경시 문제는 무엇이 다른가What Makes a Contest Problem Different

1시간은 60분이므로 $11 \times 60 = 660$분, 여기에 5분을 더하면 $665$분이다.

전략 노트: 1번 문제도 25번 문제와 똑같이 1점이다. 이런 문제는 빠르게, 그러나 정확하게 — 선택지 (A) 605와 (B) 655는 $11 \times 55$나 $650+5$ 같은 손실수를 노린 함정이다. 10초 안에 풀되 끝자리(0+5=5)는 확인하고 넘어가자.

An hour is 60 minutes, so $11 \times 60 = 660$ minutes, plus 5 more gives $665$.

Strategy note: problem 1 is worth exactly as much as problem 25. Solve it fast but clean — choices (A) 605 and (B) 655 are traps for slips like $11 \times 55$ or $650 + 5$. Take ten seconds, confirm the last digit ($0 + 5 = 5$), and move on.

전체 대수가 6의 배수여야 한다. 23보다 큰 가장 작은 6의 배수는 $24$이므로, 더 사야 하는 최소 대수는 $24 - 23 = 1$대다.

검산: 24대면 6대씩 4줄 ✓.

The total must be a multiple of 6. The smallest multiple of 6 above 23 is $24$, so she needs $24 - 23 = 1$ more car.

Check: 24 cars make exactly 4 rows of 6 ✓.

샌드위치 6개면 $6 \times 4.50 = 27.00$달러이고, 7개면 $31.50$달러로 예산을 넘는다. 그러므로 샌드위치는 6개, 남는 돈은 $30.00 - 27.00 = 3.00$달러로 음료수 3캔을 산다.

합계는 $6 + 3 = 9$개다.

전략 노트: 이 문제의 진짜 함정은 계산이 아니라 마지막 질문이다. 샌드위치 개수 6을 구하고 나면 선택지에 (A) 6이 기다리고 있다. "묻는 것이 무엇인가"를 다시 읽는 습관 — 오답 분류의 2번(실수)을 막는 가장 싼 보험이다.

Six sandwiches cost $6 \times 4.50 = 27.00$ dollars; seven would cost $31.50$, over budget. So: 6 sandwiches, and the remaining $30.00 - 27.00 = 3.00$ dollars buys 3 drinks.

The total is $6 + 3 = 9$ items.

Strategy note: the real trap here isn't the arithmetic — it's the final question. The moment you compute "6 sandwiches," choice (A) 6 is sitting there waiting. Rereading what is asked is the cheapest insurance against bin-2 errors (knew it, botched it).

각 괄호를 하나의 분수로 바꾸면 구조가 드러난다:

이웃한 분수끼리 분자와 분모가 지워진다 — 2끼리, 3끼리, …, 6끼리. 살아남는 것은 맨 끝의 분자 7과 맨 앞의 분모 1뿐이므로 곱은 $7$이다.

이런 소거를 망원경 접히듯 사라진다 해서 망원(telescoping) 곱이라 부른다. "작은 경우 실험"으로도 잡을 수 있다: 괄호 1개면 $2$, 2개면 $3$, 3개면 $4$ — 괄호 $n$개의 곱은 $n+1$이라는 패턴이 바로 보인다. 괄호 6개면 7.

Rewrite each factor as a single fraction and the structure appears:

Adjacent numerators and denominators cancel — the 2s, the 3s, …, the 6s. All that survives is the final numerator 7 over the initial denominator 1, so the product is $7$.

This kind of cancellation is called telescoping — the product folds up like a telescope. Small cases catch it too: one factor gives $2$, two give $3$, three give $4$ — the product of $n$ factors is $n+1$. Six factors: 7.

속력을 계산하지 않아도 된다. 해안 도로에서 10마일에 30분이 걸렸다. 고속도로에서는 3배 빠르므로 같은 10마일을 3분의 1의 시간, 즉 10분에 간다. 고속도로 50마일은 10마일 다섯 번이므로 $5 \times 10 = 50$분.

전체 시간은 $30 + 50 = 80$분이다.

검산 삼아 속력으로 풀면: 해안 도로 속력은 10마일/0.5시간 = 시속 20마일, 고속도로는 시속 60마일 → 50마일에 $\frac{50}{60}$시간 = 50분. 같다. "3배 빠르면 같은 거리를 3분의 1 시간에"라는 비율 감각이 계산보다 빠르다.

