원과 선분의 곱Power of a Point · 문제집Worksheet

두 현 $\overline{AB}$, $\overline{CD}$가 원 안의 점 $P$에서 만난다. $PA = 3$, $PB = 8$, $PC = 4$일 때 $PD$를 구하여라.

Chords $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ meet at $P$ inside a circle. Given $PA = 3$, $PB = 8$, $PC = 4$, find $PD$.

원 밖의 점 $P$에서 두 할선을 그었다. 한 할선은 원과 $A$, $B$에서 만나고 $PA = 4$, $AB = 5$다. 다른 할선은 $C$, $D$에서 만나고 $PC = 3$이다. $CD$를 구하여라.

From external point $P$, one secant meets the circle at $A$, $B$ with $PA = 4$, $AB = 5$; another meets it at $C$, $D$ with $PC = 3$. Find $CD$.

원 밖의 점 $P$에서 그은 할선이 원과 $A$, $B$에서 만나고 $PA = 4$, $PB = 9$다. $P$에서 그은 접선의 길이 $PT$를 구하여라.

A secant from external point $P$ meets the circle at $A$, $B$ with $PA = 4$, $PB = 9$. Find the tangent length $PT$ from $P$.

지름의 길이가 $26$인 원에서, 지름 위의 점 $P$가 지름을 $8$과 $18$로 나눈다. $P$를 지나고 지름에 수직인 현 $\overline{CD}$의 길이를 구하여라.

In a circle of diameter $26$, a point $P$ on the diameter splits it into $8$ and $18$. Find the length of the chord $\overline{CD}$ through $P$ perpendicular to the diameter.

두 할선 정리를 증명하여라: 원 밖의 점 $P$에서 그은 두 할선이 원과 $A$, $B$($A$가 가까움)와 $C$, $D$($C$가 가까움)에서 만나면 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$다.

Prove the two-secant theorem: if two secants from an external point $P$ meet the circle at $A$, $B$ ($A$ nearer) and $C$, $D$ ($C$ nearer), then $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

반지름이 $7$인 원의 중심에서 $9$만큼 떨어진 점 $P$가 있다.

(1) $P$를 지나는 임의의 할선에 대하여 $PA \cdot PB$의 값은? (2) $P$에서 그은 접선의 길이는?

Point $P$ lies $9$ from the center of a circle of radius $7$.

(1) For any secant through $P$, what is $PA \cdot PB$? (2) What is the tangent length from $P$?

반지름이 $10$인 원의 내부에 $OP = 6$인 점 $P$가 있다.

(1) $P$를 지나는 임의의 현에 대하여 두 조각의 곱 $PA \cdot PB$는? (2) $P$를 지나는 가장 짧은 현의 두 조각으로 (1)을 검산하여라.

Point $P$ lies inside a circle of radius $10$ with $OP = 6$.

(1) For any chord through $P$, what is the product $PA \cdot PB$ of its two pieces? (2) Verify (1) using the shortest chord through $P$.

두 현 $\overline{AB}$, $\overline{CD}$가 점 $P$에서 만나는데, $P$는 $\overline{CD}$의 중점이고 $CD = 14$다. $PA = 6$일 때 $PB$를 구하여라.

Chords $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ meet at $P$, where $P$ is the midpoint of $\overline{CD}$ and $CD = 14$. Given $PA = 6$, find $PB$.

원형 호수 밖의 지점 $P$에서 호수에 접하는 시선의 길이(접선 길이)가 $12\,\text{m}$이고, $P$에서 호수까지의 최단 거리가 $8\,\text{m}$다. 호수의 반지름을 구하여라.

From a point $P$ outside a circular lake, the tangent sight-line to the lake has length $12\,\text{m}$, and the shortest distance from $P$ to the lake is $8\,\text{m}$. Find the lake's radius.

두 원이 두 점 $A$, $B$에서 만난다. 직선 $AB$의 연장선 위의 점 $P$(두 원 밖)에서 각 원에 그은 접선의 길이가 서로 같음을 증명하여라.

Two circles meet at points $A$ and $B$. Prove that from any point $P$ on the extension of line $AB$ (outside both circles), the tangent lengths to the two circles are equal.

원의 내부의 점 $P$가 중심에서 $4$만큼 떨어져 있다. $P$를 지나는 어떤 현이 $P$에 의해 $2$와 $12$로 나뉜다. 원의 반지름을 구하여라.

A point $P$ inside a circle is $4$ from the center. Some chord through $P$ is split by $P$ into pieces $2$ and $12$. Find the circle's radius.

직각삼각형의 수선 분할 정리 $h^2 = pq$를 원으로 다시 증명하여라: $\angle C = 90°$인 $\triangle ABC$에서 $C$에서 빗변에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, 외접원을 이용해 $CH^2 = AH \cdot BH$임을 보여라.

Reprove the right triangle's altitude-split theorem $h^2 = pq$ with circles: in $\triangle ABC$ with $\angle C = 90°$ and $H$ the foot of the altitude from $C$ to the hypotenuse, use the circumscribed circle to show $CH^2 = AH \cdot BH$.

바닷가에서 눈높이 $5\,\text{m}$의 전망대에 오르면 수평선까지의 거리가 약 $8\,\text{km}$다. 지구가 완전한 구라고 가정하고, 이 두 값으로 지구의 반지름을 추정하여라. (답은 km 단위, 유효숫자 두 자리)

From a seaside lookout with eye height $5\,\text{m}$, the horizon lies about $8\,\text{km}$ away. Assuming the Earth is a perfect sphere, estimate its radius from these two values. (Answer in km, two significant figures.)