기울기Slope

순서를 바꿔 재도 $\dfrac{2 - 11}{1 - 4} = \dfrac{-9}{-3} = 3$으로 같다.

Swapping the points gives $\dfrac{2 - 11}{1 - 4} = \dfrac{-9}{-3} = 3$ — the same.

두 점의 $y$좌표가 같으므로 이 직선은 수평선이고, 수평선의 기울기는 0이다. "기울기가 없다"가 아니라 0이라는 값이 있다는 것에 주의.

The $y$-coordinates match, so the line is horizontal, and a horizontal line's slope is 0. Not "no slope" — the value 0.

표시된 두 점 $(0, -1)$과 $(4, 2)$를 읽어 공식에 넣으면

그림에서 직접 세어도 된다: $(0, -1)$에서 오른쪽으로 4, 위로 3 가면 $(4, 2)$다.

Reading the marked points $(0, -1)$ and $(4, 2)$:

Or count on the grid: from $(0, -1)$, going right 4 and up 3 lands on $(4, 2)$.

공식에 넣으면 분모가 $3 - 3 = 0$이 된다. 0으로는 나눌 수 없으므로 기울기는 정의되지 않는다.

두 점의 $x$좌표가 같으니 이 직선은 $x = 3$이라는 수직선이다. 기울기가 0인 것(수평선)과 혼동하지 말 것.

The formula's denominator is $3 - 3 = 0$, and division by zero is impossible, so the slope is undefined.

The points share the $x$-coordinate 3, so the line is the vertical line $x = 3$. Don't confuse this with slope 0, which belongs to horizontal lines.

검산: 순서를 바꾸면 $\dfrac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \dfrac{12}{-6} = -2$. 같다. 부호가 음수이므로 오른쪽으로 갈수록 내려가는 직선이다 — $y$가 $7$에서 $-5$로 줄었으니 그림과도 맞는다.

Check by swapping: $\dfrac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \dfrac{12}{-6} = -2$. Same. The negative sign says the line falls to the right — consistent with $y$ dropping from $7$ to $-5$.

기울기를 $b$로 나타내면

이고, 이것이 $\dfrac{1}{2}$과 같아야 하므로 $\dfrac{b-5}{4} = \dfrac{1}{2}$이다. 양변에 4를 곱하면 $b - 5 = 2$, 즉 $b = 7$이다.

검산: $(2, 5)$와 $(6, 7)$의 기울기는 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. 맞는다.

Writing the slope in terms of $b$:

which must equal $\dfrac{1}{2}$. So $\dfrac{b-5}{4} = \dfrac{1}{2}$; multiplying both sides by 4 gives $b - 5 = 2$, so $b = 7$.

Check: the slope through $(2, 5)$ and $(6, 7)$ is $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Correct.

두 점씩 골라 기울기를 재 보자. 기울기가 같다는 것만으로 충분한가? 두 조각이 공유하는 점이 있는지도 말해야 한다.

Measure slopes between pairs of points. Is "the slopes are equal" enough on its own? Say something about a shared point, too.

$A$, $B$를 잇는 직선의 기울기는 $\dfrac{-1 - (-5)}{1 - (-1)} = \dfrac{4}{2} = 2$이고, $B$, $C$를 잇는 직선의 기울기는 $\dfrac{5 - (-1)}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$이다.

두 기울기가 같고, 두 선분이 점 $B$를 공유하므로 같은 직선 위에 있다. 따라서 세 점은 한 직선 위에 있다.

채점 기준. 기울기 두 개를 정확히 계산(각 1점), "기울기가 같다"에서 멈추지 않고 공통점 $B$를 언급하며 결론(1점). 공유하는 점 언급이 왜 필요한가: 기울기가 같아도 서로 다른 평행선일 수 있기 때문이다 — 세 점이 아니라 네 점이라면 실제로 그런 일이 생긴다.

The slope from $A$ to $B$ is $\dfrac{-1 - (-5)}{1 - (-1)} = \dfrac{4}{2} = 2$, and the slope from $B$ to $C$ is $\dfrac{5 - (-1)}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.

The slopes agree, and the two segments share the point $B$, so they lie along the same line. Therefore the three points are collinear.

Grading notes. One point for each correct slope; one for closing the argument via the shared point $B$ rather than stopping at "the slopes are equal." Why the shared point matters: equal slopes alone could belong to two different parallel lines — with four points instead of three, exactly that can happen.

