구Spheres

수치가 같은 것은 $r = 3$의 우연이다 — $\dfrac43 r^3 = 4r^2$은 $r = 3$에서만 성립한다.

The matching numbers are a coincidence of $r = 3$ — $\dfrac43 r^3 = 4r^2$ holds only there.

반지름은 $4$:

지름을 반지름 자리에 그대로 넣는 실수부터 걸러낼 것 — 세제곱이라 여덟 배로 어긋난다.

The radius is $4$:

Filter out the diameter-for-radius slip first — cubed, it throws the answer off by a factor of eight.

부피는 절반이면 되지만 겉넓이는 잘린 바닥이 새로 생긴다 — 젖는 면을 전부 세어야 한다.

Volume halves cleanly, but the cut creates a new floor — count every face that gets wet.

단면 반지름은

원의 현 공식이 구에서 단면 공식으로 — $5$-$12$-$13$이 또 출근했다. 중심을 지나는 대원($169\pi$)보다 작은 것도 당연하다.

The section's radius is

The circle's chord formula, reporting for duty as the sphere's section formula — the $5$-$12$-$13$ clocking in again. Smaller than the great circle ($169\pi$), as it must be.

각 조각 뿔의 부피는 $\frac13 \times$ (조각 넓이) $\times r$에 가깝다.

Each patch-cone has volume close to $\frac13 \times$ (patch area) $\times r$.

겉면을 작은 조각 $S_1, S_2, \dots$로 가르고 각 조각의 모든 점을 중심과 잇자. 조각이 충분히 작으면 각 입체는 "밑면이 그 조각, 높이가 $r$"인 뿔과 얼마든지 가깝다(작은 조각일수록 평면에 가깝고, 중심까지의 거리는 어디서나 $r$).

부피의 분할 가산으로, 구 전체는 이 뿔들의 합:

양변을 정리하면

정다각형($\frac12 pa$)·원($\frac12 \cdot 2\pi r \cdot r$)에서 두 번 본 각본의 3차원판이다 — 겉을 잘게 갈아 중심에 모으면, 부피 공식이 겉넓이를 토해낸다. "충분히 가깝다"의 정식화는 극한(미적분)의 몫이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 뿔 분해와 각 뿔의 부피 근사 (1점)
• 분할 가산으로 $\frac43\pi r^3 = \frac13 r S$ (1점)
• $S = 4\pi r^2$ 정리 $+$ 극한 단서 언급 (1점)

Cut the surface into small patches $S_1, S_2, \dots$ and join every point of each patch to the center. For patches small enough, each solid is as close as desired to a cone with "base the patch, height $r$" (small patches are nearly flat, and the center is at distance $r$ everywhere).

By additivity of volume, the whole sphere is the sum of these cones:

Solving,

The third appearance of one script — the regular polygon's $\frac12 pa$, the circle's $\frac12 \cdot 2\pi r \cdot r$, and now the sphere: grind the boundary fine, gather it at the center, and the volume formula surrenders the surface. Formalizing "close enough" is the work of limits (calculus).

Rubric (any logically correct derivation earns full credit)

• The cone decomposition with each cone's approximate volume (1 pt)
• Additivity giving $\frac43\pi r^3 = \frac13 r S$ (1 pt)
• Solving to $4\pi r^2$, noting the limiting step (1 pt)

$\dfrac{16\pi}{3} : \dfrac{32\pi}{3} : \dfrac{48\pi}{3} = 1 : 2 : 3$ ✓ — 원뿔과 구를 더하면 정확히 원기둥이다.

$\dfrac{16\pi}{3} : \dfrac{32\pi}{3} : \dfrac{48\pi}{3} = 1 : 2 : 3$ ✓ — cone plus sphere is exactly the cylinder.

경계면(반지름 $3$인 원)이 맞물리므로 두 부피는 그냥 더한다 — 분할 가산이 조립에도 쓰인다.

The interface (a radius-$3$ disk) matches, so the volumes simply add — additivity works for assembly too.

(1) 부피 비는 닮음비의 세제곱: $\left(\dfrac31\right)^3 = 27$개.

