구Spheres · 문제집Worksheet

반지름이 $3$인 구의 부피와 겉넓이를 구하여라.

Find the volume and surface area of a sphere of radius $3$.

지름이 $8$인 구의 부피와 겉넓이를 구하여라.

Find the volume and surface area of a sphere of diameter $8$.

반지름이 $6$인 반구의 부피와 겉넓이를 구하여라.

Find the volume and surface area of a hemisphere of radius $6$.

반지름이 $13$인 구를 중심에서 $5$만큼 떨어진 평면으로 잘랐다. 단면의 넓이를 구하여라.

A sphere of radius $13$ is cut by a plane $5$ from its center. Find the section's area.

구의 겉넓이 공식 $S = 4\pi r^2$을 유도하여라: 구의 겉면을 작은 조각으로 갈라 중심과 잇는 뿔 분해에서 출발하라. (부피 $\frac43\pi r^3$은 이미 증명된 것으로 써도 좋다.)

Derive the sphere's surface area formula $S = 4\pi r^2$, starting from the cone decomposition — the surface cut into small patches, each joined to the center. (You may use the volume $\frac43\pi r^3$ as already proved.)

반지름이 $2$인 구와, 같은 반지름·높이 $4$의 원뿔·원기둥이 있다. 세 부피를 각각 구하고 비가 $1 : 2 : 3$임을 확인하여라.

Take a sphere of radius $2$, and a cone and cylinder of the same radius with height $4$. Compute the three volumes and confirm the ratio $1 : 2 : 3$.

반지름 $3$, 높이 $9$인 원뿔 위에 반지름 $3$인 반구를 얹은 아이스크림 모양 입체의 부피를 구하여라.

An ice-cream solid is a cone of radius $3$ and height $9$ topped with a hemisphere of radius $3$. Find its volume.

반지름이 $3$인 금속 구를 녹여 반지름 $1$인 작은 구슬들로 만들었다.

(1) 구슬은 몇 개 나오는가? (2) 구슬 전체의 겉넓이는 원래 구의 몇 배인가?

A metal sphere of radius $3$ is melted into beads of radius $1$.

(1) How many beads? (2) The beads' total surface area is how many times the original's?

반지름이 $6$인 원기둥 수조에 물이 담겨 있다. 반지름 $3$인 쇠공을 완전히 잠기게 넣으면 수면은 얼마나 올라가는가?

A cylindrical tank of radius $6$ holds water. A steel ball of radius $3$ is fully submerged. How far does the water rise?

한 모서리가 $6$인 정육면체에 대하여:

(1) 내접하는 구(여섯 면에 모두 접함)의 반지름은? (2) 외접하는 구(여덟 꼭짓점을 모두 지남)의 반지름은? (3) 두 구의 부피 비는?

For a cube of edge $6$:

(1) Find the radius of the inscribed sphere (tangent to all six faces). (2) Find the radius of the circumscribed sphere (through all eight vertices). (3) Find the two spheres' volume ratio.

캡슐 모양 알약은 반지름 $2$, 길이 $5$인 원기둥의 양 끝에 반구를 하나씩 붙인 것이다. 이 알약의 부피와 겉넓이를 구하여라.

A capsule-shaped pill is a cylinder of radius $2$ and length $5$ with a hemisphere glued to each end. Find its volume and surface area.

어떤 구를 평행한 두 평면으로 잘랐더니 단면의 반지름이 각각 $5$와 $12$였고, 두 평면 사이의 거리는 $17$이었다. 구의 반지름을 구하여라.

A sphere is cut by two parallel planes; the sections have radii $5$ and $12$, and the planes are $17$ apart. Find the sphere's radius.

반지름 $r$인 구가 반지름 $r$·높이 $2r$인 원기둥에 꼭 맞게 들어 있고, 같은 원기둥 안에 모래시계 모양 이중 원뿔(꼭짓점이 원기둥 중심, 두 밑면이 원기둥의 위아래 뚜껑)이 들어 있다. 중심 높이에서 $t$만큼 떨어진 수평 단면에 대하여

이 모든 $t$에서 성립함을 보이고, 이로부터 원뿔 : 구 : 원기둥 $= 1 : 2 : 3$을 다시 끌어내라.

A sphere of radius $r$ fits exactly in a cylinder of radius $r$ and height $2r$, and the same cylinder contains an hourglass double cone (apex at the cylinder's center, bases the cylinder's two lids). For the horizontal section at height $t$ from the center, show that

for every $t$, and from this re-derive cone : sphere : cylinder $= 1 : 2 : 3$.