전략 도구상자 I · 그림과 실험Strategy Toolbox I: Pictures & Small Cases

일의 자리만 추적하면 $3^1 \to 3$, $3^2 \to 9$, $3^3 \to 7$, $3^4 \to 1$, $3^5 \to 3$, … — $3, 9, 7, 1$이 4개씩 순환한다. (일의 자리는 직전 일의 자리에 3을 곱한 것의 일의 자리이므로, 한 번 돌아온 순환은 영원히 반복된다.)

$50 = 4 \times 12 + 2$이므로 $3^{50}$은 순환의 두 번째 자리: 9다.

검산: $3^2 = 9$ — 나머지 2가 가리키는 값과 일치 ✓.

Track only the units digit: $3^1 \to 3$, $3^2 \to 9$, $3^3 \to 7$, $3^4 \to 1$, $3^5 \to 3$, … — the cycle $3, 9, 7, 1$ repeats every 4. (Each units digit depends only on the previous one times 3, so once the cycle returns, it repeats forever.)

Since $50 = 4 \times 12 + 2$, the power $3^{50}$ sits at the cycle's second position: 9.

Check: $3^2 = 9$, matching what remainder 2 points to ✓.

적어도 하나를 기르는 학생 수는

— 둘 다 기르는 6명이 두 번 세어졌으므로 한 번 빼 준다. 따라서 아무것도 기르지 않는 학생은 $32 - 27 = 5$명이다.

검산(네 조각): 강아지만 13, 둘 다 6, 고양이만 8, 아무것도 5 → $13 + 6 + 8 + 5 = 32$ ✓.

The number with at least one pet is

— the six with both were counted twice, so subtract them once. Hence $32 - 27 = 5$ students have neither.

Check (all four regions): dog only 13, both 6, cat only 8, neither 5 → $13 + 6 + 8 + 5 = 32$ ✓.

짝짓기: $1 + 40 = 41$, $2 + 39 = 41$, … 모두 20쌍이므로

일반 공식 $\dfrac{n(n+1)}{2}$로도 $\dfrac{40 \times 41}{2} = 820$ ✓. 두 방법이 서로를 검산한다.

Pair the ends: $1 + 40 = 41$, $2 + 39 = 41$, … — twenty pairs in all, so

The general formula $\dfrac{n(n+1)}{2}$ agrees: $\dfrac{40 \times 41}{2} = 820$ ✓. Two methods, each checking the other.

지름길을 찾으려 하지 말고, 표를 그려 정확히 실행하자. 탈락을 부르는 수는 $7, 14, 17, 21, 27, \ldots$ — 누가 어떤 수를 말하는지만 추적하면 된다.

Don't hunt for a shortcut — draw a small table and execute the rule exactly. The fatal numbers are $7, 14, 17, 21, 27, \ldots$; just track who says which number.

탈락을 부르는 수를 순서대로 짚으며 시뮬레이션한다. (6명 → 5명 → …으로 줄어들므로, 수를 말하는 순서만 정확히 따라가면 된다.)

• $1$안, $2$밥, $3$시드, $4$댄, $5$이브, $6$폰, $\mathbf{7}$안 탈락 (7의 배수)
• 이어서 $8$밥, $9$시드, $10$댄, $11$이브, $12$폰, $13$밥, $\mathbf{14}$시드 탈락 ($14 = 2 \times 7$)
• $15$댄, $16$이브, $\mathbf{17}$폰 탈락 (7 포함)
• $18$밥, $19$댄, $20$이브, $\mathbf{21}$밥 탈락 ($21 = 3 \times 7$)
• $22$댄, $23$이브, $24$댄, $25$이브, $26$댄, $\mathbf{27}$이브 탈락 (7 포함)

남은 사람은 댄이다.

검산: 탈락 수 $7, 14, 17, 21, 27$ 사이에 놓친 수가 없는지 — $8$~$13$, $15$~$16$, $18$~$20$, $22$~$26$ 중 7의 배수나 7 포함 수는 없다 ✓. 다섯 명이 탈락했고 시작은 여섯 명이었으니 한 명이 남는 것도 맞다 ✓.

이 문제의 교훈: 4분짜리 지름길을 찾아 헤매는 것보다 2분짜리 정직한 시뮬레이션이 빠르다. 단, 표 없이 머리로만 돌리면 반드시 어딘가에서 엉킨다.

Simulate, stepping through the fatal numbers in order. (The circle shrinks 6 → 5 → …, so all that matters is tracking whose turn it is.)

