원과 선분의 곱Power of a Point

두 현 정리로

교점을 지나는 어느 현이든 두 조각의 곱은 $24$로 같다.

By the two-chord theorem,

Every chord through this point multiplies its two pieces to the same $24$.

$P$ 기준 거리로 바꾸면 $PB = PA + AB = 9$. 두 할선 정리로

$AB$를 곱에 직접 넣지 않는 것 — 모든 거리는 $P$에서 잰다.

Convert to $P$-anchored distances: $PB = PA + AB = 9$. By the two-secant theorem,

$AB$ never enters the product directly — every distance is measured from $P$.

접선-할선 정리로

$6$은 $4$와 $9$의 기하평균 — 수선 분할의 $h^2 = pq$에서 본 그 무늬다.

By the tangent-secant theorem,

$6$ is the geometric mean of $4$ and $9$ — the very pattern of the altitude split's $h^2 = pq$.

현 $\overline{CD}$가 지름과 수직으로 만나므로, 수직이등분 정리(중심에서 현으로)의 구도에서 $P$는 $\overline{CD}$의 중점 — $PC = PD$다.

두 현 정리로

검산 — 피타고라스로: $OP = 13 - 8 = 5$, 반현 $= \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ ✓.

$PC^2 = 8 \times 18$ — 지름에 세운 수직 현의 반쪽은 두 지름 조각의 기하평균이다. 수선 분할 정리($h^2 = pq$)가 원의 언어로 다시 나타났다.

The chord meets the diameter perpendicularly, so by the perpendicular-bisection setup (center to chord), $P$ is the midpoint of $\overline{CD}$ — $PC = PD$.

By the two-chord theorem,

Check via Pythagoras: $OP = 13 - 8 = 5$, half-chord $= \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ ✓.

$PC^2 = 8 \times 18$ — the half-chord perpendicular to a diameter is the geometric mean of the diameter's pieces. The altitude-split theorem ($h^2 = pq$), reappearing in the circle's language.

$\overline{AD}$와 $\overline{CB}$를 그어 삼각형 두 개를 만들고, 공통각과 원주각을 찾아라.

Draw $\overline{AD}$ and $\overline{CB}$ to form two triangles; find the shared angle and the inscribed angles.

$\overline{AD}$와 $\overline{CB}$를 긋고 $\triangle PAD$와 $\triangle PCB$를 비교한다.

• $\angle P$는 공통각.
• $\angle PDA = \angle PBC$ — 둘 다 호 $AC$를 보는 원주각($\angle ADC$와 $\angle ABC$).

AA 닮음이다. 대응변의 비에서($P$-$A$-$D$ ↔ $P$-$C$-$B$ 대응)

두 현 정리와 부품이 같다 — 맞꼭지각의 자리를 공통각이 대신했을 뿐이다. 안에서 만나든 밖에서 만나든, 원주각 정리가 닮음의 두 각을 공급한다는 구조는 변하지 않는다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 보조선과 닮음 후보 설정 (1점)
• 공통각 $+$ 원주각으로 AA (1점)
• 비례식 교차 곱으로 결론 (1점)

Draw $\overline{AD}$ and $\overline{CB}$ and compare $\triangle PAD$ with $\triangle PCB$.

• $\angle P$ is shared.
• $\angle PDA = \angle PBC$ — both inscribed angles on arc $AC$ (as $\angle ADC$ and $\angle ABC$).

AA similarity. Corresponding sides (correspondence $P$-$A$-$D$ ↔ $P$-$C$-$B$) give

Same parts as the two-chord theorem — the shared angle merely takes the vertical angle's seat. Inside or outside, the structure never changes: the inscribed angle theorem supplies the similarity's two angles.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Auxiliary chords and the candidate triangles (1 pt)
• Shared angle $+$ inscribed angles for AA (1 pt)
• Cross-multiplying to conclude (1 pt)

(1) 방멱: $OP^2 - r^2 = 81 - 49 = 32$ — 어느 할선이든 같다.

(2) $PT = \sqrt{32} = 4\sqrt2$.

검산 — 중심을 지나는 할선으로: $(9-7)(9+7) = 2 \times 16 = 32$ ✓. 방멱은 "합차 공식의 기하 실물"이다.

