연산 순서Order of Operations

Pre-AlgebraPre-Algebra · 1. 정수와 연산 순서1. Integers & Order of Operations

학습 목표

계산 순서를 약속해야 하는 이유와, 그 약속이 자연스러운 이유를 설명할 수 있다.
괄호 → 거듭제곱 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈 순서로 식의 값을 구할 수 있다.
같은 계급의 연산(곱셈·나눗셈, 덧셈·뺄셈)을 왼쪽부터 처리한다.
분수 막대가 숨은 괄호라는 것을 알고 바르게 계산한다.

한 식, 두 답?

$3 + 4 \times 2$ 를 두 사람이 계산한다. 한 사람은 곱셈부터 해서 $3 + 8 = 11$ , 다른 사람은 앞에서부터 읽어 $7 \times 2 = 14$ . 같은 식에서 답이 두 개 나왔다.

수학 식은 전 세계가 함께 쓰는 문장이다. 같은 식을 읽는 사람마다 값이 달라진다면 식은 아무것도 전달하지 못한다. 그래서 읽는 순서를 약속해 두었고, 그 약속에 따르면 옳은 값은 $11$ 이다.

이 약속은 아무렇게나 정한 것이 아니다. $4 \times 2$ 는 "2를 4번 더한 것", 즉 $2 + 2 + 2 + 2$ 를 줄여 쓴 덩어리다. 덩어리를 먼저 하나의 수로 뭉쳐야 바깥의 덧셈이 말이 된다.

3 + 4 × 2는 점 3개에 2개들이 묶음 4개를 더한 것이므로 11이다.

점 3개에 "2개들이 묶음" 4개를 합치면 $3 + 8 = 11$ 개다. 곱셈이 덧셈보다 먼저인 이유는 한마디로 곱셈이 덧셈의 묶음이기 때문이다.

순서 사다리

정의연산 순서

괄호 안을 가장 먼저 계산한다.
거듭제곱을 계산한다.
곱셈과 나눗셈을 왼쪽에서 오른쪽으로 계산한다.
덧셈과 뺄셈을 왼쪽에서 오른쪽으로 계산한다.

연산 순서 사다리: 괄호, 거듭제곱, 곱셈·나눗셈, 덧셈·뺄셈 순서.

2번의 거듭제곱은 같은 수를 거듭 곱한 것을 줄여 쓰는 표기다:

2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8.

곱해지는 수 $2$ 를 밑, 곱한 횟수 $3$ 을 지수라고 부른다. 거듭제곱이 곱셈보다 먼저인 이유도 아까와 같다 — 거듭제곱은 곱셈의 묶음이니까. 거듭제곱은 4단원에서 본격적으로 다루고, 이 차시에서는 이 표기만 쓴다.

주의

$2^3$ 은 $2 \times 3 = 6$ 이 아니다. $2$ 를 세 번 곱한 $8$ 이다. 처음 이 표기를 만나면 십중팔구 한 번은 하는 실수이니, 지금 확실히 갈라 두자.

예제 1 · 기본 순서

$7 + 20 \div 4$ 의 값을 구하여라.

풀이. 나눗셈이 덧셈보다 먼저다.

7 + 20 \div 4 = 7 + 5 = 12.

앞에서부터 읽어 $27 \div 4$ 를 먼저 하면 안 된다 — 나눗셈은 덧셈보다 높은 계급이다.

같은 계급은 왼쪽부터 — 함정 주의

순서 사다리에서 곱셈과 나눗셈은 같은 계급이다. 곱셈이 나눗셈보다 먼저가 아니다. 같은 계급끼리 만나면 왼쪽에서 오른쪽으로 처리한다. 덧셈과 뺄셈도 마찬가지다.

예제 2 · 같은 계급 두 연산

$8 \div 4 \times 2$ 와 $10 - 3 + 2$ 의 값을 각각 구하여라.

풀이. 둘 다 왼쪽부터.

8 \div 4 \times 2 = 2 \times 2 = 4

곱셈을 먼저 해서 $8 \div 8 = 1$ 로 만들면 틀린다. 나눗셈이 왼쪽에 있으므로 나눗셈이 먼저다.