• $1$ Arn, $2$ Bob, $3$ Cyd, $4$ Dan, $5$ Eve, $6$ Fon, $\mathbf{7}$ — Arn out (multiple of 7)
• $8$ Bob, $9$ Cyd, $10$ Dan, $11$ Eve, $12$ Fon, $13$ Bob, $\mathbf{14}$ — Cyd out ($14 = 2 \times 7$)
• $15$ Dan, $16$ Eve, $\mathbf{17}$ — Fon out (contains a 7)
• $18$ Bob, $19$ Dan, $20$ Eve, $\mathbf{21}$ — Bob out ($21 = 3 \times 7$)
• $22$ Dan, $23$ Eve, $24$ Dan, $25$ Eve, $26$ Dan, $\mathbf{27}$ — Eve out (contains a 7)

The last one standing is Dan.

Check: between the fatal numbers $7, 14, 17, 21, 27$, none of $8$–$13$, $15$–$16$, $18$–$20$, $22$–$26$ is a multiple of 7 or contains a 7 ✓. Five eliminations from six students leaves one ✓.

The lesson here: an honest two-minute simulation beats four minutes of hunting for a shortcut. But run it on paper — purely mental simulations always snag somewhere.

작은 경우부터: 사각형, 오각형, 육각형의 대각선을 직접 세어 보자. 그다음 "각 꼭짓점에서 몇 개씩 나가는가"로 이유를 만들자.

Small cases first: count the diagonals of a quadrilateral, a pentagon, a hexagon by hand. Then build the reason from "how many leave each vertex?"

작은 경우: 사각형 2개, 오각형 5개, 육각형 9개 — 증가폭이 $3, 4$로 커진다. 패턴만으로는 불안하니 이유를 세우자.

$8$개의 꼭짓점 각각에서, 자기 자신과 양옆 이웃 둘을 뺀 $8 - 3 = 5$개의 꼭짓점으로 대각선을 그을 수 있다. $8 \times 5 = 40$ — 그런데 각 대각선은 양 끝에서 한 번씩, 두 번 세어졌으므로 2로 나눈다:

검산(작은 경우로 공식 확인): $n$각형의 대각선은 $\dfrac{n(n-3)}{2}$개 — $n = 5$이면 $\frac{5 \times 2}{2} = 5$ ✓, $n = 6$이면 $\frac{6 \times 3}{2} = 9$ ✓.

악수 문제와 같은 뼈대다: "각자 몇 개씩 × 인원, 중복이니 반으로" — 두 번 센 것을 2로 나누는 이 감각은 세기 단원에서 계속 쓴다.

Small cases: a quadrilateral has 2, a pentagon 5, a hexagon 9 — the jumps grow by $3, 4$. A pattern alone is shaky, so build the reason.

From each of the 8 vertices, diagonals go to all vertices except itself and its two neighbors: $8 - 3 = 5$ of them. That's $8 \times 5 = 40$ — but each diagonal got counted twice, once from each end, so divide by 2:

Check the formula against the small cases: an $n$-gon has $\dfrac{n(n-3)}{2}$ diagonals — $n = 5$ gives $\frac{5 \times 2}{2} = 5$ ✓ and $n = 6$ gives $\frac{6 \times 3}{2} = 9$ ✓.

Same skeleton as the handshakes: "so many per person, times people, halved for double-counting." That divide-by-two instinct returns throughout the counting unit.

여섯 자리를 격자로 그려 놓고, 두 사람이 앉을 자리 쌍만 생각하자. 나머지 네 명이 어디 앉는지는 확률에 영향을 주지 않는다. 이웃한 자리 쌍을 그림에서 직접 세면 된다.

Sketch the six seats as a grid and think only about the pair of seats the two girls occupy — where the other four sit doesn't affect the probability. Then count the adjacent seat-pairs right on your picture.

2×3 격자를 그리자. 애비와 브리짓이 차지할 두 자리의 선택만 보면 되고(나머지 넷의 배치는 모든 경우에 똑같이 나뉘므로 무관), 여섯 자리에서 두 자리를 고르는 방법은

로 모두 같은 확률이다. 이제 이웃한 쌍을 그림에서 센다:

• 같은 줄에서 이웃: 각 줄에 (왼쪽-가운데), (가운데-오른쪽)의 2쌍씩, 두 줄이니 $4$쌍.
• 같은 열에서 이웃: 세 열에 위-아래 $1$쌍씩, $3$쌍.

합해서 $4 + 3 = 7$쌍이므로 확률은 $\dfrac{7}{15}$이다.

