일차부등식Linear Inequalities

양변에서 7을 빼면 $x < 5$이다.

검산: $x = 0$이면 $7 < 12$ 참, $x = 5$(경계)이면 $12 < 12$ 거짓. 경계 제외가 맞다.

Subtracting 7 from both sides gives $x < 5$.

Check: $x = 0$ gives $7 < 12$, true; the boundary $x = 5$ gives $12 < 12$, false — correctly excluded.

양변을 양수 3으로 나누면 $x \geq -4$이다. 양수로 나눴으므로 부등호는 그대로다.

검산: $x = 0$이면 $0 \geq -12$ 참, $x = -4$(경계)이면 $-12 \geq -12$ 참. 경계 포함이 맞다.

Dividing both sides by the positive number 3 gives $x \geq -4$ — no flip, since 3 is positive.

Check: $x = 0$ gives $0 \geq -12$, true; the boundary $x = -4$ gives $-12 \geq -12$, true — correctly included.

양변에서 5를 빼면 $-x > -3$이고, 양변에 $-1$을 곱하면 — 부등호가 뒤집혀서 — $x < 3$이다.

(양변에서 2를 빼고 $x$를 더해 $3 > x$로 읽어도 같은 답이다. 음수 나눗셈을 피하고 싶을 때 쓸 수 있는 요령이다.)

검산: $x = 0$이면 $5 > 2$ 참, $x = 3$(경계)이면 $2 > 2$ 거짓. 맞다.

Subtracting 5 from both sides gives $-x > -3$; multiplying both sides by $-1$ — flipping the sign — gives $x < 3$.

(Alternatively, subtract 2 and add $x$ to both sides to get $3 > x$: same answer, and no negative division at all. A handy dodge.)

Check: $x = 0$ gives $5 > 2$, true; the boundary $x = 3$ gives $2 > 2$, false. Correct.

양변에서 $2x$를 빼면 $2x - 9 \leq 5$, 양변에 9를 더하면 $2x \leq 14$, 양수 2로 나누면 $x \leq 7$이다.

검산: $x = 0$이면 $-9 \leq 5$ 참, $x = 8$이면 $23 \leq 21$ 거짓, $x = 7$(경계)이면 $19 \leq 19$ 참. 세 지점 모두 맞다.

Subtracting $2x$ from both sides gives $2x - 9 \leq 5$; adding 9 gives $2x \leq 14$; dividing by the positive number 2 gives $x \leq 7$.

Check: $x = 0$ gives $-9 \leq 5$, true; $x = 8$ gives $23 \leq 21$, false; the boundary $x = 7$ gives $19 \leq 19$, true. All three points agree.

좌변을 전개하면 $6 - 2x < 16 - 3x$이다. 양변에 $3x$를 더하면 $6 + x < 16$이고, 양변에서 6을 빼면 $x < 10$이다.

$-2x$와 $-3x$ 중 계수가 더 작은 쪽($-3x$)을 옮기면 문자항의 계수가 양수가 되어 부등호를 뒤집을 일이 아예 없어진다. 자주 쓰는 요령이다.

검산: $x = 0$이면 $6 < 16$ 참, $x = 10$(경계)이면 $-14 < -14$ 거짓. 맞다.

Expanding the left side gives $6 - 2x < 16 - 3x$. Adding $3x$ to both sides gives $6 + x < 16$, and subtracting 6 gives $x < 10$.

Moving the variable term with the smaller coefficient ($-3x$) makes the remaining coefficient positive, so no flip is ever needed. A trick worth keeping.

Check: $x = 0$ gives $6 < 16$, true; the boundary $x = 10$ gives $-14 < -14$, false. Correct.

분모 5와 2의 최소공배수 10(양수)을 양변에 곱하면

즉 $4x + 2 \geq 5x - 10$이다. 양변에서 $4x$를 빼면 $2 \geq x - 10$, 양변에 10을 더하면 $12 \geq x$, 곧 $x \leq 12$이다.

검산: $x = 0$이면 $\frac{1}{5} \geq -1$ 참. $x = 12$(경계)이면 좌변 $\frac{25}{5} = 5$, 우변 $\frac{10}{2} = 5$로 $5 \geq 5$ 참 — 경계 포함이 맞다. $x = 14$이면 $\frac{29}{5} = 5.8$과 $6$으로 거짓.

Multiplying both sides by 10, the (positive) least common multiple of 5 and 2:

which is $4x + 2 \geq 5x - 10$. Subtracting $4x$ from both sides gives $2 \geq x - 10$; adding 10 gives $12 \geq x$, i.e. $x \leq 12$.