No speed computation needed. The coastal road took 30 minutes for 10 miles. On the highway he's three times as fast, so the same 10 miles takes a third of the time: 10 minutes. Fifty highway miles is five blocks of 10 miles: $5 \times 10 = 50$ minutes.

Total: $30 + 50 = 80$ minutes.

As a check, with actual speeds: coastal is 10 miles per half hour = 20 mph, highway is 60 mph, so 50 miles takes $\frac{50}{60}$ hours = 50 minutes. Same. The ratio instinct — "three times as fast means one-third the time for the same distance" — beats the computation.

9의 배수 판정법: 각 자리 숫자의 합이 9의 배수여야 한다. $2 + 0 + 1 + 8 + U = 11 + U$가 9의 배수이려면 $U = 7$이다. 수는 $20187$.

8로 나눈 나머지는 마지막 세 자리만 보면 된다 — $1000 = 8 \times 125$라서 천의 자리 위쪽은 8의 배수이기 때문이다. $187 = 8 \times 23 + 3$이므로 나머지는 $3$이다.

검산: $20187 = 8 \times 2523 + 3$ ✓. 그리고 $2+0+1+8+7 = 18 = 9 \times 2$ ✓.

두 판정법 모두 "왜"가 있다: 9의 배수 판정은 $10 \equiv 1$, $100 \equiv 1, \ldots$ (10의 거듭제곱을 9로 나눈 나머지가 늘 1)에서 나온다. 정수론 단원에서 제대로 다룬다 — 지금은 도구로 쓰되, 근거가 있다는 것만 기억해 두자.

Divisibility by 9: the digit sum must be a multiple of 9. Here $2 + 0 + 1 + 8 + U = 11 + U$, which forces $U = 7$. The number is $20187$.

For the remainder mod 8, only the last three digits matter — because $1000 = 8 \times 125$, everything from the thousands place up is already a multiple of 8. Since $187 = 8 \times 23 + 3$, the remainder is $3$.

Check: $20187 = 8 \times 2523 + 3$ ✓, and $2+0+1+8+7 = 18 = 9 \times 2$ ✓.

Both tests have a why: the digit-sum test comes from $10, 100, 1000, \ldots$ all leaving remainder 1 when divided by 9. The number theory unit proves this properly — use the tools now, but remember they rest on reasons.

전체 개수를 $N$이라 하자. $\dfrac{N}{3}$과 $\dfrac{N}{4}$이 모두 자연수여야 하므로 $N$은 12의 배수다.

노란색 개수는 $N - \dfrac{N}{3} - \dfrac{N}{4} - 6 = \dfrac{5N}{12} - 6$이다. 12의 배수를 작은 것부터 넣어 보면:

• $N = 12$: $5 - 6 = -1$개 — 불가능.
• $N = 24$: $10 - 6 = 4$개 — 가능하다.

$N$이 커질수록 $\dfrac{5N}{12} - 6$도 커지므로 최솟값은 $4$다.

검산: $N = 24$이면 파랑 8, 빨강 6, 초록 6, 노랑 4 — 합계 24 ✓.

전략 노트: "$N=12$을 넣어 보니 음수"라는 실험이 풀이의 갈림길이다. 첫 시도가 실패해도 그 실패가 "12는 안 되고 24부터"라는 정보를 준다 — 실험은 틀려도 남는 장사다.

Let $N$ be the total. Both $\dfrac{N}{3}$ and $\dfrac{N}{4}$ must be whole numbers, so $N$ is a multiple of 12.

The yellow count is $N - \dfrac{N}{3} - \dfrac{N}{4} - 6 = \dfrac{5N}{12} - 6$. Try multiples of 12 from the bottom:

• $N = 12$: $5 - 6 = -1$ — impossible.
• $N = 24$: $10 - 6 = 4$ — works.

As $N$ grows, $\dfrac{5N}{12} - 6$ only grows, so the minimum is $4$.

Check: with $N = 24$: blue 8, red 6, green 6, yellow 4 — total 24 ✓.

Strategy note: the experiment "$N = 12$ gives a negative count" is the hinge of the solution. A failed first try still pays — it tells you 12 is out and 24 is the place to look. Experiments profit even when they fail.

평균을 총점으로 바꾸는 것이 첫걸음이다. 처음 네 시험 점수를 $a$, 마지막을 $b$라 하면 어떤 식과 어떤 부등식들이 생기는가?

Convert the average to a total first. If the repeated score is $a$ and the last is $b$, what equation and which inequalities appear?

