절댓값 방정식과 부등식Absolute Value Equations & Inequalities

Algebra 1Algebra 1 · 1. 대수의 언어와 방정식1. The Language of Algebra & Equations

학습 목표

절댓값을 "0으로부터의 거리"로 이해하고, 식으로 된 정의도 다룰 수 있다.
$|A| = c$ 꼴 방정식을 경우를 나누어 풀고, 해가 없는 경우를 판별한다.
$|A| < c$ , $|A| > c$ 꼴 부등식을 외우지 않고 거리로 이해해서 푼다.
$|a - b|$ 를 두 수 사이의 거리로 읽는다 — 경시 문제의 단골 관점.

절댓값은 거리다

한 수의 절댓값은 수직선에서 0까지의 거리다. $-4$ 도 $4$ 도 0에서 4만큼 떨어져 있으므로 $|-4| = |4| = 4$ 이다. 거리는 방향이 없으므로 절댓값은 절대 음수가 되지 않는다.

수직선에서 −4와 4는 모두 0에서 거리 4만큼 떨어져 있다.

이 그림 한 장이 이번 차시의 전부라고 해도 과장이 아니다. 절댓값이 들어간 방정식과 부등식은 전부 "거리가 얼마인 수는 어디에 있는가"라는 질문으로 번역되고, 그 답은 그림에서 바로 보인다.

식으로 쓰면 다음과 같다.

정의절댓값

|x| = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}

$x$ 가 0 이상이면 그대로, 음수이면 부호를 바꾼 값이다.

주의

둘째 줄의 $-x$ 를 보고 "절댓값이 음수가 될 수도 있네?"라고 읽으면 안 된다. $x$ 가 음수일 때 $-x$ 는 양수다. $x = -4$ 이면 $-x = 4$ . 기호 $-x$ 는 "음수"가 아니라 " $x$ 의 부호를 뒤집은 수"라는 뜻이다 — 이 오해가 절댓값에서 나오는 오답의 절반을 만든다.

정의에서 바로 나오는 성질 두 가지도 짚어 두자. 첫째, $|-a| = |a|$ — $a$ 와 $-a$ 는 0에서 같은 거리에 있다. 둘째, $|a| \geq 0$ — 거리는 음수가 없다. 이 둘째 성질이 아래에서 "해가 없는" 경우를 만들어 낸다.

절댓값 방정식: 거리로 번역하라

$|x| = 5$ 는 "0에서 거리가 5인 수"를 찾으라는 뜻이다. 그런 수는 $5$ 와 $-5$ 두 개다. 일반화하면:

|A| = c \ (c > 0) \iff A = c \ \text{또는} \ A = -c

$c = 0$ 이면 $A = 0$ 하나뿐이고, $c < 0$ 이면 해가 없다 — 거리가 음수인 수는 없다.

예제 1 · 기본형

$|2x - 3| = 7$ 을 풀어라.

풀이. $2x - 3$ 이라는 양이 0에서 거리 7에 있다는 뜻이므로

2x - 3 = 7 \quad \text{또는} \quad 2x - 3 = -7.

앞의 식에서 $2x = 10$ , $x = 5$ . 뒤의 식에서 $2x = -4$ , $x = -2$ .

검산: $x = 5$ 이면 $|10 - 3| = |7| = 7$ ✓. $x = -2$ 이면 $|-4 - 3| = |-7| = 7$ ✓.

따라서 해는 $x = 5$ 또는 $x = -2$ 이다.

주의

절댓값 방정식은 해가 두 개인 것이 기본이다. $x = 5$ 만 쓰고 끝내는 것이 가장 흔한 실수다. 그리고 두 해 모두 검산할 것 — 특히 음수 쪽 검산에서 $|-7| = 7$ 을 확인하는 순간이 절댓값을 제대로 이해했는지 확인하는 순간이다.

예제 2 · 먼저 절댓값을 고립시켜라

$2|x + 1| - 3 = 5$ 를 풀어라.

풀이. 절댓값 기호를 먼저 혼자 남겨야 한다. 양변에 3을 더하고 2로 나누면

|x + 1| = 4.

따라서 $x + 1 = 4$ 또는 $x + 1 = -4$ , 즉 $x = 3$ 또는 $x = -5$ 이다.

검산: $x = 3$ 이면 $2|4| - 3 = 8 - 3 = 5$ ✓. $x = -5$ 이면 $2|-4| - 3 = 8 - 3 = 5$ ✓.

절댓값을 고립시켰더니 $|x - 1| = -1$ 처럼 우변이 음수가 되면 그 자리에서 끝이다 — 해가 없다. 경우를 나누기 전에 우변의 부호부터 보는 습관을 들이자.

절댓값 부등식: 안쪽이냐 바깥쪽이냐

부등식도 거리로 번역하면 공식이 필요 없다.

$|x| < 3$ — "0에서 거리가 3 미만인 수". 즉 $-3$ 과 $3$ 사이다:

-3 < x < 3.

거리가 3 미만: −3과 3 사이 구간. 경계는 빈 원.