Check: $x = 0$ gives $\frac{1}{5} \geq -1$, true. The boundary $x = 12$ gives $\frac{25}{5} = 5$ on the left and $\frac{10}{2} = 5$ on the right, and $5 \geq 5$ is true — correctly included. $x = 14$ gives $5.8$ versus $6$: false.

세 부분에 같은 연산을 동시에 하면 된다. 정수 해를 나열할 때는 두 경계가 포함인지 아닌지부터 확인하자.

Apply the same operation to all three parts at once. Before listing integers, settle whether each boundary is included.

세 부분에서 모두 1을 빼면 $-6 \leq 3x < 9$이고, 모두 양수 3으로 나누면

이 범위의 정수는 $-2, -1, 0, 1, 2$의 다섯 개다. 왼쪽 경계 $-2$는 포함($\leq$)이고 오른쪽 경계 3은 제외($<$)라는 점에 주의.

검산: $x = -2$이면 $3x+1 = -5$로 $-5 \leq -5 < 10$ 참(왼쪽 경계 포함 확인). $x = 3$이면 $3x+1 = 10$인데 $10 < 10$은 거짓(오른쪽 경계 제외 확인).

Subtracting 1 from all three parts gives $-6 \leq 3x < 9$; dividing all three by the positive number 3 gives

The integers in this range are $-2, -1, 0, 1, 2$ — five of them. Note the left boundary $-2$ is included ($\leq$) while the right boundary 3 is excluded ($<$).

Check: $x = -2$ makes $3x+1 = -5$, and $-5 \leq -5 < 10$ is true (left boundary correctly included). $x = 3$ makes $3x+1 = 10$, and $10 < 10$ is false (right boundary correctly excluded).

(a) 양변에서 $x$를 빼면 $3 > 0$. 참인 문장만 남았으므로 모든 실수가 해다.

(b) 양변에서 $x$를 빼면 $-5 > 0$. 거짓이므로 해가 없다.

(c) 양변에서 $x$를 빼면 $x > 0$. 즉 양수 전체가 해다. 0도, 음수도 해가 아니다: $x = -1$을 원래 부등식에 넣으면 $-2 > -1$로 거짓이다.

"양변을 $x$로 나눈다"가 틀린 이유: $x$의 부호를 모르기 때문이다. $x$가 양수라면 $2 > 1$이 되어 참이지만, $x$가 음수라면 부등호가 뒤집혀 $2 < 1$이 되어 거짓이다. 나누는 수의 부호에 따라 결과가 달라지므로, 부호를 모르는 문자로는 나눌 수 없다. 문자항은 빼서 한쪽으로 모으는 것이 안전한 길이다.

채점 기준. 세 분류(모든 실수/해 없음/$x>0$) 각 1점, (c)의 오류 설명(부호에 따라 뒤집힘 여부가 달라짐, 반례 제시)이 2점. $x=-1$ 같은 구체적 반례가 있으면 완벽하다.

(a) Subtracting $x$ from both sides leaves $3 > 0$ — a true statement, so every real number is a solution.

(b) Subtracting $x$ leaves $-5 > 0$ — false, so there is no solution.

(c) Subtracting $x$ from both sides gives $x > 0$: the solutions are exactly the positive numbers. Zero fails, and so do negatives — plug $x = -1$ into the original: $-2 > -1$ is false.

Why "divide by $x$" is illegal: the sign of $x$ is unknown. If $x$ is positive, dividing gives the true $2 > 1$; but if $x$ is negative, the inequality flips and the claim becomes $2 < 1$, false. Since the outcome depends on a sign you don't know, you may not divide. Subtracting the variable term is the safe move.

Grading notes. One point per classification (all reals / none / $x > 0$); two points for explaining the error in (c) — the flip depends on the unknown sign — ideally with a concrete counterexample like $x = -1$.

공책을 $n$권 산다고 하자. 쓰고 남는 돈이 4,000원 이상이어야 하므로

양변에서 15000을 빼면 $-2000n \geq -11000$이고, 음수 $-2000$으로 나누면 부등호가 뒤집혀 $n \leq 5.5$이다.

$n$은 공책의 권수이므로 0 이상의 정수다. 5.5 이하의 정수 중 가장 큰 것은 5.

검산: 5권이면 10,000원을 쓰고 5,000원이 남아 4,000원 이상 ✓. 6권이면 12,000원을 쓰고 3,000원만 남아 조건에 어긋난다.

따라서 최대 5권을 살 수 있다. 부등식의 해($n \leq 5.5$)와 문제의 답(5권)이 다르다는 점이 이 문제의 핵심이다 — 현실의 제약(권수는 정수)이 마지막 한 걸음을 결정한다.

