닮음변환Dilations

원점 중심이면 규칙은 두 좌표에 $k$를 곱하는 것 전부다.

Centered at the origin, the rule is nothing but multiplying both coordinates by $k$.

두 좌표가 같은 비율을 내놓는지 확인하는 것까지가 풀이다 — 비율이 다르면 닮음변환이 아니다.

Checking that both coordinates yield the same ratio is part of the solution — different ratios would mean it is no dilation.

음수 배율은 상을 중심의 반대편에 놓는다 — 원점 기준 정반대 방향으로 두 배 멀어졌다. $180°$ 돌아간 두 배 확대라고 읽어도 같다.

A negative factor places the image on the far side of the center — exactly opposite, at twice the distance. Equivalently: a doubling turned $180°$.

꼭짓점: $(0,0)$, $(8,0)$, $(0,6)$. 넓이는

길이는 $k$배, 넓이는 $k^2$배 — 닮음 단원의 넓이 비 법칙이 변환의 좌표 계산으로 재확인된다.

Vertices: $(0,0)$, $(8,0)$, $(0,6)$. The area is

Lengths scale by $k$, areas by $k^2$ — the similarity unit's area law, reconfirmed by coordinate arithmetic.

(1) 중심 고정. $P = C$를 넣으면 $P' = C + k(C - C) = C$ — 중심은 움직이지 않는다.

(2) 방향과 거리. $P - C$는 $C$에서 $P$로 가는 걸음이다. 공식은 $C$에서 그 걸음의 $k$배를 간 곳에 $P'$을 놓는다:

$k > 0$이면 걸음의 방향이 그대로이므로 $P'$은 반직선 $\overrightarrow{CP}$ 위에 있고, 거리는 성분마다 $k$배이므로

정의의 두 조건("$\overrightarrow{CP}$ 위", "$k$배 거리")이 정확히 재현된다. $\blacksquare$

공식을 "옮기고–곱하고–되돌리기"로 읽을 수도 있다: $C$를 원점으로 평행이동($P - C$), 원점 규칙으로 $k$배($k(P-C)$), 다시 되돌리기($+C$) — 새 변환을 아는 변환들의 합성으로 조립하는 수법이고, 다음 차시의 주제가 이것이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $C$ 고정 확인 (1점)
• 방향(반직선 위) 논증 (1점)
• 거리 $k$배 계산 (1점)

(1) The center stays. Substituting $P = C$: $P' = C + k(C - C) = C$ — the center never moves.

(2) Direction and distance. $P - C$ is the step from $C$ to $P$. The formula places $P'$ at $k$ times that step from $C$:

For $k > 0$ the step's direction is unchanged, so $P'$ lies on the ray $\overrightarrow{CP}$; and with both components scaled by $k$,

The definition's two demands — on the ray, at $k$ times the distance — are reproduced exactly. $\blacksquare$

The formula also reads as "shift–multiply–shift back": translate $C$ to the origin ($P - C$), apply the origin rule ($k(P-C)$), translate back ($+C$) — assembling a new transformation from known ones, which is precisely the next lesson's theme.

Rubric (any logically correct justification earns full credit)

• The fixed center (1 pt)
• The direction (on the ray) argument (1 pt)
• The $k$-times distance computation (1 pt)

직선 위의 두 점을 옮긴다: $(0, 3) \mapsto (0, 9)$, $(1, 5) \mapsto (3, 15)$. 상의 직선은 기울기

로 $(0, 9)$를 지나는 $y = 2x + 9$ — 기울기는 그대로, $y$절편은 $3$배다.

기울기 보존은 본문의 $k$ 약분 그대로이고, 절편이 $k$배가 되는 것은 절편점 $(0, 3)$ 자체가 $k$배로 밀려나기 때문이다. 중심(원점)을 지나지 않는 직선은 언제나 이렇게 평행한 형제로 옮겨 간다.

Move two points of the line: $(0, 3) \mapsto (0, 9)$ and $(1, 5) \mapsto (3, 15)$. The image line has slope

through $(0, 9)$: $y = 2x + 9$ — slope unchanged, intercept tripled.

Slope preservation is the lesson's $k$-cancellation verbatim; the intercept triples because the intercept point $(0, 3)$ itself is pushed out by $k$. A line missing the center always transfers to such a parallel sibling.

검산: $C$에서 $P$까지의 걸음 $(3,3)$의 두 배인 $(6,6)$만큼 갔는지 — $(7,8) - (1,2) = (6,6)$ ✓. 원점 규칙 $(2x, 2y) = (8, 10)$과 다르다는 것에 주의 — 중심이 원점이 아니면 반드시 $C$ 기준으로 계산한다.

Check: the step from $C$ should double from $(3,3)$ to $(6,6)$ — and $(7,8) - (1,2) = (6,6)$ ✓. Note this differs from the origin rule $(2x, 2y) = (8, 10)$ — any center other than the origin demands the $C$-based formula.

