한겨울 일기예보는 "내일 아침 기온은 영하 7도"라고 말한다. 백화점 엘리베이터에는 지하 2층을 뜻하는 B2 버튼이 있고, 통장에서 돈을 뽑으면 잔액 옆에 출금액이 빨간색으로 찍힌다. 셋 다 같은 상황이다 — 기준(0)이 있고, 그 아래로 내려간 양을 말하고 있다.
1, 2, 3, … 같은 수만으로는 이런 상황을 쓸 수가 없다. "0도에서 7도 내려간 온도"를 한 덩어리 수로 부르려고 만든 것이 음수다. 기호로는 0에서 7만큼 내려갔다는 뜻으로 이라 쓰고, "마이너스 7"이라고 읽는다. 반대로 0보다 큰 수는 양수이고, 필요하면 처럼 부호를 붙여 쓰지만 보통은 그냥 로 줄여 쓴다.
은 양수도 음수도 아니다. 0은 "위"와 "아래"를 가르는 기준점이지, 어느 한쪽에 속한 수가 아니다. "음수가 아닌 수를 모두 고르라"는 문제에서 0을 빠뜨리는 실수가 잦다 — 음수가 아닌 수에는 0도 들어간다.
자연수 (양의 정수), , 그리고 음의 정수 을 통틀어 정수라고 한다.
정수를 한눈에 보는 도구가 수직선이다. 직선 위에 기준점 0을 찍고, 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 1씩 커지게, 왼쪽으로 한 칸 갈 때마다 1씩 작아지게 같은 간격으로 눈금을 매긴다.
수직선이 좋은 이유는 수를 위치로 바꿔 주기 때문이다. ""이라는 기호를 "0에서 왼쪽으로 세 칸 간 자리"라는 그림으로 볼 수 있게 되고, 그 순간부터 수에 관한 많은 질문이 자리에 관한 질문으로 바뀐다. 크기 비교가 바로 그렇고, 나중에 배울 음수의 덧셈과 뺄셈도 이 직선 위에서 벌어지는 일이다.
수직선에서는 오른쪽에 있을수록 큰 수다. 양수끼리 비교할 때는 늘 하던 그대로다 — 는 보다 오른쪽에 있으니 . 음수가 끼어들 때가 문제다.
그림에서 는 보다 오른쪽에 있다. 따라서
이 결론이 실생활 감각과도 맞는지 확인해 보자. 영하 2도는 영하 5도보다 따뜻하다. 2천 원 빚진 사람은 5천 원 빚진 사람보다 형편이 낫다. "오른쪽이 크다"는 약속은 이런 일상의 감각을 그대로 수직선에 옮겨 놓은 것이다.
"8이 3보다 크니까 도 보다 크겠지"가 이 단원에서 가장 흔한 실수다. 방향이 반대다 — 음수는 0에서 멀어질수록 작아진다. 은 보다 왼쪽에 있으므로 이다. 헷갈릴 때마다 수직선을 떠올리거나 기온으로 바꿔 읽어 보자. 영하 8도가 영하 3도보다 추운 날이다.
를 작은 것부터 순서대로 나열하여라.
풀이. 다섯 수를 수직선에 찍어 보면 왼쪽부터 순서로 놓인다. 따라서
검산 삼아 이웃한 쌍만 다시 본다. 은 보다 0에서 먼 음수이므로 더 작다 ✓. 음수 는 보다 작다 ✓. 는 익숙한 비교다 ✓.
과 은 0에서 같은 거리(세 칸)만큼, 서로 반대 방향에 있다. 이런 두 수를 서로 반대인 수(opposite)라고 부른다. 부호만 다르고 0까지의 거리는 같은 짝이다.
여기서 기호의 두 번째 얼굴이 나온다. 지금까지 는 "음수 표시"였지만, "반대쪽으로!"라는 명령으로도 읽을 수 있다. 은 "3의 반대인 수". 그러면 은 "의 반대인 수"이니, 수직선에서 을 0 반대편으로 넘기면 이다:
반대의 반대는 제자리다. 참고로 의 반대인 수는 자신이다 — 0에서 거리가 0인 수는 0뿐이니까.
