 이루는 각은 $\theta - (-\varphi) = \theta + \varphi$이고, 반사는 이를 $\ell_2$의 반대쪽 같은 각으로 보내므로 상의 각은

모든 점의 각이 $2\theta$만큼 늘고 거리가 그대로다 — 정확히 $O$ 중심의 $2\theta$ 회전이다. $\blacksquare$

$\varphi$가 소거되고 $2\theta$만 남는 것이 요점이다 — 회전각은 점의 위치와 무관하게 거울 사잇각의 두 배다. 평행 거울 정리($2 \times$ 간격)와 정확히 평행한 구조: 반사 두 번은 언제나 "거울 사이 관계"의 두 배를 남긴다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 좌표 계산 포함)

• 거리 보존·$O$ 고정으로 각 추적으로 환원 (1점)
• 두 반사의 각 계산($\varphi \to -\varphi \to \varphi + 2\theta$) (1점)
• $2\theta$ 회전 결론($\varphi$ 무관성 언급) (1점)

Both reflections fix $O$ and preserve distance, so any point $P$'s image stays on the circle about $O$ of radius $OP$ — only the angle needs tracking.

Let $\varphi$ be the angle of $\overrightarrow{OP}$ measured from $\ell_1$.

First reflection ($\ell_1$). A reflection flips the angle with its mirror to the other side, so $\varphi$ becomes $-\varphi$.

Second reflection ($\ell_2$). $\ell_2$ sits at angle $\theta$ from $\ell_1$. The direction $-\varphi$ makes angle $\theta - (-\varphi) = \theta + \varphi$ with $\ell_2$, and reflecting sends it to the same angle on the far side:

Every point's angle grows by $2\theta$ while its distance holds — precisely the rotation about $O$ by $2\theta$. $\blacksquare$

The point is that $\varphi$ cancels, leaving $2\theta$ — the rotation angle is twice the mirror angle regardless of the point. Structurally the exact twin of the parallel-mirror theorem ($2 \times$ gap): two reflections always leave twice the mirrors' mutual relation.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including a coordinate computation)

• Reducing to angle-tracking via distance preservation and the fixed $O$ (1 pt)
• The two-reflection angle computation ($\varphi \to -\varphi \to \varphi + 2\theta$) (1 pt)
• The $2\theta$ rotation conclusion, noting independence of $\varphi$ (1 pt)

• 회전: 중심 기준 $0°$(항등), $90°$, $180°$, $270°$.
• 반사: 마주 보는 변의 중점을 잇는 축 $2$개(수평·수직), 대각선 축 $2$개.

모두 $8$개 — $2n$ 공식의 $n = 4$ 경우다. 반사축이 두 종류(변 중점형·꼭짓점형)로 갈리는 것도 눈여겨보라 — 정$n$각형에서 $n$이 짝수면 축이 두 종류로, 홀수면 한 종류(꼭짓점–변 중점)로 나온다.

• Rotations: about the center by $0°$ (identity), $90°$, $180°$, $270°$.
• Reflections: the two axes joining opposite sides' midpoints (horizontal, vertical), and the two diagonals.

Eight in all — the $2n$ formula at $n = 4$. Note the mirror axes come in two kinds (edge-midpoint type and vertex type) — for a regular $n$-gon the axes split into two kinds when $n$ is even, one kind (vertex to opposite edge-midpoint) when $n$ is odd.

$A$ 먼저: $(1, 0) \xmapsto{A} (0, 1) \xmapsto{B} (0, -1)$.

$B$ 먼저: $(1, 0) \xmapsto{B} (1, 0) \xmapsto{A} (0, 1)$.

같은 입력에서 다른 출력 — 두 합성은 다른 변환이다. 변환의 합성은 곱셈처럼 교환되지 않는다("신발 신고 양말 신기"가 그 반대와 다른 것과 같다). 한 점에서 다르면 전체가 다르다는 판정법도 함께 확인된다 — 변환의 같음은 모든 점에서, 다름은 한 점이면 충분하다.