표시된 두 점 $(-3, 4)$와 $(3, -4)$를 읽으면

오른쪽 아래로 떨어지는 직선이니 음수 — 부호부터 그림과 맞는지 확인하는 습관이 좋다. 답을 $-\frac{8}{6}$으로 두지 말고 끝까지 약분한다.

Reading the marked points $(-3, 4)$ and $(3, -4)$:

The line falls to the right, so a negative slope is exactly what the picture promises — checking the sign against the graph first is a good habit. And reduce: don't leave the answer as $-\frac{8}{6}$.

단위부터 통일하자(6.6m = 660cm). 기울기는 수평거리에 대한 높이의 비다.

Unify units first (6.6 m = 660 cm). Slope here is height over horizontal run.

(1) 높이 60cm, 수평거리 660cm이므로 기울기는

$\dfrac{1}{11}$과 $\dfrac{1}{12}$은 분자가 같으므로 분모가 작은 $\dfrac{1}{11}$이 더 크다. 즉 기울기가 표준보다 가파르다. 만족하지 않는다.

(2) 수평거리를 $x$cm라 하면 조건은

$x$는 양수이므로 양변에 $12x$를 곱해도 부등호가 유지된다: $720 \leq x$. 최소 수평거리는 720cm, 곧 7.2m다.

검산: $\frac{60}{720} = \frac{1}{12}$로 표준에 딱 맞고, 그보다 짧은 700cm면 $\frac{60}{700} = \frac{3}{35} > \frac{1}{12}$ ($3 \times 12 = 36 > 35$)로 초과한다.

(1) With height 60 cm and run 660 cm, the slope is

Comparing $\dfrac{1}{11}$ and $\dfrac{1}{12}$: same numerator, smaller denominator wins, so $\dfrac{1}{11}$ is larger — the ramp is steeper than the standard allows. It does not comply.

(2) Let $x$ be the run in cm. The requirement is

Since $x$ is positive, multiplying both sides by $12x$ keeps the direction: $720 \leq x$. The minimum run is 720 cm — that is, 7.2 m.

Check: $\frac{60}{720} = \frac{1}{12}$ exactly meets the standard, while a shorter 700 cm gives $\frac{60}{700} = \frac{3}{35} > \frac{1}{12}$ (since $3 \times 12 = 36 > 35$), which is too steep.

기울기를 $k$의 식으로 써 보자. $k$가 들어 있어도 공식은 똑같이 작동한다.

Write the slope as an expression in $k$ — the formula works the same with a letter inside.

기울기를 공식대로 쓰면

이것이 4와 같아야 하므로 $\dfrac{k}{3} = 4$, 즉 $k = 12$이다.

검산: $k = 12$이면 $A(2, 12)$, $B(5, 24)$이고 기울기는 $\dfrac{24 - 12}{5 - 2} = \dfrac{12}{3} = 4$. 맞는다.

By the formula,

and this must equal 4, so $\dfrac{k}{3} = 4$ and $k = 12$.

Check: with $k = 12$, the points are $A(2, 12)$ and $B(5, 24)$, and the slope is $\dfrac{24 - 12}{5 - 2} = \dfrac{12}{3} = 4$. Correct.

평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 변이 각각 평행한 사각형이다. 네 변 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$의 기울기를 모두 구해 비교하자.

A parallelogram is a quadrilateral whose two pairs of opposite sides are parallel. Compute the slopes of all four sides $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ and compare.

네 변의 기울기를 각각 구한다.

$AB$와 $DC$는 기울기가 $\frac{1}{5}$로 같고 서로 다른 선분이므로 평행하다. $AD$와 $BC$도 기울기가 3으로 같아 평행하다. 마주 보는 두 쌍의 변이 각각 평행하므로 $ABCD$는 평행사변형이다.

채점 기준. 네 기울기 계산(2점), 마주 보는 변끼리 짝지어 비교하고 결론(2점). $AB$와 $BC$처럼 이웃한 변을 비교하는 것은 평행 판정과 무관하다는 점에 주의. 변 대신 대각선의 중점이 일치함($AC$의 중점 $= BD$의 중점 $= (3, 2)$)을 보이는 풀이도 완벽한 답이다.

Compute the slope of each side:

$AB$ and $DC$ have equal slopes $\frac{1}{5}$ and are distinct segments, so they are parallel; likewise $AD$ and $BC$ share slope 3. Both pairs of opposite sides are parallel, so $ABCD$ is a parallelogram.