10 - 3 + 2 = 7 + 2 = 9

덧셈을 먼저 해서 $10 - 5 = 5$ 로 만들면 역시 틀린다.

검산: $8 \div 4 \times 2$ 는 "8을 4명이 나눠 가진 뒤 각자 2배로 불린" 상황으로 읽으면 $4$ 가 자연스럽다 ✓. $10 - 3 + 2$ 는 "10에서 3을 빼고 2를 돌려받은" 것이니 $9$ ✓.

참고

연산 순서를 영어로는 머리글자를 따서 PEMDAS(Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction)라고 외우기도 한다. 편리한 암기법이지만 함정이 있다 — 글자가 M, D 순서라고 곱셈을 나눗셈보다 먼저 하는 게 아니다. M과 D는 한 계급, A와 S도 한 계급이고, 같은 계급은 왼쪽부터다. 예제 2가 바로 그 함정을 밟아 본 것이다.

괄호: 순서를 바꾸는 도구

정해진 순서와 다르게 계산하고 싶을 때 쓰는 것이 괄호다. 괄호는 "여기부터 먼저"라는 표시다. 아까 틀린 답이던 $14$ 도, 괄호를 쓰면 어엿한 옳은 값이 된다:

(3 + 4) \times 2 = 7 \times 2 = 14.

괄호 안에 또 괄호가 필요하면 대괄호 $[\ ]$ 를 겹쳐 쓰고, 안쪽부터 바깥쪽으로 푼다.

예제 3 · 겹친 괄호

$2 \times [\,3 + (10 - 4) \div 2\,]$ 의 값을 구하여라.

풀이. 가장 안쪽 괄호부터.

2 \times [\,3 + (10 - 4) \div 2\,] = 2 \times [\,3 + 6 \div 2\,] = 2 \times [\,3 + 3\,] = 2 \times 6 = 12.

대괄호 안에서도 순서 사다리는 그대로다 — $6 \div 2$ 가 $3 + 6$ 보다 먼저다.

괄호가 눈에 보이지 않는데 괄호 역할을 하는 표기가 하나 있다. 분수 막대다.

\frac{18 - 6}{3} = (18 - 6) \div 3 = 12 \div 3 = 4.

분수 막대는 위층 전체와 아래층 전체를 각각 묶는 숨은 괄호다. $18 - 6 \div 3 = 18 - 2 = 16$ 으로 읽으면 완전히 다른 식이 된다.

예제 4 · 분수 막대와 거듭제곱

$\dfrac{5^2 - 1}{2 \times 6}$ 의 값을 구하여라.

풀이. 위층과 아래층을 각각 먼저 계산한다.

위층: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$ . 아래층: $2 \times 6 = 12$ .

\frac{5^2 - 1}{2 \times 6} = \frac{24}{12} = 2.

검산: $2 \times 12 = 24$ 로 나눗셈을 되돌려 보면 위층 값과 일치한다 ✓.

괄호 넣기 퍼즐

순서 규칙을 제대로 아는지 확인하는 좋은 놀이가 있다. 괄호를 넣어서 원하는 값을 만들어 보는 것이다.

예제 5 · 괄호 한 쌍으로 15 만들기

식 $3 + 5 \times 2 - 1$ 에 괄호 한 쌍을 넣어 값이 $15$ 가 되게 하여라.

풀이. 괄호 없이 계산하면 $3 + 10 - 1 = 12$ 다. 괄호를 넣을 수 있는 자리를 하나씩 시험한다.

$(3 + 5) \times 2 - 1 = 8 \times 2 - 1 = 16 - 1 = 15$ ✓
$3 + 5 \times (2 - 1) = 3 + 5 \times 1 = 8$
$3 + (5 \times 2 - 1) = 3 + 9 = 12$ — 괄호가 있으나 없으나 같다

답은 $(3 + 5) \times 2 - 1$ 이다. 셋째 줄처럼 어차피 먼저 계산될 부분을 묶은 괄호는 값을 바꾸지 못한다는 것도 눈여겨보자.