$|x| > 3$ — "0에서 거리가 3 초과인 수". $3$ 보다 오른쪽이거나 $-3$ 보다 왼쪽이다:

x < -3 \quad \text{또는} \quad x > 3.

거리가 3 초과: −3 왼쪽과 3 오른쪽의 두 반직선.

요약하면 **"작다"는 사이(구간 하나), "크다"는 바깥(반직선 둘)**이다. 외우려 하지 말고, 매번 수직선을 3초만 떠올리면 방향을 헷갈릴 수가 없다.

예제 3 · 사이형

$|x - 1| \leq 4$ 를 풀어라.

풀이. 거리로 읽으면 " $x$ 는 1에서 거리 4 이하"이므로 1을 중심으로 좌우 4만큼: $1 - 4 = -3$ 부터 $1 + 4 = 5$ 까지다. 식으로 풀어도 같다:

-4 \leq x - 1 \leq 4

세 부분에 1을 더하면 $-3 \leq x \leq 5$ 이다.

검산: $x = 1$ (중심)이면 $|0| = 0 \leq 4$ ✓. 경계 $x = 5$ 이면 $|4| = 4 \leq 4$ ✓(포함). $x = 6$ 이면 $|5| = 5 \leq 4$ 거짓 ✓.

따라서 해는 $-3 \leq x \leq 5$ 이다.

예제 4 · 바깥형

$|2x + 1| > 5$ 를 풀어라.

풀이. $2x + 1$ 이 0에서 거리 5 초과이므로

2x + 1 > 5 \quad \text{또는} \quad 2x + 1 < -5.

앞에서 $2x > 4$ , $x > 2$ . 뒤에서 $2x < -6$ , $x < -3$ .

검산: $x = 3$ 이면 $|7| = 7 > 5$ ✓. $x = -4$ 이면 $|-7| = 7 > 5$ ✓. 사이의 값 $x = 0$ 이면 $|1| = 1 > 5$ 거짓 ✓ — 두 반직선 사이가 해가 아님을 확인했다.

따라서 해는 $x < -3$ 또는 $x > 2$ 이다.

주의

바깥형을 $-5 > 2x + 1 > 5$ 처럼 한 줄로 쓰면 안 된다. 이 표기는 " $-5 > 5$ "를 포함하는 모순이다. "또는"으로 연결된 두 부등식은 반드시 두 줄(혹은 "또는"이라는 말)로 쓴다.

두 수 사이의 거리

$|a - b|$ 는 수직선에서 $a$ 와 $b$ 사이의 거리다. $|7 - 3| = 4$ 이고 $|3 - 7| = |-4| = 4$ — 어느 쪽에서 재도 같다. 이 관점이 생기면 절댓값 식이 문장처럼 읽힌다.

$|x - 2| = 7$ : " $x$ 는 2에서 거리 7" → $x = 9$ 또는 $x = -5$ .
$|x - 50| \leq 0.5$ : " $x$ 는 50에서 0.5 이내" → $49.5 \leq x \leq 50.5$ . 공장에서 길이 50mm 부품에 오차 0.5mm를 허용한다는 말을 식 하나로 쓴 것이다.

참고

경시에서 절댓값은 거의 항상 거리로 등장한다. 예를 들어 " $|x - 2| + |x - 6|$ 의 최솟값은?"이라는 문제는 "2까지의 거리와 6까지의 거리의 합이 가장 작은 지점은?"으로 읽는 순간 계산 없이 풀린다 — 문제 탭 마지막에서 직접 확인해 보자.

Goals

Understand absolute value as "distance from 0," and handle the algebraic definition too.
Solve equations of the form $|A| = c$ by cases, and recognize when there is no solution.
Solve $|A| < c$ and $|A| > c$ inequalities by thinking in distances, not by memorized rules.
Read $|a - b|$ as the distance between two numbers — a favorite viewpoint in contest problems.

Absolute value is a distance

The absolute value of a number is its distance from 0 on the number line. Both $-4$ and $4$ sit 4 units from 0, so $|-4| = |4| = 4$ . Distance has no direction, so an absolute value is never negative.

On the number line, −4 and 4 are both at distance 4 from 0.

It is barely an exaggeration to say this one picture is the whole lesson. Every absolute value equation and inequality translates into the question "which numbers are at such-and-such a distance?" — and the answer can be read straight off the line.

In symbols, the definition looks like this:

DefinitionAbsolute value

|x| = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}

Keep the number if it's already 0 or positive; flip its sign if it's negative.

Watch out

Don't read the $-x$ in the second line as "absolute value can be negative." When $x$ is negative, $-x$ is positive: if $x = -4$ , then $-x = 4$ . The symbol $-x$ means "the sign-flip of $x$ ," not "a negative number." This single misreading produces about half of all absolute value mistakes.

Two properties fall straight out of the definition. First, $|-a| = |a|$ — a number and its opposite are equally far from 0. Second, $|a| \geq 0$ — distances are never negative. That second fact is what creates the "no solution" cases below.

Absolute value equations: translate into distance

$|x| = 5$ asks: which numbers are at distance 5 from 0? There are two: $5$ and $-5$ . In general:

|A| = c \ (c > 0) \iff A = c \ \text{or} \ A = -c

If $c = 0$ the only solution is $A = 0$ , and if $c < 0$ there is no solution — nothing has negative distance.

