기울기가 이고 축과 에서 만나는 직선 — 일차함수의 그래프다. 식으로는
라 쓰고, 함수 기호로는 라고도 쓴다. 과 가 정말 그런 뜻인지는 외울 것이 아니라 확인할 수 있는 것이다.
는 절편이다. 을 대입하면 . 그래프가 축과 만나는 점, 즉 가 0인 점의 값이 정확히 다.
은 기울기다. 가 1 커질 때 가 얼마나 변하는지 재 보면
어느 에서 재든 정확히 씩 늘어난다. " 1당 의 증가량"은 지난 차시에서 정의한 기울기 그 자체다.
식에서 두 정보를 뽑았으니 그리는 것은 몇 초면 된다. 방법은 두 가지다.
어느 쪽이든 점 두 개면 직선 하나가 정해진다는 사실을 쓰는 것이다. 안전하게 세 번째 점을 하나 더 찍어 일직선에 놓이는지 확인하면 계산 실수까지 걸러진다.
의 그래프를 그려라.
풀이. 방법 1: 절편 을 찍고, 기울기 를 따라 오른쪽으로 2, 위로 3 걸으면 이다.
방법 2: 절편은 에서 , 즉 — 방법 1의 두 번째 점과 같은 점이 나왔다. 두 점을 직선으로 이으면 끝이다.
검산 삼아 세 번째 점: 이면 . 이 그린 직선 위에 있는지 눈으로 확인하자.
에서 이면 — 가 무엇이든 는 늘 인 수평선이다.
수직선은 사정이 다르다. 라는 식은 " 좌표가 인 모든 점"을 뜻하는 수직선인데, 이것은 꼴로 쓸 수 없다(기울기가 정의되지 않으므로).
수직선은 직선이지만 함수의 그래프가 아니다. 함수는 하나에 하나를 대응시켜야 하는데, 위에는 좌표가 인 점이 무한히 많다 — 하나의 입력에 무한히 많은 출력이 달린 셈이다. "모든 직선 = 일차함수"가 아니라는 것, 시험에 즐겨 나온다.
기울기와 절편이 진짜 힘을 내는 곳은 실생활 그래프다.
300L짜리 물탱크의 물이 분당 20L씩 일정하게 빠져나간다. 분 뒤 남은 물의 양을 L라 하면
이 식을 그래프와 함께 읽어 보자.
식의 모든 부품이 상황의 한 조각씩을 담당한다. 그래프 문제를 만나면 절편과 기울기에 "단위를 붙여" 읽는 습관을 들이자: 300L, 분당 L, 15분.
모델 그래프에서는 정의역이 상황에 묶인다. 물탱크 식 는 에서만 의미가 있다 — 을 넣으면 L라는 헛소리가 나온다. 직선 자체는 무한히 뻗지만, 이야기는 구간 안에서만 참이다.
문제 탭에는 그래프에서 식을 읽어 내는 문제, 함수값 표기 연습, 그리고 직선과 두 축이 만드는 삼각형의 넓이를 묻는 경시 스타일 문제까지 열네 문제가 있다.
A line with slope that crosses the -axis at — that's the graph of a linear function. We write it
or in function notation, . That and really mean those things isn't something to memorize; it's something to verify.
is the -intercept. Substitute : . The point where the graph meets the -axis — the point with — has height exactly .
is the slope. Measure how much changes when grows by 1:
No matter which you measure at, the rise per unit step is exactly — and "change in per unit change in " is precisely how we defined slope last lesson.
With those two facts extracted, graphing takes seconds. Two methods:
Either way you're using the same fact: two points determine a line. Plotting a third point as insurance catches arithmetic slips — if the three don't line up, something's off.
Graph .
Solution. Method 1: plot the -intercept , then follow the slope — right 2, up 3 — to reach .
Method 2: the -intercept solves , giving — the point , the same second point method 1 found. Join the two points and you're done.
For a check, take a third point: gives , so should sit on your line. Look and confirm.
Set in and you get : a horizontal line where stays no matter what is.
Vertical lines are a different story. The equation describes all points with -coordinate — a vertical line — and it cannot be written as , because its slope is undefined.
A vertical line is a line, but it is not the graph of a function. A function must assign one to each — yet the line stacks infinitely many points over the single input . "Every line is a linear function" is false, and test writers know it.
Slope and intercepts earn their keep in real-world graphs.
A 300 L tank drains at a steady 20 L per minute. If is the volume in liters after minutes,
Read the formula alongside its graph:
Every part of the formula carries one piece of the story. When you meet a modeling graph, read the slope and intercepts with their units attached: 300 L, L per minute, 15 minutes.
In a model, the domain is chained to the situation. The tank formula only means something for — plug in and you get L, which is nonsense. The line runs forever; the story is only true on its interval.