Grading notes. Two points for the four slopes, two for pairing opposite sides and concluding. Comparing adjacent sides like $AB$ and $BC$ says nothing about parallelism. An alternative full-credit proof: the diagonals share a midpoint (midpoint of $AC$ = midpoint of $BD$ = $(3, 2)$).

먼저 직선의 기울기를 구하고, $x = 1, 2, 3, \ldots, 7$일 때 $y$가 어떻게 되는지 살펴보자.

Find the slope first, then track what $y$ does as $x$ runs through $1, 2, 3, \ldots, 7$.

기울기는 $\dfrac{25 - 1}{7 - 1} = \dfrac{24}{6} = 4$이다. 점 $(1, 1)$에서 출발해 $x$가 1씩 늘 때마다 $y$는 4씩 늘어나므로, 선분 위의 점들은

기울기가 정수라서 $x$가 정수인 지점마다 $y$도 정수가 되고, 그 밖의 점에서는 $x$ 자체가 정수가 아니다. 따라서 정수 좌표점은 모두 7개다.

검산: 나열한 점들이 실제로 직선 $y = 4x - 3$ 위에 있는지 하나만 확인해 보면, $(5, 17)$에서 $4 \times 5 - 3 = 17$ ✓.

일반화해 두면 좋은 사실: 두 정수 좌표점을 잇는 선분 위의 정수 좌표점 개수(양 끝 포함)는 $\gcd(|\Delta x|, |\Delta y|) + 1$이다. 여기서는 $\gcd(6, 24) + 1 = 6 + 1 = 7$ — 같은 답이 나온다. AMC에 반복해서 나오는 도구다.

The slope is $\dfrac{25 - 1}{7 - 1} = \dfrac{24}{6} = 4$. Starting at $(1, 1)$, each step of 1 in $x$ raises $y$ by 4, so the lattice points along the segment are

Because the slope is an integer, every integer $x$ gives an integer $y$, and any other point on the segment has a non-integer $x$. So there are 7 lattice points.

Check: these points should satisfy $y = 4x - 3$; testing $(5, 17)$: $4 \times 5 - 3 = 17$ ✓.

Worth generalizing: the number of lattice points on a segment between two lattice points, endpoints included, is $\gcd(|\Delta x|, |\Delta y|) + 1$. Here that's $\gcd(6, 24) + 1 = 6 + 1 = 7$ — same answer. The AMC leans on this tool again and again.

앞의 두 점만으로 직선이 완전히 정해진다. 나머지 두 점은 그 직선 위에 있어야 한다 — 멀리 있는 $(50, 101)$로 직선이 맞는지 검증까지 해 보자.

The first two points already determine the line completely. The other two must live on it — use the faraway $(50, 101)$ to verify the line before trusting it.

$(1, 3)$과 $(2, 5)$에서 기울기는 $\dfrac{5 - 3}{2 - 1} = 2$이다. $(1, 3)$에서 $x$가 1 늘 때마다 $y$가 2씩 느는 직선이므로 식은 $y = 2x + 1$이다. ($x = 1$일 때 $3$ ✓)

이 직선이 정말 네 점 모두의 직선인지 멀리 있는 점으로 확인: $x = 50$이면 $y = 2 \times 50 + 1 = 101$ ✓ — 문제의 조건과 맞는다.

따라서 $a = 2 \times 3 + 1 = 7$이다.

검산: $(2, 5)$와 $(3, 7)$의 기울기 $\frac{2}{1} = 2$, $(3, 7)$과 $(50, 101)$의 기울기 $\frac{94}{47} = 2$. 모두 같다.

From $(1, 3)$ and $(2, 5)$, the slope is $\dfrac{5 - 3}{2 - 1} = 2$. Rising 2 per unit step from $(1, 3)$, the line is $y = 2x + 1$ (at $x = 1$ it gives 3 ✓).

Verify with the distant point: at $x = 50$, $y = 2 \times 50 + 1 = 101$ ✓ — consistent with the problem.

Therefore $a = 2 \times 3 + 1 = 7$.

Check: the slope from $(2, 5)$ to $(3, 7)$ is $\frac{2}{1} = 2$, and from $(3, 7)$ to $(50, 101)$ it's $\frac{94}{47} = 2$. All equal.