"0에서 몇 칸 떨어져 있는가"라는 거리에는 절댓값이라는 이름이 따로 붙어 있다. 5단원에서 음수의 계산과 함께 제대로 다룬다. 지금은 "반대인 수끼리는 0까지의 거리가 같다"는 그림만 확실히 챙겨 두면 된다.
크기 비교를 할 수 있으면 "두 수 사이에 어떤 정수가 있는가"도 답할 수 있다. 경계를 포함하느냐 마느냐에서 실수가 자주 나오니, 예제로 연습해 두자.
를 만족하는 정수 을 모두 구하여라.
풀이. 수직선에서 보다 오른쪽( 제외), 까지( 포함)의 정수를 읽으면
로 모두 6개다. 부등호 모양에 주의: 이므로 는 빠지고, 이므로 는 들어간다.
검산: 를 넣으면 가 거짓이니 제외가 맞다 ✓. 를 넣으면 가 참이니 포함이 맞다 ✓.
과 사이에 있는 정수(양 끝은 제외)는 모두 몇 개인가?
풀이. 다 나열하기엔 많으니 0을 기준으로 끊어 센다.
합하면 개다.
검산: 양 끝 처리 확인 — 과 자신은 목록에 없다 ✓. 음수 쪽이 부터인 것도, 양수 쪽이 까지인 것도 "사이"라는 조건과 맞다 ✓.
이렇게 0에서 끊어 세는 방법은 음수가 낀 문제 전반에서 쓸모가 많다. 기온이 영하에서 영상으로 오른 날 "몇 도 올랐나"를 셀 때도 0(어는점)에서 한 번 끊으면 실수가 없다 — 문제 탭에서 직접 해 보자.
A winter forecast says the temperature will drop to 7 degrees below zero. The elevator in a department store has a B2 button for the second basement level. When you take money out of your bank account, the withdrawal shows up in red next to the balance. All three are the same situation: there is a reference point — zero — and something has gone below it.
The numbers can't describe any of this. Negative numbers were invented to name amounts below zero in a single number. We write , read "negative seven," for the value 7 steps below zero. Numbers above zero are positive; you can write when you want to stress the sign, but usually plain means the same thing.
is neither positive nor negative. Zero is the reference point that separates "above" from "below" — it doesn't belong to either side. When a problem says "list all the numbers that are not negative," people often forget . It counts: not-negative includes zero.
The counting numbers (the positive integers), zero, and the negative integers together form the integers:
The tool that lets you see all the integers at once is the number line. Draw a line, mark a point , and lay off equally spaced tick marks: each step to the right adds 1, each step to the left takes 1 away.
What makes the number line so useful is that it turns numbers into positions. The symbol becomes "the spot three steps left of 0," and from then on many questions about numbers become questions about locations. Comparing sizes works that way, and so will adding and subtracting negative numbers when we get there in Unit 5 — all of it happens on this line.
On the number line, the number farther to the right is the greater one. Between positives this is nothing new — sits to the right of , so . The interesting case is when negatives show up.
In the picture, lies to the right of , so
Does that match common sense? Check it against real life. A temperature of degrees is warmer than degrees. Owing 2,000 won leaves you better off than owing 5,000 won. The "right means greater" rule is just everyday experience copied onto a line.
The most common mistake in this whole unit: "8 is bigger than 3, so must be bigger than ." It's the other way around — negative numbers get smaller as they get farther from 0. Since lies to the left of , we have . When in doubt, picture the line, or translate to temperatures: a degree day is colder than a degree day.
Arrange from least to greatest.
Solution. Plot all five on a number line. Reading from left to right gives , so
Check the neighboring pairs. is farther from 0 than , and both are negative, so is smaller ✓. The negative is below ✓. And is familiar territory ✓.
and sit at the same distance from 0 — three steps — but on opposite sides. Two numbers paired like this are called opposites: same distance from zero, different signs.