참고

괄호를 어디에 넣어도 값이 안 변하는 식도 있다. $2 + 3 + 4$ 는 $(2 + 3) + 4$ 로 읽어도 $2 + (3 + 4)$ 로 읽어도 $9$ 다. 우연이 아니라 덧셈이 가진 성질인데, 어떤 연산이 이런 성질을 갖고 어떤 연산이 안 갖는지가 바로 다음 차시의 주제다.

Goals

Explain why a calculation order must be agreed on — and why the agreed order is a natural one.
Evaluate expressions in the order: parentheses → exponents → multiply/divide → add/subtract.
Handle same-rank operations (multiply · divide, add · subtract) from left to right.
Treat a fraction bar as hidden parentheses.

One expression, two answers?

Two students compute $3 + 4 \times 2$ . One multiplies first and gets $3 + 8 = 11$ ; the other reads left to right and gets $7 \times 2 = 14$ . Same expression, two answers.

A mathematical expression is a sentence the whole world shares. If its value depended on who happened to be reading, it would communicate nothing. So there is an agreed reading order, and under that agreement the correct value is $11$ .

The agreement isn't arbitrary. $4 \times 2$ is shorthand for "add 2 four times" — it's $2 + 2 + 2 + 2$ , a bundle. You have to collapse the bundle into a single number before the outer addition means anything.

3 + 4 × 2 is 3 dots plus 4 bundles of 2, which makes 11.

Three dots plus four bundles-of-two makes $3 + 8 = 11$ dots. In one sentence: multiplication goes before addition because multiplication is bundled addition.

The order ladder

DefinitionOrder of operations

Work inside parentheses first.
Evaluate exponents.
Do multiplication and division, left to right.
Do addition and subtraction, left to right.

The order ladder: parentheses, exponents, multiply·divide, add·subtract.

Step 2 mentions exponents — shorthand for repeated multiplication:

2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8.

The repeated number $2$ is the base and the count $3$ is the exponent. Why do exponents outrank multiplication? Same reason as before: an exponent is bundled multiplication. Exponents get a full unit of their own (Unit 4); in this lesson we only use the notation.

Watch out

$2^3$ is not $2 \times 3 = 6$ . It's $2$ multiplied three times: $8$ . Nearly everyone makes this slip once when the notation is new — settle it now.

Example 1 · The basic order

Evaluate $7 + 20 \div 4$ .

Solution. Division outranks addition:

7 + 20 \div 4 = 7 + 5 = 12.

Reading left to right and computing $27 \div 4$ first is wrong — division sits higher on the ladder than addition.

Same rank? Go left to right — mind the trap

On the ladder, multiplication and division share one rank. Multiplication does not come before division. When operations of the same rank meet, work left to right. The same goes for addition and subtraction.

Example 2 · Two operations of the same rank

Evaluate $8 \div 4 \times 2$ and $10 - 3 + 2$ .

Solution. Left to right, both times.

8 \div 4 \times 2 = 2 \times 2 = 4

Multiplying first to get $8 \div 8 = 1$ is wrong: the division is on the left, so it goes first.

10 - 3 + 2 = 7 + 2 = 9

Adding first to get $10 - 5 = 5$ is wrong for the same reason.

Check: read $8 \div 4 \times 2$ as "8 split among 4 people, then everyone doubles their share" — that's $4$ ✓. Read $10 - 3 + 2$ as "pay out 3 from 10, then get 2 back" — that's $9$ ✓.

Note

English speakers often memorize the order as PEMDAS — Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction ("Please Excuse My Dear Aunt Sally"). Handy, but it hides a trap: the letters M-then-D do not mean multiplication before division. M and D are one rank, A and S are one rank, and ties are broken left to right. Example 2 is exactly the trap the acronym sets.

Parentheses: the order-changing tool

When you want a different order, you use parentheses — they mean "start here." Remember the wrong answer $14$ from the opening? With parentheses it becomes a perfectly correct value:

(3 + 4) \times 2 = 7 \times 2 = 14.