처음 네 시험 점수를 $a$, 마지막을 $b$라 하자. 평균 82는 총점 $5 \times 82 = 410$이라는 뜻이므로

조건은 두 가지: $b \leq 100$, 그리고 $b > a$.

$b = 410 - 4a \leq 100$에서 $4a \geq 310$, 즉 $a \geq 77.5$이므로 정수 $a \geq 78$.

$b > a$에서 $410 - 4a > a$, 즉 $410 > 5a$, $a < 82$.

따라서 $a \in \{78, 79, 80, 81\}$의 네 가지이고, 각각 $b = 98, 94, 90, 86$이다. 가능한 $b$는 4가지다.

검산: $a = 78, b = 98$이면 총점 $312 + 98 = 410$ ✓, $b \leq 100$ ✓, $b > a$ ✓. $a = 82$였다면 $b = 82$가 되어 "더 높은 점수" 조건이 깨진다 — 경계가 제외되는 이유까지 확인했다.

Let the repeated score be $a$ and the last score $b$. An average of 82 means a total of $5 \times 82 = 410$:

Two constraints: $b \leq 100$, and $b > a$.

From $b = 410 - 4a \leq 100$: $4a \geq 310$, so $a \geq 77.5$, hence the integer $a \geq 78$.

From $b > a$: $410 - 4a > a$, so $410 > 5a$, giving $a < 82$.

So $a \in \{78, 79, 80, 81\}$ — four options — giving $b = 98, 94, 90, 86$. There are 4 possible last-test scores.

Check: $a = 78, b = 98$ totals $312 + 98 = 410$ ✓ with $b \leq 100$ ✓ and $b > a$ ✓. And if $a$ were 82, then $b = 82$ too, breaking "higher" — so the boundary rightly drops out.

쇼핑 30분 동안 자동차 시계는 35분을 갔다 — 실제 시간과 자동차 시계의 비는 늘 $30 : 35$로 일정하다. 자동차 시계가 12시부터 7시까지 몇 분을 갔는지 세어 보자.

During 30 real minutes the car clock ran 35 — so real time to car-clock time is always $30 : 35$. Count how many minutes the car clock covered from noon to 7:00.

실제 30분 동안 자동차 시계는 35분을 간다. 비율이 일정하므로

자동차 시계는 낮 12시에서 7시까지 $7 \times 60 = 420$분을 갔다. 실제 시간은 그것의 $\dfrac{6}{7}$인

낮 12시의 6시간 뒤이므로 실제 시각은 오후 6시다.

검산: 실제 360분 동안 자동차 시계는 $360 \times \frac{7}{6} = 420$분 = 7시간을 간다 ✓.

전략 노트: "빠르게 가는 시계"를 만나면 두 시계를 동시에 잰 한 구간에서 비율을 뽑는 것이 전부다. 나머지는 비례식이다. 방향(6/7인지 7/6인지)이 헷갈리면 상식 점검 — 자동차 시계가 빠르니 실제 시각은 7시보다 앞이어야 한다. 선택지 (E)는 그 상식 하나로 지워진다.

In 30 real minutes the car clock runs 35 minutes. The rate is constant, so

From noon to 7:00 the car clock covered $7 \times 60 = 420$ minutes. The real elapsed time is $\dfrac{6}{7}$ of that:

Six hours past noon: the actual time is 6:00 PM.

Check: in 360 real minutes the car clock runs $360 \times \frac{7}{6} = 420$ minutes = 7 hours ✓.

Strategy note: with any "fast clock" problem, everything comes from the one interval where both clocks were measured together — extract the ratio there, then it's pure proportion. If the direction ($\frac{6}{7}$ vs $\frac{7}{6}$) feels slippery, sanity-check: the car clock runs fast, so the real time must be earlier than 7:00. That alone erases choice (E).

다섯 자리 수가 크려면 무엇보다 맨 앞자리가 커야 한다. 9부터 내려가며 "이 숫자로 시작할 수 있는가"(나머지 네 자리의 곱으로 만들 수 있는가)를 확인하자.

To make a five-digit number large, the leading digit matters most. Walk down from 9, asking each time: can the remaining four digits still multiply to what's left?

다섯 자리 수의 크기는 맨 앞자리가 지배하고, 그다음 자리가 그다음으로 중요하다. 그러므로 앞자리부터 욕심껏(greedy) 크게 만든다.