$A$ first: $(1, 0) \xmapsto{A} (0, 1) \xmapsto{B} (0, -1)$.

$B$ first: $(1, 0) \xmapsto{B} (1, 0) \xmapsto{A} (0, 1)$.

Same input, different outputs — the compositions are different transformations. Composition does not commute like multiplication ("shoes then socks" differs from the reverse). And the test doubles as a lesson in logic: equality of transformations needs every point; inequality needs just one.

회전: 항등($0°$)과, 대각선 교점에 대한 $180°$ 회전(점대칭 — 대각선이 서로를 이등분하므로 각 꼭짓점이 맞은편 꼭짓점으로 간다).

반사가 없는 이유: 반사 대칭이 있으려면 접었을 때 포개지는 축이 필요하다. 대각선로 접으면 이웃한 두 변($a \ne b$)이 만나야 하므로 실패하고, 변 중점을 잇는 축으로 접으면 기울어진 변의 방향이 어긋난다 — 사각형 단원에서 "평행사변형의 대각선은 축이 아니다"라고 경고했던 그 사실이다. (직사각형이 되면 변 중점 축 $2$개가, 마름모가 되면 대각선 축 $2$개가 살아나 대칭이 $4$개로 는다.)

합계 $2$개 — "돌릴 수는 있으나 접을 수는 없는" 도형의 표본이다.

Rotations: the identity ($0°$), and the $180°$ rotation about the diagonals' intersection (point symmetry — the diagonals bisect each other, so each vertex swaps with its opposite).

Why no reflections: a mirror symmetry needs a fold that superimposes the figure. Folding along a diagonal forces two adjacent sides ($a \ne b$) to match — it fails; folding along a midpoint axis misaligns the slanted sides' directions — the quadrilateral unit's warning that "a parallelogram's diagonal is not an axis." (Become a rectangle and the two midpoint axes revive; become a rhombus and the two diagonals do — four symmetries either way.)

Total $2$ — the specimen figure that can be turned but never folded.

같은 중심의 회전은 각이 더해진다: $90° + 180° = 270°$ 반시계 — 시계 방향 $90°$와 같고, 규칙은 $(y, -x)$다.

시험점: $(2, 1) \xmapsto{90°} (-1, 2) \xmapsto{180°} (1, -2)$, 그리고 $(y, -x)$에 $(2,1)$을 넣으면 $(1, -2)$ ✓.

회전각의 덧셈, 닮음변환 배율의 곱셈 — 합성이 변환의 "산수"를 만든다. $270°$를 더 돌리면 $360° = 0°$, 항등으로 돌아온다는 것까지 포함해, 정사각형의 회전 대칭 $4$개가 이 덧셈의 세계(4시간짜리 시계)를 이룬다.

Rotations about a shared center add their angles: $90° + 180° = 270°$ counterclockwise — the same as clockwise $90°$, with rule $(y, -x)$.

Test: $(2, 1) \xmapsto{90°} (-1, 2) \xmapsto{180°} (1, -2)$, and $(y, -x)$ applied to $(2,1)$ gives $(1, -2)$ ✓.

Angles add, dilation factors multiply — composition equips transformations with an arithmetic. Add another $90°$ and $360° = 0°$ returns the identity: the square's four rotational symmetries form exactly this addition world, a four-hour clock.

점대칭은 배율 $-1$의 닮음변환: $P \mapsto 2A - P$. 이어 붙이면

모든 점이 같은 걸음 $(6, 2)$를 걷는다 — 평행이동이고, 걸음은 $A$에서 $B$로 가는 걸음의 두 배다.

시험점: $(0,0) \mapsto (2,2) \mapsto (6,2)$ ✓. 평행 거울 두 장이 평행이동을 만들듯, 점대칭(=$180°$ 회전) 두 개도 평행이동을 만든다 — "같은 종류 두 번이 밀기가 되는" 무늬가 반복된다. ($P$가 사라지고 $2(B-A)$만 남는 것이 평행 거울 정리에서 $x$가 사라지던 것과 같은 구조다.)

