평행선과 선분의 비Parallel Lines & Proportions · 문제집Worksheet

$\triangle ABC$의 변 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ 위의 점 $D$, $E$에 대해 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$다. $AD = 4$, $DB = 6$, $AE = 6$일 때 $EC$를 구하여라.

Points $D$, $E$ on sides $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ of $\triangle ABC$ satisfy $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$. Given $AD = 4$, $DB = 6$, $AE = 6$, find $EC$.

$\triangle ABC$에서 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$의 중점을 각각 $D$, $E$라 하자. $BC = 14$일 때 $DE$를 구하고, $\overline{DE}$와 $\overline{BC}$의 위치 관계를 근거와 함께 말하여라.

In $\triangle ABC$, let $D$, $E$ be the midpoints of $\overline{AB}$, $\overline{AC}$. Given $BC = 14$, find $DE$ and state the relation between $\overline{DE}$ and $\overline{BC}$ with justification.

$\triangle ABC$의 변 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ 위의 점 $D$, $E$가 $AD = 3$, $DB = 5$, $AE = 4.5$, $EC = 7.5$를 만족한다. $\overline{DE}$와 $\overline{BC}$는 평행한가?

Points $D$, $E$ on sides $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ of $\triangle ABC$ satisfy $AD = 3$, $DB = 5$, $AE = 4.5$, $EC = 7.5$. Is $\overline{DE}$ parallel to $\overline{BC}$?

$\triangle ABC$의 무게중심을 $G$, $\overline{BC}$의 중점을 $M$이라 하자. 중선 $AM = 18$일 때 $AG$와 $GM$을 구하여라.

Let $G$ be the centroid of $\triangle ABC$ and $M$ the midpoint of $\overline{BC}$. Given the median $AM = 18$, find $AG$ and $GM$.

분할 정리의 마지막 조각을 상환하여라: $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$($D$, $E$는 각각 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ 위)이면 $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB}$임을 증명하여라. (본문에서 $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$까지는 증명되어 있다 — 이를 써도 좋다.)

Repay the splitting theorem's final piece: with $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ ($D$ on $\overline{AB}$, $E$ on $\overline{AC}$), prove $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB}$. (The lesson already proved $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ — you may use it.)

분할 정리의 판정을 증명하여라: $\triangle ABC$의 변 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ 위의 점 $D$, $E$가 $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$를 만족하면 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$다.

Prove the splitting theorem's test: if points $D$, $E$ on sides $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ of $\triangle ABC$ satisfy $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$, then $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$.

$\triangle ABC$의 세 변의 중점을 이어 만든 삼각형(중점삼각형)을 $\triangle DEF$라 하자.

(1) $\triangle ABC$의 둘레가 $20$일 때 $\triangle DEF$의 둘레는? (2) $\triangle DEF$의 넓이는 $\triangle ABC$의 넓이의 몇 배인가? 근거를 들어라.

Let $\triangle DEF$ be the medial triangle of $\triangle ABC$ (vertices at the midpoints of the sides).

(1) If $\triangle ABC$ has perimeter $20$, what is $\triangle DEF$'s perimeter? (2) What fraction of $\triangle ABC$'s area does $\triangle DEF$ occupy? Justify.

사다리꼴 $ABCD$에서 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, $AD = 8$, $BC = 14$다. 두 다리 $\overline{AB}$, $\overline{CD}$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 할 때 $MN$을 구하여라.

In trapezoid $ABCD$ with $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, $AD = 8$ and $BC = 14$. Let $M$, $N$ be the midpoints of legs $\overline{AB}$, $\overline{CD}$. Find $MN$.

세 평행선 $\ell \parallel m \parallel n$이 두 직선과 만나, 한 직선에서는 길이 $4$, $6$인 두 선분($\overline{AB}$, $\overline{BC}$)을, 다른 직선에서는 길이 $6$, $x$인 두 선분($\overline{DE}$, $\overline{EF}$)을 만든다. $x$를 구하여라.

Three parallel lines $\ell \parallel m \parallel n$ cut two transversals — one into segments of lengths $4$ and $6$ ($\overline{AB}$, $\overline{BC}$), the other into segments of lengths $6$ and $x$ ($\overline{DE}$, $\overline{EF}$). Find $x$.

중점연결정리의 역을 증명하여라: $\triangle ABC$에서 $D$가 $\overline{AB}$의 중점이고 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$($E$는 $\overline{AC}$ 위)이면, $E$는 $\overline{AC}$의 중점이고 $DE = \dfrac12 BC$다.

Prove the converse of the midsegment theorem: in $\triangle ABC$, if $D$ is the midpoint of $\overline{AB}$ and $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ (with $E$ on $\overline{AC}$), then $E$ is the midpoint of $\overline{AC}$ and $DE = \dfrac12 BC$.

$\triangle ABC$의 무게중심 $G$에 대해, 세 삼각형 $\triangle GAB$, $\triangle GBC$, $\triangle GCA$의 넓이가 모두 같음을(각각 전체의 $\frac13$) 증명하여라.

For the centroid $G$ of $\triangle ABC$, prove that the triangles $\triangle GAB$, $\triangle GBC$, $\triangle GCA$ all have equal area (each $\frac13$ of the whole).

$\triangle ABC$의 중선 $\overline{AM}$($M$은 $\overline{BC}$의 중점)의 중점을 $P$라 하자. 직선 $BP$가 $\overline{AC}$와 만나는 점을 $Q$라 할 때, $AQ : QC = 1 : 2$임을 증명하여라.

Let $P$ be the midpoint of median $\overline{AM}$ of $\triangle ABC$ ($M$ the midpoint of $\overline{BC}$). Line $BP$ meets $\overline{AC}$ at $Q$. Prove that $AQ : QC = 1 : 2$.

사다리꼴 $ABCD$에서 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, $AD = 4$, $BC = 10$이다. 두 대각선의 교점 $O$를 지나 밑변에 평행한 직선이 두 다리와 만나는 점을 $P$, $Q$라 할 때, $PQ$의 길이를 구하여라.

In trapezoid $ABCD$ with $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, $AD = 4$ and $BC = 10$. The line through the diagonals' intersection $O$, parallel to the bases, meets the legs at $P$ and $Q$. Find $PQ$.