$\overline{PP'}$의 중점은 $\left(\dfrac{5-1}{2}, \dfrac{7-1}{2}\right) = (2, 3) = C$ — 중심이 점과 상의 정확한 한가운데다. 배율 $-1$은 크기를 지키면서 반대편으로 보내는 변환, 곧 $C$에 대한 점대칭이고 $C$ 중심 $180°$ 회전과 같다. 닮음변환의 스펙트럼과 강체 운동이 이 한 점($k = -1$)에서 만난다.

The midpoint of $\overline{PP'}$ is $\left(\dfrac{5-1}{2}, \dfrac{7-1}{2}\right) = (2, 3) = C$ — the center sits exactly halfway between point and image. Factor $-1$ preserves size while crossing to the far side: point symmetry about $C$, identical to the $180°$ rotation there. The dilation spectrum and the rigid motions meet at this one value, $k = -1$.

배율은 반지름 비에서 나온다 — 중심 $X$는 $X + k(C_1 - X) = C_2$를 만족해야 한다.

The factor comes from the radii — and the center $X$ must satisfy $X + k(C_1 - X) = C_2$.

반지름이 $2 \to 5$이므로 $k = \dfrac52$. 닮음변환은 원의 중심을 원의 중심으로 보내므로, 변환의 중심 $X$는

검산: $X$에서 $C_1(0,0)$까지의 걸음은 $(4, 2)$, 그 $\frac52$배는 $(10, 5)$, $X + (10,5) = (6, 3) = C_2$ ✓ — 반지름도 $2 \times \frac52 = 5$ ✓.

모든 원은 서로 닮음이다 — 어떤 두 원이든 이렇게 닮음변환 하나로 포갤 수 있고, 그 중심은 두 원의 공통 외접선들이 만나는 점이기도 하다. "모든 원은 닮음"이라던 $\pi$ 단원의 선언이 변환의 구성으로 완성됐다.

Radii $2 \to 5$ give $k = \dfrac52$. A dilation carries centers to centers, so its own center $X$ satisfies

Check: the step from $X$ to $C_1(0,0)$ is $(4, 2)$; times $\frac52$ gives $(10, 5)$, and $X + (10,5) = (6, 3) = C_2$ ✓ — with the radius $2 \times \frac52 = 5$ ✓.

All circles are similar — any two can be superimposed by one such dilation, whose center is also where their common external tangents meet. The $\pi$ lesson's declaration ("all circles are similar") is now completed by an explicit construction.

무게중심의 좌표 공식 $G = \frac{A + B + C}{3}$을 대입해 계산하라.

Substitute the centroid formula $G = \frac{A + B + C}{3}$ and compute.

꼭짓점 $A$의 상을 계산한다:

$G = \dfrac{A + B + C}{3}$을 대입하면

— 정확히 $\overline{BC}$의 중점이다. 대칭성에 의해 $B$는 $\overline{CA}$의 중점으로, $C$는 $\overline{AB}$의 중점으로 간다. 세 꼭짓점이 세 중점으로 가므로, 삼각형 전체는 중점삼각형으로 간다. $\blacksquare$

검산 — 넓이: 배율 $-\frac12$이므로 넓이 비는 $\left(\frac12\right)^2 = \frac14$ — 중점삼각형의 넓이가 $\frac14$이라던 닮음 단원의 결과와 일치한다 ✓. 중점삼각형이 원래 삼각형을 "뒤집힌 채 반으로 줄인" 모습인 이유가 음수 배율 하나로 설명된다 — 그리고 이 변환이 다음 문제에서 오일러 직선을 낳는다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $A' = \frac32 G - \frac12 A$ 정리 (1점)
• $G$ 공식 대입 → $\frac{B+C}{2}$ (1점)
• 중점 확인과 전체 결론(대칭성) (1점)

Compute the image of vertex $A$:

Substituting $G = \dfrac{A + B + C}{3}$,

— exactly the midpoint of $\overline{BC}$. By symmetry $B$ goes to the midpoint of $\overline{CA}$ and $C$ to that of $\overline{AB}$. Three vertices to three midpoints — the whole triangle to its medial triangle. $\blacksquare$

Area check: factor $-\frac12$ means area ratio $\left(\frac12\right)^2 = \frac14$ — matching the similarity unit's "medial triangle has a quarter the area" ✓. Why the medial triangle looks like the original flipped and halved is explained by one negative factor — and in the next problem, this very dilation begets the Euler line.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Simplifying to $A' = \frac32 G - \frac12 A$ (1 pt)
• Substituting the centroid formula → $\frac{B+C}{2}$ (1 pt)
• The midpoint identification and the full conclusion (1 pt)

원점 중심 배율 $3$을 적용하면

이어서 $(+1, +1)$ 평행이동으로

— 정확히 $\triangle_2$다. 닮음변환 하나와 강체 운동 하나의 합성이 포개므로, 재정의에 의해 두 삼각형은 닮음(닮음비 $3$)이다.

변의 비($2:6$, $4:12$, $2\sqrt5 : 6\sqrt5$)로 SSS 닮음을 확인할 수도 있지만, 변환을 제시하는 쪽은 닮음비가 어디서 오는지($k = 3$)까지 함께 내놓는다.