Say she buys $n$ notebooks. The money left over must be at least 4,000 won:

Subtracting 15000 from both sides gives $-2000n \geq -11000$; dividing by the negative number $-2000$ flips the sign: $n \leq 5.5$.

Since $n$ counts notebooks, it must be a whole number, and the largest whole number at most 5.5 is 5.

Check: 5 notebooks cost 10,000 won, leaving 5,000 — at least 4,000 ✓. Six would cost 12,000, leaving only 3,000 — too little.

Therefore she can buy at most 5 notebooks. The point of this problem: the solution of the inequality ($n \leq 5.5$) and the answer to the question (5) are not the same thing — the real-world constraint (whole notebooks) supplies the final step.

최소공배수 10을 곱할 때 둘째 분수 앞의 빼기 부호가 분자 전체에 걸린다는 것을 잊지 말자.

When you multiply by the LCM 10, remember the minus sign in front of the second fraction applies to its entire numerator.

양변에 10을 곱하면

전개하면 $5x - 2x + 6 > 10$, 정리하면 $3x > 4$, 양수 3으로 나누면 $x > \dfrac{4}{3}$이다.

검산: $x = 2$이면 좌변 $1 - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{6}{5} > 1$ 참. 경계 $x = \frac{4}{3}$이면 좌변은 $\frac{2}{3} - \frac{\frac{4}{3} - 3}{5} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$이라 $1 > 1$ 거짓 — 경계 제외가 맞다.

따라서 해는 $x > \dfrac{4}{3}$이다. 답이 분수라고 이상할 것 없다 — 부등식의 경계는 얼마든지 분수일 수 있다.

Multiplying both sides by 10:

Expanding gives $5x - 2x + 6 > 10$, which tidies to $3x > 4$; dividing by the positive number 3 gives $x > \dfrac{4}{3}$.

Check: $x = 2$ makes the left side $1 - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{6}{5} > 1$, true. At the boundary $x = \frac{4}{3}$, the left side is $\frac{2}{3} - \frac{\frac{4}{3} - 3}{5} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$, and $1 > 1$ is false — correctly excluded.

Therefore the solution is $x > \dfrac{4}{3}$. A fractional boundary is nothing unusual.

양변에서 3을 빼서 $ax > 0$으로 만든 뒤 생각하자. $a$로 나눠도 되는 경우와 안 되는 경우, 나눌 때 부등호가 어떻게 되는지가 갈림길이다.

Subtract 3 from both sides to get $ax > 0$, then think. When may you divide by $a$, and what happens to the sign when you do?

양변에서 3을 빼면 $ax > 0$이다.

$a > 0$인 경우. 양변을 양수 $a$로 나누면 $x > 0$. 해는 양수 전체다.

$a < 0$인 경우. 양변을 음수 $a$로 나누면 부등호가 뒤집혀 $x < 0$. 해는 음수 전체다.

$a = 0$인 경우. 부등식은 $0 > 0$이 되어 거짓이다. 해가 없다.

검산 삼아 하나씩: $a = 2, x = 1$이면 $2 + 3 = 5 > 3$ ✓. $a = -2, x = -1$이면 $2 + 3 = 5 > 3$ ✓. $a = 0$이면 좌변이 항상 3이라 $3 > 3$은 어떤 $x$로도 참이 안 된다 ✓.

채점 기준. 세 경우를 빠짐없이 나눈 것(특히 $a = 0$을 잊지 않은 것) 2점, $a < 0$에서 부등호를 뒤집은 것 1점, 각 경우의 근거 설명 1점.

Subtracting 3 from both sides gives $ax > 0$.

If $a > 0$: dividing both sides by the positive number $a$ gives $x > 0$. The solutions are all positive numbers.

If $a < 0$: dividing by the negative number $a$ flips the sign: $x < 0$. The solutions are all negative numbers.

If $a = 0$: the inequality reads $0 > 0$, which is false. No solution.

Spot checks: $a = 2, x = 1$: $2 + 3 = 5 > 3$ ✓. $a = -2, x = -1$: $2 + 3 = 5 > 3$ ✓. $a = 0$: the left side is always 3, and $3 > 3$ is never true ✓.

Grading notes. Two points for covering all three cases (forgetting $a = 0$ is the classic omission), one for flipping the sign when $a < 0$, one for justifying each case.

$t$시간 가동하면 몇 개를 조립하는가? 그리고 이번에는 답을 구할 때 버림이 아니라 올림을 해야 하는 이유를 생각해 보자.

How many parts get built in $t$ hours? And think about why, this time, the final step rounds up rather than down.

가동 시간을 $t$시간이라 하자. $t$시간 동안 $45t$개를 조립하고, 이것이 주문량 이상이어야 하므로

양변을 양수 45로 나누면 $t \geq \dfrac{380}{45} = \dfrac{76}{9} = 8.44\ldots$이다.