If you need grouping inside grouping, switch to square brackets $[\ ]$ and work from the inside out.

Example 3 · Nested grouping

Evaluate $2 \times [\,3 + (10 - 4) \div 2\,]$ .

Solution. Innermost parentheses first:

2 \times [\,3 + (10 - 4) \div 2\,] = 2 \times [\,3 + 6 \div 2\,] = 2 \times [\,3 + 3\,] = 2 \times 6 = 12.

Inside the brackets the ladder still applies — $6 \div 2$ happens before $3 + 6$ .

One piece of notation acts like parentheses without showing any: the fraction bar.

\frac{18 - 6}{3} = (18 - 6) \div 3 = 12 \div 3 = 4.

A fraction bar silently wraps the entire top and the entire bottom in parentheses. Reading it as $18 - 6 \div 3 = 18 - 2 = 16$ turns it into a completely different expression.

Example 4 · Fraction bar with an exponent

Evaluate $\dfrac{5^2 - 1}{2 \times 6}$ .

Solution. Finish the top and the bottom separately first.

Top: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$ . Bottom: $2 \times 6 = 12$ .

\frac{5^2 - 1}{2 \times 6} = \frac{24}{12} = 2.

Check: undo the division — $2 \times 12 = 24$ matches the top ✓.

Parenthesis puzzles

Here's a good game for testing whether you really own the rules: insert parentheses to hit a target value.

Example 5 · Make 15 with one pair

Insert one pair of parentheses into $3 + 5 \times 2 - 1$ so that the value is $15$ .

Solution. Without parentheses the value is $3 + 10 - 1 = 12$ . Try the possible placements:

$(3 + 5) \times 2 - 1 = 8 \times 2 - 1 = 16 - 1 = 15$ ✓
$3 + 5 \times (2 - 1) = 3 + 5 \times 1 = 8$
$3 + (5 \times 2 - 1) = 3 + 9 = 12$ — same as no parentheses at all

The answer is $(3 + 5) \times 2 - 1$ . Note the last line: parentheses around something that would have been computed first anyway change nothing.

Note

In some expressions, parentheses can't change the value no matter where you put them: $2 + 3 + 4$ makes $9$ whether you read it as $(2 + 3) + 4$ or $2 + (3 + 4)$ . That's no accident — it's a property addition has. Which operations have this property, and which don't, is exactly what the next lesson is about.

몸풀기Warm-up

배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

$9 - 4 + 2$ 의 값을 구하여라.

Evaluate $9 - 4 + 2$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

7

Answer ·

7

덧셈과 뺄셈은 같은 계급이므로 왼쪽부터 계산한다.

9 - 4 + 2 = 5 + 2 = 7.

$4 + 2$ 를 먼저 해서 $9 - 6 = 3$ 으로 만들면 틀린다.

Addition and subtraction share one rank, so work left to right:

9 - 4 + 2 = 5 + 2 = 7.

Adding first to get $9 - 6 = 3$ is wrong.

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

$6 + 2 \times 5$ 의 값을 구하여라.

Evaluate $6 + 2 \times 5$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

16

Answer ·

16

곱셈이 덧셈보다 먼저다.

6 + 2 \times 5 = 6 + 10 = 16.

앞에서부터 읽어 $8 \times 5 = 40$ 으로 계산하면 안 된다.

Multiplication outranks addition:

6 + 2 \times 5 = 6 + 10 = 16.

Reading left to right and computing $8 \times 5 = 40$ is not allowed.

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

$36 \div 6 \div 2$ 의 값을 구하여라.

Evaluate $36 \div 6 \div 2$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

3

Answer ·

3

같은 계급의 나눗셈 둘 — 왼쪽부터.

36 \div 6 \div 2 = 6 \div 2 = 3.

뒤의 $6 \div 2$ 를 먼저 해서 $36 \div 3 = 12$ 로 만들면 다른 식이 된다.

Two divisions, same rank — left to right:

36 \div 6 \div 2 = 6 \div 2 = 3.

Doing the second division first, $36 \div 3 = 12$ , computes a different expression.