(2) 구슬 하나의 겉넓이는 $\left(\dfrac13\right)^2 = \dfrac19$배 — $27$개면

부피는 그대로인데 겉넓이는 세 배 — 잘게 나눌수록 겉이 늘어난다. 각설탕이 가루 설탕보다 천천히 녹는 이유, 세포가 무한정 커질 수 없는 이유가 이 $k^2$ 대 $k^3$의 격차다.

(1) Volume scales as the cube: $\left(\dfrac31\right)^3 = 27$ beads.

(2) Each bead's surface is $\left(\dfrac13\right)^2 = \dfrac19$ of the original — so $27$ beads give

Same volume, triple the surface — the finer the division, the more boundary. Why sugar cubes dissolve slower than powder, and why cells cannot grow without limit: the gap between $k^2$ and $k^3$.

쇠공이 밀어낸 부피 $=$ 올라간 물 층의 부피:

구의 부피 $36\pi$와 수조 밑넓이 $36\pi$가 약속이나 한 듯 맞아떨어졌다 — 반지름 비가 $1 : 2$일 때만 생기는 우연이다.

Displaced volume $=$ the risen layer's volume:

The ball's $36\pi$ and the tank's base $36\pi$ agree as if by appointment — a coincidence exclusive to the radius ratio $1 : 2$.

(1) 내접구의 지름은 마주 보는 두 면 사이 거리 $= 6$: $r = 3$.

(2) 외접구의 지름은 정육면체의 대각선 $= 6\sqrt3$: $R = 3\sqrt3$.

(3) 반지름 비가 $1 : \sqrt3$이므로 부피 비는 $1 : (\sqrt3)^3 = 1 : 3\sqrt3$.

검산(3): $\dfrac43\pi \times 27 = 36\pi$와 $\dfrac43\pi \times 81\sqrt3 = 108\sqrt3\pi$의 비 $= 1 : 3\sqrt3$ ✓. 정사각형의 내접·외접원 비 $1 : \sqrt2$가 한 차원 올라 $1 : \sqrt3$이 된 것 — $\sqrt2$와 $\sqrt3$의 승격이 여기서도 반복된다.

(1) The inscribed sphere's diameter is the distance between opposite faces $= 6$: $r = 3$.

(2) The circumscribed sphere's diameter is the cube's diagonal $= 6\sqrt3$: $R = 3\sqrt3$.

(3) Radii in ratio $1 : \sqrt3$, so volumes in $1 : (\sqrt3)^3 = 1 : 3\sqrt3$.

Check (3): $\dfrac43\pi \times 27 = 36\pi$ against $\dfrac43\pi \times 81\sqrt3 = 108\sqrt3\pi$ — ratio $1 : 3\sqrt3$ ✓. The square's inscribed-circumscribed $1 : \sqrt2$, one dimension up, becomes $1 : \sqrt3$ — the same promotion of $\sqrt2$ to $\sqrt3$ as before.

양 끝 반구 둘은 합쳐서 반지름 $2$인 구 하나:

겉넓이는 원기둥 옆면과 구면만이다 — 원기둥의 두 밑면은 반구에 덮여 속으로 사라졌다:

조립 입체의 겉넓이는 "젖는 면"만 — 맞붙은 경계면은 넣지 않는다.

The two end hemispheres combine into one radius-$2$ sphere:

The surface is only the cylinder's side plus the spherical caps — the cylinder's two disks vanished inside, covered by the hemispheres:

An assembled solid's surface counts only what gets wet — glued interfaces never enter.

두 평면이 중심의 같은 쪽에 있는지 반대쪽에 있는지부터 정하라 — 거리 $17$이 답을 준다.

First decide whether the planes lie on the same side of the center or opposite sides — the distance $17$ settles it.

중심에서 두 평면까지의 거리를 $d_1$, $d_2$라 하면 단면 공식으로

두 평면이 중심의 반대쪽에 있으면 $d_1 + d_2 = 17$, 같은 쪽이면 $d_1 - d_2 = 17$이다. 반대쪽 배치로 식을 세우면

$r = 13$에서 $\sqrt{144} + \sqrt{25} = 12 + 5 = 17$ ✓ — 성립한다. (같은 쪽 배치는 불가능하다: $\sqrt{r^2-25} - \sqrt{r^2-144}$는 $r$가 커질수록 작아지는데, 정의되는 최소의 $r = 12$에서조차 값이 $\sqrt{119} \approx 10.9 < 17$이다.)