Here the sign shows its second face. So far it has marked negative numbers, but you can also read it as a command: "go to the opposite side!" Then means "the opposite of 3," and means "the opposite of " — flip across 0 and you land on :
The opposite of the opposite takes you back where you started. And the opposite of is itself — the only number at distance zero from 0 is 0.
The distance "how many steps from 0" has its own name, absolute value. It gets a proper treatment in Unit 5, together with arithmetic on negative numbers. For now the picture to keep is: opposites are equally far from zero.
Once you can compare, you can answer "which integers lie between these two?" The errors here almost always come from the endpoints — included or not? — so let's practice.
Find all integers with .
Solution. On the number line we want the integers to the right of (excluding ), up to and including :
— six of them. Watch the two inequality signs: means is out, while means is in.
Check: plugging in gives , false, so excluding it was right ✓. Plugging in gives , true, so including it was right ✓.
How many integers lie strictly between and (not counting the endpoints)?
Solution. Too many to enjoy listing, so split the count at 0.
Total: .
Check the endpoints: and themselves are not in the count ✓, the negative side correctly starts at , and the positive side correctly stops at ✓.
This trick — splitting the count at zero — earns its keep all over problems involving negatives. It's exactly how you'd count the rise in temperature on a day that starts below freezing and ends above: cut once at 0 and nothing goes wrong. Try it yourself in the problems tab.
수직선 위의 네 점 A, B, C, D가 나타내는 정수를 각각 읽어라.
Read off the integer at each of the four points A, B, C, D on the number line.
0을 기준으로 왼쪽은 음수, 오른쪽은 양수다. A는 0에서 왼쪽으로 4칸이므로 , B는 왼쪽으로 1칸이므로 , C는 오른쪽으로 2칸이므로 , D는 오른쪽으로 5칸이므로 이다.
Left of 0 is negative, right of 0 is positive. A is 4 steps left of 0, so ; B is 1 step left, so ; C is 2 steps right, so ; D is 5 steps right, so .
를 작은 것부터 순서대로 나열하여라.
Arrange from least to greatest.
수직선에 찍으면 왼쪽부터 순서다.
검산: 음수끼리는 0에서 먼 가 보다 작다 ✓. 음수 < 0 < 양수 ✓. 양수끼리는 ✓.
Plotted on a number line, they appear left to right as .
Check: between the negatives, is farther from 0, so it's smaller ✓. Negatives < 0 < positives ✓. And ✓.
다음을 구하여라.
(a) 의 반대인 수 (b) 의 반대인 수 (c)
Find each of the following.
(a) the opposite of (b) the opposite of (c)
반대인 수는 0 반대편의 같은 거리에 있는 수, 즉 부호만 바꾼 수다.
(a) 의 반대인 수는 . (b) 의 반대인 수는 . (c) 는 "의 반대인 수"이므로 이다.
The opposite of a number sits at the same distance from 0 on the other side — same number, flipped sign.
(a) The opposite of is . (b) The opposite of is . (c) means "the opposite of ," which is .
다음 수 중에서 음수를 모두 골라라.
Pick out all the negative numbers from the list.
0보다 작은 수만 고르면 과 다.
은 양수도 음수도 아니고, 과 는 양수다. (의 는 양수임을 강조하는 부호일 뿐, 와 같은 수다.)
The numbers below zero are and .
is neither positive nor negative, and and are positive. (The in just emphasizes the sign; it's the same number as .)
안에 또는 를 알맞게 써넣어라.
(a) (b) (c)
Fill each with or .
(a) (b) (c)
수직선에서 오른쪽에 있는 수가 크다.
(a) 은 보다 오른쪽(0에 더 가까운 쪽)에 있으므로 . 기온으로 읽으면 영하 8도가 영하 11도보다 따뜻하다.
(b) 은 모든 음수보다 오른쪽에 있으므로 .
(c) 음수는 어떤 양수보다도 작으므로 .