문제Problem 4 몸풀기Warm-up

$4^2 - 3 \times 2$ 의 값을 구하여라.

Evaluate $4^2 - 3 \times 2$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

10

Answer ·

10

거듭제곱 먼저, 그다음 곱셈, 마지막에 뺄셈이다.

4^2 - 3 \times 2 = 16 - 3 \times 2 = 16 - 6 = 10.

$4^2 = 4 \times 4 = 16$ 이지 $4 \times 2 = 8$ 이 아니라는 것도 다시 확인해 두자.

Exponent first, then the multiplication, then the subtraction:

4^2 - 3 \times 2 = 16 - 3 \times 2 = 16 - 6 = 10.

And note again: $4^2 = 4 \times 4 = 16$ , not $4 \times 2 = 8$ .

핵심Core

이 차시의 목표 수준the target level for this lesson

문제Problem 5 핵심Core

$18 \div (7 - 4) + 2 \times 5$ 의 값을 구하여라.

Evaluate $18 \div (7 - 4) + 2 \times 5$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

16

Answer ·

16

괄호 → 곱셈·나눗셈(왼쪽부터) → 덧셈 순서다.

18 \div (7 - 4) + 2 \times 5 = 18 \div 3 + 2 \times 5 = 6 + 10 = 16.

검산: 각 단계에서 한 연산만 처리했는지 되짚는다 — 괄호( $3$ ), 나눗셈( $6$ ), 곱셈( $10$ ), 덧셈( $16$ ) ✓.

Parentheses, then multiplication/division left to right, then addition:

18 \div (7 - 4) + 2 \times 5 = 18 \div 3 + 2 \times 5 = 6 + 10 = 16.

Check: retrace one operation per step — parentheses ( $3$ ), division ( $6$ ), multiplication ( $10$ ), addition ( $16$ ) ✓.

문제Problem 6 핵심Core

$40 \div [\,2 \times (7 - 3)\,] + 1$ 의 값을 구하여라.

Evaluate $40 \div [\,2 \times (7 - 3)\,] + 1$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

6

Answer ·

6

가장 안쪽 괄호부터 바깥으로.

40 \div [\,2 \times (7 - 3)\,] + 1 = 40 \div [\,2 \times 4\,] + 1 = 40 \div 8 + 1 = 5 + 1 = 6.

검산: 대괄호를 풀지 않고 $40 \div 2 = 20$ 부터 하면 $20 \times 4$ 가 되어 완전히 다른 값이 나온다 — 괄호가 있으면 그 안이 통째로 하나의 수다.

Innermost grouping outward:

40 \div [\,2 \times (7 - 3)\,] + 1 = 40 \div [\,2 \times 4\,] + 1 = 40 \div 8 + 1 = 5 + 1 = 6.

Check: ignoring the brackets and starting with $40 \div 2 = 20$ would lead to $20 \times 4$ — a completely different value. A bracketed part acts as one single number.

문제Problem 7 핵심Core

$\dfrac{3 + 4 \times 3}{5}$ 의 값을 구하여라.

Evaluate $\dfrac{3 + 4 \times 3}{5}$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

3

Answer ·

3

분수 막대는 위층 전체를 묶는 숨은 괄호다. 위층부터 끝낸다:

3 + 4 \times 3 = 3 + 12 = 15.

따라서 전체는 $15 \div 5 = 3$ 이다.

검산: $3 \times 5 = 15$ 로 나눗셈을 되돌리면 위층 값과 일치한다 ✓.

The fraction bar is a hidden pair of parentheses around the whole top. Finish the top first:

3 + 4 \times 3 = 3 + 12 = 15.

Then the value is $15 \div 5 = 3$ .

Check: undoing the division, $3 \times 5 = 15$ matches the top ✓.

문제Problem 8 핵심Core

$2 \times 3^2$ 과 $(2 \times 3)^2$ 의 값을 각각 구하고, 두 값이 왜 다른지 한 문장으로 설명하여라.