(1) The power: $OP^2 - r^2 = 81 - 49 = 32$ — the same for every secant.

(2) $PT = \sqrt{32} = 4\sqrt2$.

Check with the secant through the center: $(9-7)(9+7) = 2 \times 16 = 32$ ✓. The power is the sum-difference formula made geometric.

(1) 내부 방멱: $r^2 - OP^2 = 100 - 36 = 64$.

(2) 최단 현은 $\overline{OP}$에 수직인 현(지난 차시)이고, $P$가 그 중점이다: 반현 $= \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$. 두 조각은 $8$과 $8$ — 곱 $64$ ✓.

가장 짧은 현은 두 조각이 같아지는 현이다 — 곱이 고정일 때 합이 최소가 되는 지점이 균등 분할이라는 사실과 정확히 맞물린다.

(1) The interior power: $r^2 - OP^2 = 100 - 36 = 64$.

(2) The shortest chord is the one perpendicular to $\overline{OP}$ (last lesson), and $P$ is its midpoint: half-chord $= \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$. The pieces are $8$ and $8$ — product $64$ ✓.

The shortest chord is the one whose pieces are equal — dovetailing with the fact that for a fixed product, the sum is smallest at the even split.

$PC = PD = 7$이므로

검산: $6 \times \dfrac{49}{6} = 49$ ✓. 답이 분수여도 놀랄 것 없다 — 곱이 $49$로 고정된 이상, 한 조각이 $6$이면 다른 조각은 따라 정해진다.

$PC = PD = 7$, so

Check: $6 \times \dfrac{49}{6} = 49$ ✓. A fractional answer is no alarm — with the product pinned at $49$, one piece of $6$ dictates the other.

$P$와 중심을 잇는 직선이 곧 할선이다 — 가까운 교점까지가 최단 거리다.

The line from $P$ through the center is itself a secant — the near crossing is the shortest distance.

$P$에서 중심 방향으로 그은 할선은 원과 두 점에서 만난다 — 가까운 점까지가 최단 거리 $8$, 먼 점까지는 $8 + 2r$. 접선-할선 정리로

검산 — 방멱으로: $OP = 8 + 5 = 13$, $OP^2 - r^2 = 169 - 25 = 144 = 12^2$ ✓ ($5$-$12$-$13$!).

The line from $P$ through the center meets the circle twice — the near point at the shortest distance $8$, the far point at $8 + 2r$. By the tangent-secant theorem,

Check via the power: $OP = 8 + 5 = 13$, and $OP^2 - r^2 = 169 - 25 = 144 = 12^2$ ✓ (a $5$-$12$-$13$!).

직선 $PAB$는 두 원 모두의 할선이다.

The line $PAB$ is a secant of both circles.

직선 $P$-$A$-$B$는 두 원 모두와 $A$, $B$에서 만나는 공통 할선이다. 각 원에 접선-할선 정리를 적용하면, 첫째 원의 접선 $PT_1$과 둘째 원의 접선 $PT_2$에 대해

우변이 같은 곱이므로 $PT_1^2 = PT_2^2$, 길이는 양수이므로 $PT_1 = PT_2$. $\blacksquare$

두 원이 공통현 하나를 나눠 가진 순간, 그 연장선 위의 모든 점은 두 원에 대해 같은 방멱을 갖는다 — 공통현의 연장선은 "두 원에서 같은 힘을 받는 점들의 자취"다(이 직선을 근축이라 부르고, 경시 기하에서 주역으로 자란다).

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 직선 $AB$가 두 원의 공통 할선임을 지적 (1점)
• 접선-할선 정리를 두 원에 각각 적용 (1점)
• 같은 곱 → 같은 길이 결론 (1점)

The line $P$-$A$-$B$ is a common secant, meeting both circles at $A$ and $B$. Applying the tangent-secant theorem in each circle, with tangents $PT_1$ and $PT_2$:

The right sides are the same product, so $PT_1^2 = PT_2^2$, and lengths being positive, $PT_1 = PT_2$. $\blacksquare$

The moment two circles share a chord, every point on its extension holds equal power over both circles — the common chord's line is the locus of equal-power points. (It is called the radical axis, and it grows into a lead role in competition geometry.)

