닮음변환Dilations · 문제집Worksheet

원점을 중심으로 배율 $3$인 닮음변환이 점 $(2, -1)$을 어디로 보내는가?

Where does the dilation centered at the origin with factor $3$ send $(2, -1)$?

원점 중심의 닮음변환이 $(8, 12)$를 $(2, 3)$으로 보냈다. 배율 $k$를 구하여라.

A dilation centered at the origin sent $(8, 12)$ to $(2, 3)$. Find the factor $k$.

원점을 중심으로 배율 $-2$인 닮음변환이 $(3, 1)$을 어디로 보내는지 구하고, 상의 위치를 말로 설명하여라.

Where does the dilation centered at the origin with factor $-2$ send $(3, 1)$? Describe the image's position in words.

세 꼭짓점이 $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(0, 3)$인 삼각형에 원점 중심·배율 $2$의 닮음변환을 적용했다. 상의 꼭짓점과 넓이를 구하고, 원래 넓이와 비교하여라.

The dilation centered at the origin with factor $2$ is applied to the triangle $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(0, 3)$. Find the image's vertices and area, comparing with the original.

중심이 $C$이고 배율이 $k$인 닮음변환의 공식 $P' = C + k(P - C)$를 정당화하여라: 이 공식이 (1) $C$를 고정하고, (2) $P'$을 반직선 $\overrightarrow{CP}$($k > 0$일 때) 위의 $CP' = k \cdot CP$인 점에 놓음을 보여라.

Justify the formula $P' = C + k(P - C)$ for the dilation with center $C$ and factor $k$: show it (1) fixes $C$, and (2) places $P'$ on the ray $\overrightarrow{CP}$ (for $k > 0$) with $CP' = k \cdot CP$.

직선 $y = 2x + 3$에 원점 중심·배율 $3$의 닮음변환을 적용한 상의 방정식을 구하고, 원래 직선과의 관계를 말하여라.

Apply the dilation centered at the origin with factor $3$ to the line $y = 2x + 3$. Find the image's equation and its relation to the original.

중심이 $C(1, 2)$이고 배율이 $2$인 닮음변환이 점 $P(4, 5)$를 어디로 보내는가?

Where does the dilation with center $C(1, 2)$ and factor $2$ send $P(4, 5)$?

중심이 $(2, 3)$이고 배율이 $-1$인 닮음변환이 점 $(5, 7)$을 어디로 보내는지 구하고, 이 변환이 어떤 강체 운동과 같은지 밝혀라.

Where does the dilation with center $(2, 3)$ and factor $-1$ send $(5, 7)$? Identify which rigid motion this dilation equals.

원 $x^2 + y^2 = 4$를 원 $(x-6)^2 + (y-3)^2 = 25$로 보내는, 배율이 양수인 닮음변환의 중심과 배율을 구하여라.

Find the center and (positive) factor of the dilation carrying the circle $x^2 + y^2 = 4$ onto $(x-6)^2 + (y-3)^2 = 25$.

$\triangle ABC$의 무게중심을 $G$라 하자. 중심이 $G$이고 배율이 $-\dfrac12$인 닮음변환이 각 꼭짓점을 맞은편 변의 중점으로 보냄을 증명하여라. (따라서 이 변환은 $\triangle ABC$를 중점삼각형으로 보낸다.)

Let $G$ be the centroid of $\triangle ABC$. Prove that the dilation with center $G$ and factor $-\dfrac12$ sends each vertex to the midpoint of the opposite side. (Hence it carries $\triangle ABC$ onto its medial triangle.)

$\triangle_1$의 꼭짓점은 $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,4)$이고 $\triangle_2$의 꼭짓점은 $(1,1)$, $(7,1)$, $(1,13)$이다. $\triangle_1$을 $\triangle_2$로 보내는 "닮음변환 $+$ 강체 운동"을 구체적으로 제시하여, 두 삼각형이 닮음임을 보여라.

$\triangle_1$ has vertices $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,4)$; $\triangle_2$ has $(1,1)$, $(7,1)$, $(1,13)$. Exhibit a specific "dilation $+$ rigid motion" carrying $\triangle_1$ to $\triangle_2$, showing the triangles are similar.

복사기에서 축소 복사를 두 번 했다 — 처음 $50\%$, 그다음 다시 $50\%$.

(1) 최종본은 원본의 몇 $\%$ 크기(길이 기준)인가? (2) 최종본을 한 번의 확대 복사로 원본 크기로 되돌리려면 몇 $\%$로 설정해야 하는가?

A copier reduces twice — first to $50\%$, then to $50\%$ again.

(1) The final copy is what percent of the original (by length)? (2) To restore the original size in one enlargement, what setting is needed?

닮음변환으로 오일러 직선을 다시 증명하여라: 중심이 무게중심 $G$, 배율이 $-\dfrac12$인 닮음변환 $D$에 대하여,

(1) $D$가 $\triangle ABC$의 각 수선을 수직이등분선으로 보냄을 보이고, (2) 따라서 $D$가 수심 $H$를 외심 $O$로 보냄을 결론하고, (3) 이로부터 $H$, $G$, $O$가 한 직선 위에 있고 $OG : GH = 1 : 2$임을 끌어내라.

Reprove the Euler line with a dilation: for the dilation $D$ centered at the centroid $G$ with factor $-\dfrac12$,

(1) show $D$ sends each altitude of $\triangle ABC$ to a perpendicular bisector, (2) conclude $D$ sends the orthocenter $H$ to the circumcenter $O$, (3) deduce that $H$, $G$, $O$ are collinear with $OG : GH = 1 : 2$.