Evaluate $2 \times 3^2$ and $(2 \times 3)^2$ , and explain in one sentence why they differ.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

2 \times 3^2 = 18

(2 \times 3)^2 = 36

Answer ·

2 \times 3^2 = 18

and

(2 \times 3)^2 = 36

$2 \times 3^2$ 에서는 거듭제곱이 곱셈보다 먼저이므로 $3^2 = 9$ 를 계산한 뒤 $2 \times 9 = 18$ 이다.

$(2 \times 3)^2$ 에서는 괄호가 가장 먼저이므로 $6^2 = 36$ 이다.

다른 이유: 첫 식에서 제곱되는 것은 $3$ 뿐이지만, 괄호를 치면 $2 \times 3$ 전체가 제곱된다.

검산: $(2 \times 3)^2 = 6 \times 6 = 36$ ✓, $2 \times 3^2 = 9 + 9 = 18$ ✓.

In $2 \times 3^2$ the exponent outranks the multiplication, so $3^2 = 9$ first, then $2 \times 9 = 18$ .

In $(2 \times 3)^2$ the parentheses come first, so it's $6^2 = 36$ .

Why they differ: in the first expression only the $3$ gets squared; the parentheses make the entire product $2 \times 3$ get squared.

Check: $(2 \times 3)^2 = 6 \times 6 = 36$ ✓ and $2 \times 3^2 = 9 + 9 = 18$ ✓.

문제Problem 9 핵심Core 서술형written response

지우는 $5 + 2 \times 6$ 을 이렇게 계산했다.

5 + 2 \times 6 = 7 \times 6 = 42

무엇이 잘못됐는지 설명하고, 옳은 값을 구하여라.

Jiwoo evaluated $5 + 2 \times 6$ like this:

5 + 2 \times 6 = 7 \times 6 = 42

Explain what went wrong, and find the correct value.

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

잘못은 첫 단계에 있다. 덧셈 $5 + 2$ 를 곱셈보다 먼저 계산했는데, 연산 순서에서 곱셈이 덧셈보다 높은 계급이므로 $2 \times 6$ 이 먼저다.

옳은 계산:

5 + 2 \times 6 = 5 + 12 = 17.

$2 \times 6$ 은 "6이 두 개"라는 한 덩어리이므로, 이 덩어리를 $12$ 로 뭉친 뒤에야 5와 더할 수 있다.

채점 기준. ① "덧셈을 곱셈보다 먼저 한 것이 잘못"을 짚으면 기본 점수. ② 옳은 값 $17$ 을 구하면 추가 점수. ③ 곱셈이 먼저인 이유(곱셈은 덧셈의 묶음)까지 설명하면 만점. 논리가 맞는 다른 설명도 만점.

The error is in the very first step: Jiwoo did the addition $5 + 2$ before the multiplication, but multiplication sits higher in the order of operations, so $2 \times 6$ must go first.

Correct computation:

5 + 2 \times 6 = 5 + 12 = 17.

The product $2 \times 6$ is one bundle — "two sixes" — and the bundle has to be collapsed to $12$ before anything can be added to it.

Grading guide. ① Identifying the mistake — addition done before multiplication: base credit. ② Correct value $17$ : more credit. ③ Explaining why multiplication goes first (it's bundled addition): full credit. Any other logically sound explanation also earns full credit.

도전Challenge

아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea

문제Problem 10 도전Challenge

식 $1 + 2 \times 3 + 4$ 에 괄호 한 쌍을 넣어 만들 수 있는 가장 큰 값을 구하여라.

One pair of parentheses is inserted into $1 + 2 \times 3 + 4$ . What is the largest value that can be produced?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

15

—

1 + 2 \times (3 + 4)

Answer ·

15

, from

1 + 2 \times (3 + 4)

괄호 없이 계산하면 $1 + 6 + 4 = 11$ 이다. 괄호 한 쌍이 들어갈 수 있는 자리를 전부 시험한다.