검산: 이웃 쌍을 빠짐없이 세었는지 격자에 직접 표시해 보라 — 가로 4개, 세로 3개, 대각선은 "이웃"이 아니므로 제외 ✓.

"두 사람만 신경 쓰면 된다"는 관찰이 문제를 절반으로 줄였다. 전체 720가지 배열을 세려 들면 같은 답이 나오지만 다섯 배는 느리다.

Draw the 2×3 grid. Only the pair of seats taken by Abby and Bridget matters (the other four students distribute the same way in every case), and the number of ways to choose two seats out of six is

all equally likely. Now count adjacent pairs on the picture:

• Adjacent in a row: each row has 2 such pairs (left–middle, middle–right), and there are two rows: $4$ pairs.
• Adjacent in a column: each of the three columns has 1 top–bottom pair: $3$ pairs.

That's $4 + 3 = 7$ pairs, so the probability is $\dfrac{7}{15}$.

Check: mark the pairs on the grid to be sure none is missed — 4 horizontal, 3 vertical, and diagonals don't count as adjacent ✓.

The observation "only the two girls matter" cut the problem in half. Counting all 720 full arrangements gives the same answer — five times slower.

붙어 있어야 하는 책들을 끈으로 묶어 한 덩어리로 생각하자. 그러면 배열할 "물건"이 몇 개가 되는가? 묶음 안에서의 순서도 잊지 말 것.

Tie the must-stay-together books into one bundle each. How many "objects" are you arranging then? And don't forget the order inside each bundle.

아랍어 2권을 묶어 한 덩어리, 스페인어 4권을 묶어 한 덩어리로 보면, 배열할 물건은

다섯 물건의 배열은 $5! = 120$가지. 묶음 안에서도 순서가 있다 — 아랍어 묶음 내부 $2! = 2$가지, 스페인어 묶음 내부 $4! = 24$가지. 각 단계의 선택이 독립이므로 곱한다:

검산(작은 경우로 방법 확인): 책이 A, a(붙임), B 셋뿐이라면 묶음 방식으로 $2! \times 2! = 4$가지 — 직접 나열해도 AaB, aAB, BAa, BaA의 4가지 ✓.

"붙어야 한다 = 묶어서 하나로"는 배열 문제의 표준 기술이다. 선택지 (E) $362{,}880 = 9!$는 조건을 무시한 전체 배열 수 — 함정으로 놓여 있다.

Bundle the 2 Arabic books into one block and the 4 Spanish books into another. The objects to arrange are

giving $5! = 120$ arrangements. Each block also has an internal order: $2! = 2$ ways for the Arabic block, $4! = 24$ for the Spanish. The choices are independent, so multiply:

Check the method on a tiny case: with just three books A, a (must stay together), and B, the block method gives $2! \times 2! = 4$ — and listing by hand also gives AaB, aAB, BAa, BaA: 4 ✓.

"Must stay together = tie into one block" is the standard arrangement move. Choice (E) $362{,}880 = 9!$ is the condition-free total, sitting there as bait.

일의 자리에 나오는 7과 십의 자리에 나오는 7을 따로 세자. 77은 두 번으로 세어야 한다는 것에 주의.

Count the 7s in the units place and the 7s in the tens place separately. Careful: 77 must count twice.

자리별로 나누어 센다.

일의 자리의 7: $7, 17, 27, \ldots, 97$ — 십의 자리가 $0$~$9$인 10개.

십의 자리의 7: $70, 71, \ldots, 79$ — 일의 자리가 $0$~$9$인 10개.

합해서 $10 + 10 = 20$번이다. ($77$은 일의 자리에서 한 번, 십의 자리에서 한 번 — 두 번 세는 것이 맞다. 우리가 세는 것은 "7이 쓰인 횟수"이지 "7이 들어간 수의 개수"가 아니기 때문이다.)

검산(작은 경우): 1~20이라면 7과 17의 2번 — 같은 방법(일의 자리 2, 십의 자리 0)과 일치 ✓.

"수 하나씩"이 아니라 "자리 하나씩" 훑는 관점 전환이 핵심이다. 십의 자리로 묶어 세는 이 감각은 자릿수 문제 전반의 표준 도구다.

Count place by place.

Units-place 7s: $7, 17, 27, \ldots, 97$ — one for each tens digit $0$–$9$: 10 of them.

Tens-place 7s: $70, 71, \ldots, 79$ — one for each units digit $0$–$9$: 10 of them.

Total: $10 + 10 = 20$. (The number $77$ contributes once in each count — twice in all — which is correct, because we're counting written 7s, not numbers containing 7.)