$5$-$12$-$13$ 삼각형 두 개가 중심을 사이에 두고 등을 맞댄 그림이다 — 단면 반지름과 중심거리가 빗변 $13$을 공유한다.

With $d_1$, $d_2$ the center's distances to the planes, the section formula gives

Opposite sides of the center means $d_1 + d_2 = 17$; the same side means $d_1 - d_2 = 17$. Try opposite sides:

and $r = 13$ gives $\sqrt{144} + \sqrt{25} = 12 + 5 = 17$ ✓. (The same-side layout is impossible: $\sqrt{r^2-25} - \sqrt{r^2-144}$ shrinks as $r$ grows, and already at $r = 12$ its largest value is $\sqrt{119} \approx 10.9 < 17$.)

The picture is two $5$-$12$-$13$ triangles back to back across the center — section radii and center distances sharing the hypotenuse $13$.

세 단면은 전부 원이다 — 반지름을 각각 $t$로 나타내라.

All three sections are circles — express each radius in terms of $t$.

중심 높이에서 $t$($0 \le t \le r$)만큼 떨어진 단면의 반지름을 각각 구하면:

• 구: $\sqrt{r^2 - t^2}$ — 단면 넓이 $\pi(r^2 - t^2)$.
• 이중 원뿔: 꼭짓점(중심)에서 $t$ 떨어진 곳의 반지름은 $t$(옆면 기울기가 $45°$ — 높이 $r$에서 반지름 $r$) — 넓이 $\pi t^2$.
• 원기둥: 언제나 $\pi r^2$.

카발리에리의 원리로 부피도 같은 관계를 만족한다:

이중 원뿔은 원뿔(반지름 $r$, 높이 $r$) 두 개이므로 $V = 2 \times \frac13\pi r^3 = \frac23\pi r^3$이고, 원기둥은 $2\pi r^3$:

따라서 원뿔(반지름 $r$, 높이 $2r$: $\frac23\pi r^3$) : 구 : 원기둥 $= \frac23 : \frac43 : 2 = 1 : 2 : 3$. $\blacksquare$

단면 등식 $\pi(r^2 - t^2) + \pi t^2 = \pi r^2$은 피타고라스의 진술 그 자체다 — 구·원뿔·원기둥의 $1:2:3$은 결국 $a^2 + b^2 = c^2$이 부피의 옷을 입은 것이었다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 세 단면 반지름·넓이 계산 (1점)
• 모든 $t$에서의 등식 $+$ 카발리에리 적용 (1점)
• $\frac43\pi r^3$과 $1:2:3$ 결론 (1점)

At height $t$ from the center ($0 \le t \le r$), the three section radii are:

• Sphere: $\sqrt{r^2 - t^2}$ — area $\pi(r^2 - t^2)$.
• Double cone: at distance $t$ from the apex the radius is $t$ (the slope is $45°$ — radius $r$ at height $r$) — area $\pi t^2$.
• Cylinder: always $\pi r^2$.

By Cavalieri's principle the volumes obey the same relation:

The double cone is two cones (radius $r$, height $r$): $V = 2 \times \frac13\pi r^3 = \frac23\pi r^3$; the cylinder holds $2\pi r^3$:

Hence cone (radius $r$, height $2r$: $\frac23\pi r^3$) : sphere : cylinder $= \frac23 : \frac43 : 2 = 1 : 2 : 3$. $\blacksquare$

The section identity $\pi(r^2 - t^2) + \pi t^2 = \pi r^2$ is the Pythagorean statement itself — the $1:2:3$ of sphere, cone, and cylinder is $a^2 + b^2 = c^2$ dressed in volume.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The three section radii and areas (1 pt)
• The identity at every $t$, plus Cavalieri (1 pt)
• $\frac43\pi r^3$ and the $1:2:3$ conclusion (1 pt)