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Line $AB$ as a common secant of both circles (1 pt)
• The tangent-secant theorem applied in each circle (1 pt)
• Equal products → equal lengths (1 pt)

내부 방멱으로

검산: $r \approx 6.32 > OP = 4$이므로 $P$가 내부라는 조건과 맞는다 ✓. 방멱 식은 곱만 주면 반지름을 토해낸다 — 현 두 조각이 원의 크기를 결정하는 셈이다.

By the interior power,

Check: $r \approx 6.32 > OP = 4$, consistent with $P$ being interior ✓. Feed the power equation one product and it hands back the radius — two chord pieces size the whole circle.

탈레스로 빗변이 지름임을 확인한 뒤, $\overline{CH}$를 연장해 원과 만나게 하라.

Confirm via Thales that the hypotenuse is a diameter, then extend $\overline{CH}$ to meet the circle again.

탈레스의 역에 의해 빗변 $\overline{AB}$는 외접원의 지름이다.

$\overline{CH}$를 연장해 원과 다시 만나는 점을 $C'$이라 하자. 현 $\overline{CC'}$은 지름 $\overline{AB}$와 $H$에서 수직으로 만나므로, 수직이등분 정리(중심을 지나는 직선이 현과 수직이면 이등분)에 의해

이제 두 현 $\overline{AB}$, $\overline{CC'}$의 교점 $H$에 두 현 정리를 적용한다:

닮음으로 증명했던 정리가 원 정리 세 개(탈레스·수직이등분·두 현)의 합작으로 다시 증명됐다 — 수선 분할은 방멱의 특수한 경우였던 것이다. 같은 진리에 이르는 길이 늘어날수록, 각 정리가 어디까지 뻗어 있는지가 보인다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 탈레스의 역으로 빗변 $=$ 지름 (1점)
• 연장 $+$ 수직이등분으로 $HC' = HC$ (1점)
• 두 현 정리 적용해 결론 (1점)

By Thales' converse, the hypotenuse $\overline{AB}$ is a diameter of the circumscribed circle.

Extend $\overline{CH}$ to meet the circle again at $C'$. The chord $\overline{CC'}$ meets the diameter $\overline{AB}$ perpendicularly at $H$, so by the perpendicular-bisection theorem (a line through the center perpendicular to a chord bisects it),

Now apply the two-chord theorem at the intersection $H$ of chords $\overline{AB}$ and $\overline{CC'}$:

A theorem once proved by similarity, reproved by a coalition of three circle theorems (Thales, perpendicular bisection, two chords) — the altitude split was a special case of the power of a point all along. Every extra road to the same truth maps how far each theorem reaches.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Hypotenuse $=$ diameter via Thales' converse (1 pt)
• Extension and $HC' = HC$ via perpendicular bisection (1 pt)
• Two-chord theorem to conclude (1 pt)

수평선을 바라보는 시선은 지구에 대한 접선이고, 관측자의 발밑을 지나 지구 중심 방향으로 뚫는 직선은 할선이다.

The sight-line to the horizon is a tangent to the Earth; the vertical line through the observer pierces it as a secant.

수평선 시선은 지구(반지름 $R$)에 대한 접선이고 그 길이가 $d = 8000\,\text{m}$다. 관측자의 눈에서 연직 아래로 뚫는 직선은 발밑($5\,\text{m}$)과 지구 반대편($5 + 2R$)에서 지표를 만나는 할선이다. 접선-할선 정리로

실제 지구 반지름 약 $6371\,\text{km}$와 오차 $1\%$ 이내다. 전망대 하나와 정리 하나로 행성의 크기가 나온다 — $h$가 $2R$에 비해 아주 작아 $d^2 \approx 2Rh$로 어림해도 같은 답이 나온다는 것까지 눈여겨볼 것.

The horizon sight-line is a tangent to the Earth (radius $R$) of length $d = 8000\,\text{m}$. The vertical line through the observer's eye meets the surface at their feet ($5\,\text{m}$ down) and again at the far side ($5 + 2R$) — a secant. By the tangent-secant theorem,

Within $1\%$ of the true $6371\,\text{km}$. One lookout and one theorem size a planet — and note that since $h$ is tiny next to $2R$, the approximation $d^2 \approx 2Rh$ gives the same answer.