$t$는 1시간 단위이므로 $8.44\ldots$ 이상인 가장 작은 정수, 즉 9시간이다.

검산: 8시간이면 $45 \times 8 = 360 < 380$으로 부족하고, 9시간이면 $45 \times 9 = 405 \geq 380$으로 충분하다.

따라서 최소 9시간 가동해야 한다. 앞의 공책 문제(문제 9)와 비교해 보자 — 그때는 "최대"라서 내림(5.5 → 5), 이번엔 "최소"라서 올림(8.44… → 9)이다. 부등식 문장제에서 마지막 정수 처리는 문제가 "최대"를 묻는지 "최소"를 묻는지가 결정한다.

Let $t$ be the running time in hours. In $t$ hours the robot builds $45t$ parts, which must cover the order:

Dividing both sides by the positive number 45 gives $t \geq \dfrac{380}{45} = \dfrac{76}{9} = 8.44\ldots$

Since the robot runs in whole hours, we need the smallest integer that is at least $8.44\ldots$ — that is, 9.

Check: 8 hours gives $45 \times 8 = 360 < 380$, not enough; 9 hours gives $45 \times 9 = 405 \geq 380$, enough.

Therefore the robot must run at least 9 hours. Compare with the notebook problem (Problem 9): there, "at most" forced rounding down (5.5 → 5); here, "at least" forces rounding up (8.44… → 9). In inequality word problems, whether you round down or up is decided by whether the question asks for a maximum or a minimum.

각각 풀어서 두 범위의 공통 부분을 찾자. 수직선에 두 범위를 겹쳐 그리면 실수하기 어렵다.

Solve each one, then intersect the two ranges. Sketching both on one number line makes it hard to go wrong.

첫 부등식: $3n < 21$이므로 $n < 7$.

둘째 부등식: $2n > -8$이므로 $n > -4$.

동시에 만족하려면 $-4 < n < 7$이어야 한다. 이 범위의 정수는

으로, $6 - (-3) + 1 = 10$개다.

검산: 경계 확인 — $n = -4$는 둘째 부등식에서 $-7 > -7$ 거짓이라 제외, $n = 7$은 첫째에서 $16 < 16$ 거짓이라 제외. $n = -3$은 $-14 < 16$, $-5 > -7$ 모두 참 ✓.

따라서 10개다. 개수를 셀 때 $6 - (-3) + 1$처럼 "+1"을 잊지 않는 것 — 경시에서 가장 많이 나가는 점수다.

First inequality: $3n < 21$, so $n < 7$.

Second: $2n > -8$, so $n > -4$.

Both hold exactly when $-4 < n < 7$. The integers in that range are

and there are $6 - (-3) + 1 = 10$ of them.

Check the boundaries: $n = -4$ fails the second inequality ($-7 > -7$ is false), and $n = 7$ fails the first ($16 < 16$ is false). And $n = -3$ passes both: $-14 < 16$ and $-5 > -7$ ✓.

Therefore the answer is 10. The "+1" in the count $6 - (-3) + 1$ is where these problems shed the most points — don't drop it.

분모 3, 4, 5를 한 번에 없애려면 얼마를 곱해야 할까? 그다음은 경계가 정수인지 아닌지를 살피면 된다.

What single number clears all three denominators at once? After that, it's just a question of whether the boundary is an integer.

분모 3, 4, 5의 최소공배수 60(양수)을 양변에 곱하면

즉 $47x < 2400$이고, $x < \dfrac{2400}{47} = 51.06\ldots$이다.

이보다 작은 가장 큰 양의 정수는 51이다.

검산: $x = 51$이면 $47 \times 51 = 2397 < 2400$ ✓. $x = 52$이면 $47 \times 52 = 2444 > 2400$이라 조건에 어긋난다 ✓.

따라서 답은 51이다. $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{47}{60}$이라는 계산이 문제의 전부이고, 나머지는 경계 처리다. 분수 여러 개의 합이 나오면 "통분 한 번으로 정수 문제로 바꾼다"는 이 과의 기본기가 경시에서도 그대로 통한다.

Multiplying both sides by 60, the (positive) least common multiple of 3, 4, and 5:

so $47x < 2400$ and $x < \dfrac{2400}{47} = 51.06\ldots$

The largest positive integer below that is 51.

Check: $x = 51$ gives $47 \times 51 = 2397 < 2400$ ✓, while $x = 52$ gives $47 \times 52 = 2444 > 2400$, which fails ✓.

Therefore the answer is 51. The entire problem is the computation $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{47}{60}$ plus careful boundary handling — the same clear-the-denominators move from this lesson, doing contest work.