On the number line, the number farther right is greater.
(a) lies to the right of (closer to 0), so . In temperatures: degrees is warmer than degrees.
(b) lies to the right of every negative number, so .
(c) A negative number is less than any positive number, so .
어느 겨울날 다섯 도시의 아침 기온이다.
| 도시 | 서울 | 모스크바 | 도쿄 | 베이징 | 방콕 |
|---|---|---|---|---|---|
| 기온(°C) |
가장 추운 도시는 어디인가? 또, 다섯 도시를 기온이 낮은 것부터 순서대로 나열하여라.
Here are the morning temperatures in five cities on a winter day.
| City | Seoul | Moscow | Tokyo | Beijing | Bangkok |
|---|---|---|---|---|---|
| Temp (°C) |
Which city is the coldest? Then list all five cities from coldest to warmest.
가장 추운 도시는 기온이 가장 작은 도시다. 음수 셋 중 0에서 가장 먼 가 가장 작으므로 모스크바가 가장 춥다.
낮은 것부터: , 즉 모스크바 → 베이징 → 서울 → 도쿄 → 방콕 순서다.
검산: 음수끼리는 0에서 멀수록 작다() ✓. 음수 < 양수 ✓.
The coldest city has the least temperature. Among the three negatives, is farthest from 0, hence the smallest — so Moscow is coldest.
From coldest to warmest: , that is, Moscow → Beijing → Seoul → Tokyo → Bangkok.
Check: among negatives, farther from 0 means smaller () ✓, and every negative is below every positive ✓.
을 만족하는 정수 을 모두 나열하고, 몇 개인지 세어라.
List every integer with , and count how many there are.
이번에는 이므로 가 들어가고, 이므로 은 빠진다:
세면 7개다.
검산: 를 넣으면 참 → 포함 ✓. 을 넣으면 거짓 → 제외 ✓.
This time means is in, and means is out:
That's 7 integers.
Check: gives , true, so it belongs ✓. gives , false, so it's excluded ✓.
보다 크고 보다 작은 정수는 모두 몇 개인가?
How many integers are greater than and less than ?
0에서 끊어 센다.
합계 개.
검산: 양 끝인 과 은 "보다 크고/작은" 조건 때문에 빠지는 게 맞다 ✓.
Split the count at zero.
Total: .
Check: the endpoints and are correctly excluded, since the condition says strictly greater and strictly less ✓.
수직선 위의 어떤 정수에서 출발해 오른쪽으로 5칸 움직였더니 에 도착했다. 출발한 정수는 무엇인가?
Starting from some integer on the number line, you move 5 steps to the right and land on . What integer did you start from?
도착 지점에서 거꾸로 가면 된다. 에서 왼쪽으로 5칸: . 출발점은 이다.
검산: 에서 오른쪽으로 5칸 가면 — 정말 에 도착한다 ✓.
Undo the move: from , walk 5 steps left: . The starting point is .
Check: from , five steps right gives — landing on as required ✓.
민준이는 "이 보다 크니까 "이라고 주장한다. 민준이의 주장이 옳은지 판단하고, 옳지 않다면 무엇이 잘못됐는지 설명하여라.
Minjun claims: "since is greater than , we get ." Decide whether he is right, and if not, explain exactly what went wrong.
주장은 옳지 않다. 옳은 비교는 이다.
수직선에서 은 보다 왼쪽(0에서 더 먼 쪽)에 있고, 왼쪽에 있는 수가 더 작다. 양수에서는 "0에서 멀수록 크다"가 맞지만, 음수에서는 방향이 반대라서 0에서 멀수록 작다. 민준이는 양수의 규칙을 부호만 붙인 채 음수에 그대로 옮긴 것이 잘못이다.
실생활로 확인해도 같다. 영하 8도는 영하 3도보다 추운 온도이므로 이 더 작다.