• 첫 자리에 9? $120 \div 9$는 정수가 아니므로 불가능.
• 첫 자리에 8? $120 \div 8 = 15$ — 남은 네 자리의 곱이 15이면 된다. 가능하다.
• 둘째 자리: 15의 약수 중 한 자리 최대는 5. 남은 곱은 $15 \div 5 = 3$.
• 셋째 자리: 3. 남은 곱은 1 — 나머지 두 자리는 1, 1.

따라서 $N = 85311$이고, 자리 숫자의 합은 $8 + 5 + 3 + 1 + 1 = 18$이다.

검산: $8 \times 5 \times 3 \times 1 \times 1 = 120$ ✓. 그리고 앞자리를 8로 유지한 다른 배열(예: 8531 뒤에 1 …)은 85311보다 클 수 없고, 첫 자리가 7 이하인 수는 8로 시작하는 수보다 무조건 작다.

전략 노트: "가장 큰/작은 수 만들기"는 거의 항상 가장 높은 자리부터 결정하는 탐욕 전략이다. 단, 매 단계에서 "남은 자리로 마무리가 가능한가"를 확인해야 한다 — 9가 탈락한 이유가 바로 그 확인이다.

A five-digit number's size is ruled by its leading digit, then the next, and so on — so build greedily from the front.

• Lead with 9? $120 \div 9$ isn't an integer — impossible.
• Lead with 8? $120 \div 8 = 15$ — the remaining four digits need product 15. Possible.
• Second digit: the largest single-digit divisor of 15 is 5; remaining product $15 \div 5 = 3$.
• Third digit: 3; remaining product 1 — so the last two digits are 1 and 1.

Thus $N = 85311$, and the digit sum is $8 + 5 + 3 + 1 + 1 = 18$.

Check: $8 \times 5 \times 3 \times 1 \times 1 = 120$ ✓. No other arrangement keeping the 8 in front beats 85311, and anything starting with 7 or less loses to a number starting with 8.

Strategy note: "build the largest/smallest number" problems are almost always greedy from the most significant digit — with one duty at every step: confirm the leftovers can still finish the job. That confirmation is exactly what eliminated the 9.

약수를 하나하나 셀 수는 없다. 먼저 소인수분해를 하자 — 2로 계속 나눈 뒤 남는 수를 보면 된다. 그다음 "약수 하나를 만드는 것 = 각 소인수를 몇 개 쓸지 정하는 것"이라는 관점으로 세자.

Counting factors one by one is hopeless. Factor into primes first — divide by 2 repeatedly and see what's left. Then count with this lens: building a factor = deciding how many of each prime to use.

소인수분해부터. 2로 여섯 번 나누면 $23232 = 2^6 \times 363$이고, $363 = 3 \times 121 = 3 \times 11^2$이므로

약수는 $2^a \times 3^b \times 11^c$ 꼴인데, $a$는 $0$부터 $6$까지 7가지, $b$는 $0$ 또는 $1$의 2가지, $c$는 $0, 1, 2$의 3가지를 독립적으로 고를 수 있다. 각 선택의 조합이 서로 다른 약수를 주므로

검산: 작은 수로 공식을 점검하자. $12 = 2^2 \times 3$이면 $(2+1)(1+1) = 6$개 — 실제로 1, 2, 3, 4, 6, 12의 6개다 ✓.

전략 노트: "지수에 1씩 더해 곱한다"는 공식은 외울 것이 아니라 방금의 논리(소인수별로 몇 개 쓸지 고르기)로 그 자리에서 만들 수 있어야 한다. 이 셈법은 정수론 단원에서 제대로 다룬다 — AMC 8 후반부의 단골이다.

Prime factorization first. Dividing by 2 six times gives $23232 = 2^6 \times 363$, and $363 = 3 \times 121 = 3 \times 11^2$, so

Every factor has the form $2^a \times 3^b \times 11^c$, where $a$ can be anything from $0$ to $6$ (7 choices), $b$ is $0$ or $1$ (2 choices), and $c$ is $0$, $1$, or $2$ (3 choices) — all chosen independently, and different choices give different factors. So the count is

Check the method on a small number: $12 = 2^2 \times 3$ gives $(2+1)(1+1) = 6$ factors — and indeed 1, 2, 3, 4, 6, 12 ✓.

Strategy note: the "add one to each exponent and multiply" formula isn't for memorizing — you should be able to rebuild it on the spot from the choosing argument above. The number theory unit treats this properly; it's a regular in the back half of the AMC 8.