$(1 + 2) \times 3 + 4 = 9 + 4 = 13$
$1 + 2 \times (3 + 4) = 1 + 2 \times 7 = 1 + 14 = 15$
$(1 + 2 \times 3) + 4 = 7 + 4 = 11$ — 값 그대로
$(2 \times 3 + 4)$ , $(2 \times 3)$ 을 묶는 경우도 각각 $1 + 10 = 11$ , $1 + 6 + 4 = 11$ — 값 그대로
$(1 + 2 \times 3 + 4) = 11$ — 전체를 묶으면 당연히 그대로

가장 큰 값은 $\boxed{15}$ , 식은 $1 + 2 \times (3 + 4)$ 이다.

값이 바뀌는 경우는 괄호가 원래 순서를 거스를 때뿐이라는 것도 관찰해 두자 — 덧셈을 곱셈보다 먼저 하게 만드는 두 자리( $1+2$ , $3+4$ )만 새 값을 만들었다.

Without parentheses the value is $1 + 6 + 4 = 11$ . Test every possible placement of one pair.

$(1 + 2) \times 3 + 4 = 9 + 4 = 13$
$1 + 2 \times (3 + 4) = 1 + 2 \times 7 = 1 + 14 = 15$
$(1 + 2 \times 3) + 4 = 7 + 4 = 11$ — unchanged
wrapping $(2 \times 3 + 4)$ or $(2 \times 3)$ gives $1 + 10 = 11$ and $1 + 6 + 4 = 11$ — unchanged
$(1 + 2 \times 3 + 4) = 11$ — wrapping everything changes nothing

The largest value is $\boxed{15}$ , from $1 + 2 \times (3 + 4)$ .

Notice which placements moved the value: only the ones that overrule the normal order — forcing an addition ( $1+2$ or $3+4$ ) to happen before the multiplication.

문제Problem 11 도전Challenge

숫자 $4$ 를 네 번 쓰고, 곱셈 기호 두 개와 뺄셈 기호 한 개를 (괄호 없이) 모두 사용하여 값이 $60$ 이 되는 식을 만들어라.

Using the digit $4$ four times, two multiplication signs, and one subtraction sign — all of them, with no parentheses — write an expression whose value is $60$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

4 \times 4 \times 4 - 4 = 60

Answer ·

4 \times 4 \times 4 - 4 = 60

4 \times 4 \times 4 - 4 = 64 - 4 = 60.

곱셈이 뺄셈보다 먼저이므로 괄호가 없어도 $64$ 에서 $4$ 를 빼는 식으로 읽힌다.

기호 배치가 다른 경우도 확인해 보면 — $4 \times 4 - 4 \times 4 = 16 - 16 = 0$ 이고, $4 - 4 \times 4 \times 4$ 는 $4$ 에서 $64$ 를 빼야 하므로 $0$ 보다 작아진다. $60$ 을 만드는 배치는 $4 \times 4 \times 4 - 4$ 뿐이다.

4 \times 4 \times 4 - 4 = 64 - 4 = 60.

Multiplication outranks subtraction, so even without parentheses this reads as $64$ minus $4$ .

Checking the other arrangements: $4 \times 4 - 4 \times 4 = 16 - 16 = 0$ , and $4 - 4 \times 4 \times 4$ asks for $64$ taken from $4$ , which lands below zero. Only $4 \times 4 \times 4 - 4$ makes $60$ .

경시Contest

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문제Problem 12 경시Contest

식 $1 \ \square \ 2 \ \square \ 3 \ \square \ 4$ 의 세 $\square$ 에 $+$ 또는 $\times$ 를 하나씩 넣는다(같은 기호를 여러 번 써도 된다). 식의 값이 $10$ 이 되는 방법은 모두 몇 가지인가?

Each $\square$ in $1 \ \square \ 2 \ \square \ 3 \ \square \ 4$ is filled with $+$ or $\times$ (repeats allowed). In how many ways can the resulting expression equal $10$ ?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

2

가지

Answer ·

2

ways

$\square$ 마다 2가지씩, 모두 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 가지뿐이므로 전부 계산한다. 곱셈 먼저!