Example 1 · The basic form

Solve $|2x - 3| = 7$ .

Solution. The quantity $2x - 3$ is at distance 7 from 0, so

2x - 3 = 7 \quad \text{or} \quad 2x - 3 = -7.

The first gives $2x = 10$ , so $x = 5$ . The second gives $2x = -4$ , so $x = -2$ .

Check: $x = 5$ gives $|10 - 3| = |7| = 7$ ✓, and $x = -2$ gives $|-4 - 3| = |-7| = 7$ ✓.

Therefore the solutions are $x = 5$ and $x = -2$ .

Watch out

An absolute value equation normally has two solutions. Writing $x = 5$ and stopping is the most common error of all. And check both solutions — the moment you verify $|-7| = 7$ on the negative branch is the moment you know you truly get absolute value.

Example 2 · Isolate the absolute value first

Solve $2|x + 1| - 3 = 5$ .

Solution. Get the absolute value alone first. Adding 3 to both sides and dividing by 2:

|x + 1| = 4.

So $x + 1 = 4$ or $x + 1 = -4$ , giving $x = 3$ or $x = -5$ .

Check: $x = 3$ gives $2|4| - 3 = 8 - 3 = 5$ ✓, and $x = -5$ gives $2|-4| - 3 = 8 - 3 = 5$ ✓.

If isolating leaves something like $|x - 1| = -1$ , you are done on the spot: no solution. Make it a habit to look at the sign of the right side before splitting into cases.

Absolute value inequalities: inside or outside

Inequalities also translate into distance, and then no formula is needed.

$|x| < 3$ — "numbers at distance less than 3 from 0." That's everything between $-3$ and $3$ :

-3 < x < 3.

Distance less than 3: the segment between −3 and 3, with open circles at the boundaries.

$|x| > 3$ — "numbers at distance more than 3 from 0." That's everything to the right of 3, together with everything to the left of $-3$ :

x < -3 \quad \text{or} \quad x > 3.

Distance greater than 3: two rays, left of −3 and right of 3.

In short: "less than" means between (one segment); "greater than" means outside (two rays). Don't memorize it — spend three seconds picturing the number line each time and the direction can't go wrong.

Example 3 · The between type

Solve $|x - 1| \leq 4$ .

Solution. Read as distance: " $x$ is within 4 of 1," so it runs from $1 - 4 = -3$ to $1 + 4 = 5$ . The algebra says the same:

-4 \leq x - 1 \leq 4,

and adding 1 to all three parts gives $-3 \leq x \leq 5$ .

Check: the center $x = 1$ gives $|0| = 0 \leq 4$ ✓. The boundary $x = 5$ gives $|4| = 4 \leq 4$ ✓ (included). And $x = 6$ gives $|5| = 5 \leq 4$ , false ✓.

Therefore the solution is $-3 \leq x \leq 5$ .

Example 4 · The outside type

Solve $|2x + 1| > 5$ .

Solution. The quantity $2x + 1$ is at distance more than 5 from 0:

2x + 1 > 5 \quad \text{or} \quad 2x + 1 < -5.

The first gives $2x > 4$ , so $x > 2$ . The second gives $2x < -6$ , so $x < -3$ .

Check: $x = 3$ gives $|7| = 7 > 5$ ✓; $x = -4$ gives $|-7| = 7 > 5$ ✓; and a value in the gap, $x = 0$ , gives $|1| = 1 > 5$ , false ✓ — confirming the middle is not part of the solution.

Therefore the solution is $x < -3$ or $x > 2$ .

Watch out

Never write the outside type as one chain like $-5 > 2x + 1 > 5$ — that chain claims $-5 > 5$ , a contradiction. Two inequalities joined by "or" must stay as two statements.

The distance between two numbers

$|a - b|$ is the distance between $a$ and $b$ on the number line. $|7 - 3| = 4$ and $|3 - 7| = |-4| = 4$ — measured from either end, it's the same. Once you have this lens, absolute value expressions read like sentences.

$|x - 2| = 7$ : " $x$ is at distance 7 from 2" → $x = 9$ or $x = -5$ .
$|x - 50| \leq 0.5$ : " $x$ is within 0.5 of 50" → $49.5 \leq x \leq 50.5$ . That's a factory tolerance — a 50 mm part allowed to be off by half a millimeter — written as a single inequality.

Note

In competitions, absolute value almost always appears as distance. A problem like "find the minimum of $|x - 2| + |x - 6|$ " dissolves the moment you read it as "where is the total distance to 2 and to 6 smallest?" — no computation required. You'll meet exactly this at the end of the Problems tab.

절댓값 방정식과 부등식Absolute Value Equations & Inequalities

절댓값은 거리다

절댓값 방정식: 거리로 번역하라

절댓값 부등식: 안쪽이냐 바깥쪽이냐

두 수 사이의 거리

Absolute value is a distance

Absolute value equations: translate into distance

Absolute value inequalities: inside or outside

The distance between two numbers

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