Check on a small case: from 1 to 20, the digit 7 appears in 7 and 17 — twice — matching the method (2 units-place, 0 tens-place) ✓.

The pivot from "one number at a time" to "one place at a time" is the whole idea, and it's the standard tool for digit problems generally.

1칸, 2칸, 3칸, 4칸짜리 계단부터 세어 보자. 그리고 "마지막 걸음이 1칸이었는가 2칸이었는가"로 경우를 나누면, 큰 계단의 답이 작은 계단의 답들로 표현된다.

Count staircases of 1, 2, 3, 4 steps first. Then split by "was the last move 1 step or 2?" — that expresses each staircase's answer in terms of smaller ones.

작은 경우: 1칸은 1가지, 2칸은 2가지($1+1$, $2$), 3칸은 3가지, 4칸은 5가지 — $1, 2, 3, 5$.

이유를 세우자. $n$칸을 오르는 마지막 걸음은 1칸이거나 2칸이다. 마지막이 1칸이면 그 전까지 $n-1$칸을 오르는 방법 수만큼, 마지막이 2칸이면 $n-2$칸을 오르는 방법 수만큼 있다. 두 경우는 겹치지 않으므로

앞의 두 값을 더해 다음 값을 만드는 규칙 — 이제 10까지 밀고 간다:

10칸은 89가지다.

검산: 규칙이 맞는지 4칸에서 확인 — $3 + 2 = 5$ ✓ (직접 나열: $1111, 112, 121, 211, 22$의 5가지 ✓).

이 수열이 피보나치 수열이다. "마지막 한 걸음으로 경우 나누기"는 점화식 문제의 만능 열쇠이고, AMC 8 후반부의 경로·타일 문제들이 정확히 이 구조다.

Small cases: 1 step has 1 way; 2 steps have 2 ways ($1+1$ or $2$); 3 steps, 3 ways; 4 steps, 5 ways — $1, 2, 3, 5$.

Now the reason. The final move onto step $n$ is either a 1-step or a 2-step. If it's a 1-step, there are as many ways as climbing $n-1$ steps; if a 2-step, as many as climbing $n-2$. The two cases don't overlap, so

Each value is the sum of the previous two — push it to 10:

A 10-step staircase has 89 ways.

Check the rule at $n = 4$: $3 + 2 = 5$ ✓ (listing by hand: $1111, 112, 121, 211, 22$ — five ✓).

This is the Fibonacci sequence. "Split on the last move" is the master key for recursion problems, and the path and tiling problems late in the AMC 8 have exactly this structure.

두 항의 일의 자리를 각각 순환으로 구한 다음 더하자. 합의 일의 자리는 일의 자리끼리의 합만 보면 된다.

Find each term's units digit from its cycle, then add. The units digit of a sum depends only on the units digits being added.

각 항의 일의 자리를 순환으로 구한다.

$3$의 거듭제곱: $3, 9, 7, 1$의 4순환. $2026 = 4 \times 506 + 2$이므로 $3^{2026}$의 일의 자리는 두 번째 값 9.

$7$의 거듭제곱: $7, 9, 3, 1$의 4순환. 같은 나머지 2이므로 $7^{2026}$의 일의 자리도 9.

합의 일의 자리는 $9 + 9 = 18$의 일의 자리인 $8$이다. (십의 자리로 올라간 1은 일의 자리에 영향을 주지 않는다.)

검산(작은 지수로 방법 확인): $3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$ — 일의 자리 8. 지수 2는 2026과 같은 나머지(4로 나눠 2)이므로 일의 자리가 같아야 하고, 실제로 같다 ✓.

두 순환의 길이가 모두 4라는 우연 덕에 계산이 짧았다 — 순환 길이가 다르면 최소공배수 주기로 맞추면 된다. 정수론 단원에서 이 도구를 합동식이라는 이름으로 다시 만난다.

Take each term's units digit from its cycle.

Powers of $3$: the cycle $3, 9, 7, 1$ of length 4. Since $2026 = 4 \times 506 + 2$, the units digit of $3^{2026}$ is the second entry: 9.

Powers of $7$: the cycle $7, 9, 3, 1$, also length 4. Same remainder 2, so the units digit of $7^{2026}$ is 9 as well.

The sum's units digit is that of $9 + 9 = 18$: namely $8$. (The carried 1 moves to the tens place and can't touch the units.)

Check the method at a small exponent with the same remainder: $3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$ — units digit 8, as predicted ✓.

Both cycles happening to have length 4 kept this short — with different cycle lengths, work modulo their least common multiple. The number theory unit revisits this tool under its proper name: congruences.