Point symmetry is the dilation with factor $-1$: $P \mapsto 2A - P$. Chaining,

Every point takes the same step $(6, 2)$ — a translation, by twice the step from $A$ to $B$.

Test: $(0,0) \mapsto (2,2) \mapsto (6,2)$ ✓. As two parallel mirrors manufacture a translation, so do two point symmetries ($180°$ rotations) — the pattern "the same kind twice makes a slide" repeats. (The vanishing of $P$, leaving only $2(B-A)$, is the same structure as $x$ vanishing in the parallel-mirror proof.)

타일들이 한 꼭짓점에 모이면 내각들의 합이 정확히 $360°$여야 한다.

Where tiles meet at a vertex, the interior angles must total exactly $360°$.

한 꼭짓점에 정$n$각형 $m$장이 모이면 내각 합이 한 바퀴여야 한다:

내각이 $360°$의 약수인 경우만 가능하다:

• 정삼각형($60°$): $m = 6$ ✓
• 정사각형($90°$): $m = 4$ ✓
• 정육각형($120°$): $m = 3$ ✓
• 정오각형($108°$): $360 \div 108$은 정수가 아니다 ✗ — $3$장은 $324°$로 모자라고 $4$장은 넘친다.
• $n \ge 7$: 내각이 $128.57°$ 이상으로 커져 $m = 2$($< 360°$)와 $m = 3$($> 360°$) 사이에 낀다 ✗.

정확히 세 가지 — 벌집이 정육각형인 이유, 욕실 타일이 정사각형인 이유가 이 방정식 하나다. 다각형 단원의 내각 공식이 마지막 단원에서 타일의 기하로 돌아왔다.

With $m$ copies of a regular $n$-gon at one vertex, the interior angles must complete a full turn:

Only interior angles dividing $360°$ qualify:

• equilateral triangle ($60°$): $m = 6$ ✓
• square ($90°$): $m = 4$ ✓
• regular hexagon ($120°$): $m = 3$ ✓
• regular pentagon ($108°$): $360 \div 108$ is not a whole number ✗ — three tiles leave a $36°$ gap, four overflow.
• $n \ge 7$: the interior angle exceeds $128.57°$, stranded between $m = 2$ (under $360°$) and $m = 3$ (over) ✗.

Exactly three — one equation explains why honeycombs are hexagonal and bathroom tiles square. The polygon unit's interior-angle formula returns, in the final unit, as the geometry of tiling.

(1) 정$n$각형의 대칭은 $2n$개이므로 $2n = 10$에서 정오각형이다(회전 $5$ $+$ 반사 $5$).

(2) 존재한다. 세 갈래 바람개비(같은 갈래 세 개가 $120°$ 간격으로 돌아가며 붙되, 갈래 자체는 비대칭인 도형 — 삼각 나선 문양)를 보라: $0°$, $120°$, $240°$ 회전은 대칭이지만, 갈래가 휘어 있어 어떤 반사도 자기 자신으로 보내지 못한다(반사는 휘는 방향을 뒤집는다). 대칭이 정확히 $3$개 — 홀수다.

정다각형의 $2n$은 언제나 짝수지만, 반사를 하나도 갖지 않는 도형은 회전만으로 홀수 개의 대칭을 가질 수 있다 — "반사가 하나라도 있으면 회전과 짝을 이뤄 전체가 짝수가 된다"는 사실의 뒤집힌 판본이다.

(1) A regular $n$-gon has $2n$ symmetries, so $2n = 10$ gives the regular pentagon ($5$ rotations $+$ $5$ reflections).

(2) Yes. Consider a three-armed pinwheel (three identical arms attached at $120°$ intervals, each arm itself lopsided — a triple spiral motif): the rotations by $0°$, $120°$, $240°$ are symmetries, but no reflection sends it to itself — reflections reverse the arms' curl. Exactly $3$ symmetries — odd.

A regular polygon's $2n$ is always even, but a figure with no reflections at all can hold an odd count on rotations alone — the flip side of the fact that a single reflection pairs off with the rotations to force evenness.