The origin dilation with factor $3$ gives

then the translation $(+1, +1)$ lands on

— exactly $\triangle_2$. One dilation composed with one rigid motion superimposes them, so by the redefinition the triangles are similar (ratio $3$).

Side ratios ($2:6$, $4:12$, $2\sqrt5 : 6\sqrt5$) would confirm SSS similarity too — but exhibiting the transformation also delivers where the ratio comes from ($k = 3$).

(1) 같은 중심의 닮음변환을 이어 하면 배율은 곱이 된다:

(2) 되돌리는 배율은 역수: $k = 4$, 곧 $400\%$. ($200\%$가 아니다 — $200\%$ 두 번이 필요하다.)

배율의 합성이 곱셈이라는 것, 역변환의 배율이 역수라는 것 — 닮음변환들이 곱셈의 산수를 그대로 따른다. 참고로 넓이는 $\left(\frac14\right)^2 = \frac1{16}$까지 줄어 있다 — 종이 위 잉크량이 $16$분의 $1$이 된 셈이다.

(1) Successive dilations about the same center multiply their factors:

(2) The restoring factor is the reciprocal: $k = 4$, i.e. $400\%$. (Not $200\%$ — that would take two rounds.)

Composition of factors is multiplication; the inverse's factor is the reciprocal — dilations obey the plain arithmetic of products. And note the area has shrunk to $\left(\frac14\right)^2 = \frac1{16}$ — one-sixteenth the ink on the page.

이전 문제의 결과(꼭짓점 → 맞은편 중점)와 "닮음변환은 직선을 평행한 직선으로 보낸다"를 결합하라.

Combine the previous problem (vertex → opposite midpoint) with "dilations send lines to parallel lines."

(1) 수선 $\to$ 수직이등분선. 꼭짓점 $A$에서 나가는 수선은 "$A$를 지나고 $\overline{BC}$에 수직인 직선"이다. 닮음변환은 직선을 평행한 직선으로 보내므로, $D$는 이 수선을 "$D(A)$를 지나고 여전히 $\overline{BC}$에 수직인 직선"으로 보낸다. 그런데 이전 문제에서 $D(A) = \overline{BC}$의 중점 — 즉 상은 "$\overline{BC}$의 중점을 지나고 $\overline{BC}$에 수직인 직선", 바로 $\overline{BC}$의 수직이등분선이다. 세 수선 모두 같은 논리다.

(2) $H \to O$. 세 수선은 수심 $H$에서 만난다. 변환은 교점을 상들의 교점으로 보내므로, $D(H)$는 세 수직이등분선의 교점 — 외심 $O$다.

(3) 오일러 직선. $D$는 중심 $G$의 닮음변환이므로 $D(H) = O$는

를 뜻한다 — $O$는 $G$에서 $H$의 반대 방향, 절반 거리에 있다. 그러므로 $H$, $G$, $O$는 한 직선 위이고

좌표 단원에서 분수 계산으로 얻었던 오일러 직선이, 여기서는 계산 없이 — 닮음변환 하나가 수선 다발을 수직이등분선 다발로 통째로 옮기는 그림으로 — 다시 증명됐다. 같은 정리의 세 번째 길이자, 변환이라는 관점이 왜 강력한지 보여 주는 이 과정의 마지막 증명 중 하나다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 평행 보존 $+$ 이전 문제로 수선 $\to$ 수직이등분선 (1점)
• 교점 대응으로 $H \to O$ (1점)
• $O - G = -\frac12(H - G)$에서 공선과 $1:2$ (1점)

(1) Altitudes $\to$ perpendicular bisectors. The altitude from $A$ is "the line through $A$ perpendicular to $\overline{BC}$." A dilation sends lines to parallel lines, so $D$ sends it to "the line through $D(A)$, still perpendicular to $\overline{BC}$." But the previous problem showed $D(A)$ is the midpoint of $\overline{BC}$ — so the image is "the line through $\overline{BC}$'s midpoint perpendicular to $\overline{BC}$": precisely its perpendicular bisector. Likewise for all three altitudes.

(2) $H \to O$. The three altitudes meet at $H$. A transformation carries intersections to intersections of images, so $D(H)$ is where the three perpendicular bisectors meet — the circumcenter $O$.

(3) The Euler line. Since $D$ is centered at $G$, $D(H) = O$ means

— $O$ lies opposite $H$ across $G$, at half the distance. Hence $H$, $G$, $O$ are collinear with

The Euler line, earned by fraction-pushing in the coordinate unit, is here reproved without computation — one dilation carries the whole sheaf of altitudes onto the sheaf of perpendicular bisectors. A third road to the same theorem, and one of this course's final proofs of why the transformation viewpoint is powerful.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Parallel preservation $+$ the previous problem giving altitude $\to$ bisector (1 pt)
• Intersections correspond: $H \to O$ (1 pt)
• Collinearity and $1:2$ from $O - G = -\frac12(H - G)$ (1 pt)