채점 기준. ① 주장이 틀렸고 임을 밝히면 기본 점수. ② 수직선 위치(왼쪽 = 작다)나 실생활 비유(기온·빚 등)로 이유를 설명하면 추가 점수. ③ "음수는 0에서 멀수록 작다"처럼 일반적인 규칙으로 정리하면 만점. 논리가 맞는 다른 설명도 만점.
The claim is false. The correct comparison is .
On the number line, lies to the left of — farther from 0 — and farther left means smaller. For positive numbers, "farther from 0" does mean bigger, but for negatives the direction is reversed: farther from 0 means smaller. Minjun's mistake was carrying the positive-number rule across to negatives unchanged.
A real-world check says the same thing: degrees is colder than degrees, so is the smaller number.
Grading guide. ① Stating the claim is false and : base credit. ② Justifying it via number-line position (left = smaller) or a real-world analogy (temperature, debt): more credit. ③ Formulating the general rule — for negatives, farther from 0 means smaller — full credit. Any other logically sound explanation also earns full credit.
개구리 한 마리가 수직선의 에서 출발한다. 오른쪽으로 4칸, 왼쪽으로 7칸, 다시 오른쪽으로 10칸 뛰었다. 개구리의 최종 위치는 어디인가?
A frog starts at on the number line. It hops 4 steps right, then 7 steps left, then 10 steps right. Where does the frog end up?
한 번에 한 이동씩 따라간다.
최종 위치는 이다.
검산: 오른쪽 이동 합계 칸, 왼쪽 이동 칸이므로 출발점보다 오른쪽으로 칸 간 셈이다. 에서 오른쪽 7칸은 (6칸) 후 1칸 더 → ✓.
Track one hop at a time.
The frog ends at .
Check: the frog moves steps right in total and steps left, a net of steps right of the start. From , going 7 right means 6 steps to reach , then 1 more → ✓.
어느 날 아침 최저 기온은 였고, 낮 최고 기온은 였다. 이날 기온은 최저에서 최고까지 몇 도 올랐는가?
One morning the low temperature was , and the afternoon high was . By how many degrees did the temperature rise from the low to the high?
0(어는점)에서 끊어 센다. 도에서 도까지 도, 도에서 도까지 도.
이므로 12도 올랐다.
검산: 수직선에서 과 사이의 칸 수를 직접 세어도 칸이다 ✓.
Split at 0 (the freezing point): from up to is degrees, and from up to is more.
so the temperature rose by 12 degrees.
Check: counting the steps from to directly on a number line also gives ✓.
정수 은 보다 크고 보다 작다. 그런데 의 반대인 수도 보다 크고 보다 작다고 한다. 이런 정수 은 모두 몇 개인가?
An integer is greater than and less than . Its opposite also turns out to be greater than and less than . How many such integers are there?
첫째 조건 를 만족하는 정수는 의 8개다.
이 중에서 반대인 수도 같은 범위에 들어가는지 하나씩 확인한다. 의 반대인 수는 인데, 는 거짓이므로 탈락. 나머지는 전부 통과다: 의 반대인 수는 각각 으로 모두 와 사이에 있다.
따라서 조건을 만족하는 정수는 의 개다.
구조 관찰. 과 이 둘 다 범위에 들어가려면, 0에서 너무 먼 수는 안 된다. 범위의 왼쪽 끝()과 오른쪽 끝() 중 0에 가까운 쪽이 이므로, 사실상 가 조건이 된다 — 반대인 수를 함께 요구하는 순간 범위가 0을 중심으로 대칭이 되는 것이다.
검산: 이면 가 범위 밖 ✓(탈락 맞음). 이면 은 범위 안 ✓.
The first condition, , allows the 8 integers .
Now check which of these have an opposite in the same range. The opposite of is , and is false — so is out. Everything else survives: the opposites of are , all strictly between and .
So there are such integers: .
What's really going on. For both and to fit, can't be too far from 0. Of the two ends and , the one closer to 0 is , so the working condition is — demanding the opposite as well makes the range symmetric about 0.
Check: gives , outside the range ✓ (correctly rejected); gives , inside ✓.