식	값
$1 + 2 + 3 + 4$	$10$ ✓
$1 + 2 + 3 \times 4$	$1 + 2 + 12 = 15$
$1 + 2 \times 3 + 4$	$1 + 6 + 4 = 11$
$1 + 2 \times 3 \times 4$	$1 + 24 = 25$
$1 \times 2 + 3 + 4$	$2 + 3 + 4 = 9$
$1 \times 2 + 3 \times 4$	$2 + 12 = 14$
$1 \times 2 \times 3 + 4$	$6 + 4 = 10$ ✓
$1 \times 2 \times 3 \times 4$	$24$

값이 $10$ 이 되는 것은 $1 + 2 + 3 + 4$ 와 $1 \times 2 \times 3 + 4$ 의 2가지다.

여덟 경우가 전부라는 것(빠짐없음)과 각 값 계산(곱셈 먼저)이 이 문제의 두 관문이다.

There are only $2 \times 2 \times 2 = 8$ choices, so compute them all — multiplication first!

Expression	Value
$1 + 2 + 3 + 4$	$10$ ✓
$1 + 2 + 3 \times 4$	$1 + 2 + 12 = 15$
$1 + 2 \times 3 + 4$	$1 + 6 + 4 = 11$
$1 + 2 \times 3 \times 4$	$1 + 24 = 25$
$1 \times 2 + 3 + 4$	$2 + 3 + 4 = 9$
$1 \times 2 + 3 \times 4$	$2 + 12 = 14$
$1 \times 2 \times 3 + 4$	$6 + 4 = 10$ ✓
$1 \times 2 \times 3 \times 4$	$24$

Two expressions hit $10$ : $1 + 2 + 3 + 4$ and $1 \times 2 \times 3 + 4$ . So the answer is $2$ .

The two gates in this problem: making sure the eight cases are all the cases, and evaluating each one with multiplication first.

문제Problem 13 경시Contest

다음 식의 값을 구하여라.

100 - 98 + 96 - 94 + 92 - 90 + \cdots + 4 - 2

( $100$ 부터 $2$ 까지의 짝수가 큰 것부터 차례로 나오고, 기호는 $-$ 와 $+$ 가 번갈아 나온다.)

Evaluate

100 - 98 + 96 - 94 + 92 - 90 + \cdots + 4 - 2

(the even numbers from $100$ down to $2$ , with the signs alternating $-$ , $+$ ).

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

50

Answer ·

50

앞에서부터 계산하며 어떤 값이 쌓이는지 관찰한다.

100 - 98 = 2,\quad 2 + 96 = 98,\quad 98 - 94 = 4,\quad 4 + 92 = 96,\quad 96 - 90 = 6,\ \ldots

뺄셈이 끝날 때마다 값이 $2, 4, 6, \ldots$ 으로 2씩 늘어난다. 이웃한 두 수씩 짝을 지으면 이유가 보인다:

(100 - 98) + (96 - 94) + (92 - 90) + \cdots + (4 - 2)

— 각 짝의 값이 정확히 $2$ 다. $100$ 부터 $2$ 까지 짝수는 $50$ 개이므로 짝은 $25$ 개이고, 값은

2 \times 25 = 50.

검산: 작은 경우로 확인 — $8 - 6 + 4 - 2$ 를 앞에서부터 계산하면 $2, 6, 4$ 로 끝값 $4$ , 짝짓기로도 $(8-6)+(4-2) = 2 + 2 = 4$ ✓ (짝 2개 × 2).

Compute from the left and watch the running total:

100 - 98 = 2,\quad 2 + 96 = 98,\quad 98 - 94 = 4,\quad 4 + 92 = 96,\quad 96 - 90 = 6,\ \ldots

After each subtraction the total reads $2, 4, 6, \ldots$ — it grows by 2. Pairing neighbors shows why:

(100 - 98) + (96 - 94) + (92 - 90) + \cdots + (4 - 2)

— every pair is worth exactly $2$ . There are $50$ even numbers from $100$ down to $2$ , hence $25$ pairs, and the value is

2 \times 25 = 50.

Check with a small case: $8 - 6 + 4 - 2$ , computed left to right, runs $2, 6, 4$ and ends at $4$ ; pairing gives $(8-6)+(4-2) = 2 + 2 = 4$ ✓ (2 pairs × 2).