대칭은 꼭짓점을 꼭짓점으로 보낸다 — 첫 꼭짓점의 행선지 $n$가지, 그 이웃의 행선지는 몇 가지인가?

Symmetries send vertices to vertices — the first vertex has $n$ destinations; how many has its neighbor?

$2n$개 이상 — 나열. 중심 기준 $\dfrac{360°}{n}$의 배수 회전이 $n$개(항등 포함), 반사축이 $n$개($n$이 홀수면 꼭짓점–맞은편 변 중점 축 $n$개, 짝수면 꼭짓점형 $\frac n2$ $+$ 변 중점형 $\frac n2$개) — 모두 정$n$각형을 자기 자신으로 보내므로 대칭이 최소 $2n$개다.

$2n$개 이하 — 결정 논증. 대칭은 거리를 보존하므로 꼭짓점(중심에서 가장 먼 점들)을 꼭짓점으로 보내고, 이웃 관계(최단 꼭짓점 거리)도 보존한다. 한 꼭짓점 $V_1$을 고정하고 그 이웃 $V_2$를 보자:

• $V_1$의 행선지: 꼭짓점 $n$개 중 하나 — $n$가지.
• $V_2$의 행선지: $V_1$의 상의 이웃이어야 하므로 — 양옆 $2$가지.

$V_1$과 $V_2$의 행선지가 정해지면 나머지는 이웃을 따라 차례로 유일하게 결정된다($V_3$은 $V_2$의 상의 남은 이웃, …). 그러므로 대칭은 많아야 $n \times 2 = 2n$개다.

결론. $2n$개 이상이면서 $2n$개 이하 — 정확히 $2n$개다. $\blacksquare$

"나열로 하한, 결정 논증으로 상한" — 개수를 정확히 못 박는 수학의 표준 전략이고, 여기서 센 $2n$개의 대칭은 함께 모여 정$n$각형의 대칭군이라는 구조를 이룬다. 대칭을 세는 이 셈법이 대학 수학의 군론으로 이어지는 첫 계단이다 — 기하학 과정의 마지막 문제가 다음 과정의 첫 문장인 셈이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 회전 $n$ $+$ 반사 $n$ 나열 (1점)
• $V_1$($n$가지)·$V_2$($2$가지)로 상한 $2n$ (1점)
• 나머지 꼭짓점의 유일 결정 논거와 결론 (1점)

At least $2n$ — the list. Rotations about the center by multiples of $\dfrac{360°}{n}$ number $n$ (identity included); mirror axes number $n$ (all vertex-to-opposite-edge-midpoint when $n$ is odd; $\frac n2$ vertex-type plus $\frac n2$ edge-type when even). All send the polygon to itself — at least $2n$ symmetries.

At most $2n$ — the determination argument. A symmetry preserves distances, so it sends vertices (the points farthest from the center) to vertices, and preserves adjacency (the shortest vertex-to-vertex distance). Fix a vertex $V_1$ and its neighbor $V_2$:

• $V_1$'s destination: one of $n$ vertices — $n$ choices.
• $V_2$'s destination: must be a neighbor of $V_1$'s image — $2$ choices.

Once $V_1$ and $V_2$ are placed, the rest follow uniquely, neighbor by neighbor ($V_3$ must be the image's remaining neighbor, and so on). So there are at most $n \times 2 = 2n$ symmetries.

Conclusion. At least $2n$ and at most $2n$ — exactly $2n$. $\blacksquare$

"A list for the lower bound, a determination argument for the upper" — mathematics' standard strategy for nailing an exact count. And the $2n$ symmetries counted here assemble into a structure called the polygon's symmetry group — this way of counting symmetries is the first step onto university algebra. The geometry course's last problem is the next course's opening sentence.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The $n$ rotations $+$ $n$ reflections list (1 pt)
• The upper bound $2n$ via $V_1$ ($n$ ways) and $V_2$ ($2$ ways) (1 pt)
• The unique determination of the rest, and the conclusion (1 pt)