The Problems tab holds fourteen problems: reading equations off graphs, function-notation practice, and a contest-style finale about the triangle a line cuts off with the axes.
직선 의 기울기와 절편을 각각 말하라.
State the slope and the -intercept of the line .
꼴에서 , 이므로 기울기는 2, 절편은 이다.
확인: 을 대입하면 ✓, 가 1 커지면 는 커진다 ✓.
Matching gives and : slope 2, -intercept .
Confirm: gives ✓, and each unit step in raises by 2 ✓.
직선 의 절편을 좌표로 구하라.
Find the -intercept of the line , as a point.
절편은 인 점이다. 에서 이므로 절편은 이다.
검산: 을 대입하면 ✓.
The -intercept is where : solving gives , so the intercept is .
Check: substituting gives ✓.
일 때 을 구하라.
If , find .
은 "일 때의 함수값", 그래프로 말하면 그래프 위의 점 의 좌표다.
means "the output at " — graphically, the -coordinate of the point on the graph.
그래프의 직선의 방정식을 꼴로 구하라.
Find the equation of the graphed line in the form .
표시된 점에서 절편은 이므로 . 기울기는 두 점으로
따라서 이다.
검산: 를 대입하면 ✓ — 그림의 점 과 맞는다.
From the marked points, the -intercept is , so . The slope, from the two points:
So the line is .
Check: gives ✓, matching the marked point .
직선 의 절편과 절편을 모두 구하라. (이 두 점만으로 그래프를 그릴 수 있다.)
Find both intercepts of the line . (Those two points alone are enough to draw the graph.)
절편: 을 대입하면 , 즉 .
절편: 을 대입하면 , 양변에 2를 더하고 을 곱하면 , 즉 .
검산: 두 점의 기울기는 로 식의 기울기와 일치한다.
-intercept: setting gives , the point .
-intercept: setting gives ; adding 2 and multiplying by gives , the point .
Check: the slope through the two intercepts is , matching the equation.
기울기가 3이고 점 를 지나는 직선의 방정식을 구하고, 점 이 이 직선 위에 있는지 판정하라.
Find the equation of the line with slope 3 through the point , and decide whether the point lies on it.
는 축 위의 점이므로 절편이 다. 기울기가 3이므로
판정: 를 대입하면 . 직선은 를 지나지, 을 지나지 않는다. 직선 위에 없다.
"점이 직선 위에 있다"는 말은 좌표를 식에 넣었을 때 등식이 성립한다는 뜻 — 대입해서 확인하는 것이 판정의 전부다.
sits on the -axis, so the -intercept is ; with slope 3,
Testing : substituting gives , so the line passes through , not . Not on the line.
"The point lies on the line" means exactly that its coordinates satisfy the equation — substituting is the entire test.
점 를 지나는 수평선의 방정식과 수직선의 방정식을 각각 구하라.
Find the equations of the horizontal line and the vertical line through the point .
수평선은 좌표가 일정한 직선이다. 를 지나므로 .
수직선은 좌표가 일정한 직선이다. 같은 점을 지나므로 .
두 답이 바뀌기 쉬운데, 헷갈리면 점 몇 개를 떠올려 보자: 위에는 처럼 높이가 5인 점들이 늘어선다 — 수평선이 맞다.
A horizontal line keeps constant; through that's .
A vertical line keeps constant; through the same point that's .
These two swap easily in the mind. When unsure, list a few points: contains — all at height 5, strung out horizontally. So it's the horizontal one.
어느 요금제는 기본요금 15,000원에 통화 1분마다 200원이 붙는다. 한 달 통화 시간이 분일 때 요금 원을 식으로 나타내고, 식의 기울기와 절편이 각각 무엇을 뜻하는지 말하라. 그리고 30분 통화한 달의 요금을 구하라.
A phone plan charges a 15,000-won base fee plus 200 won per minute of calls. Write the monthly cost in won as a function of the call time in minutes, explain what the slope and the -intercept each mean, and find the cost in a month with 30 minutes of calls.
1분마다 200원씩 늘어나므로 기울기(변화율)는 200, 통화가 0분이어도 내는 기본요금이 절편이다:
30분 통화한 달: . 21,000원이다.
검산: 0분이면 15,000원(기본요금만) ✓, 1분이면 15,200원으로 200원 증가 ✓.
The cost climbs 200 won per minute, and the base fee is owed even at zero minutes:
For a 30-minute month: — 21,000 won.
Check: 0 minutes costs 15,000 (base fee only) ✓; 1 minute costs 15,200, an increase of exactly 200 ✓.
그래프의 두 직선 , 의 방정식을 각각 구하라.
Find the equations of the two graphed lines and .
직선마다 절편을 먼저 읽고, 격자점 두 개를 골라 기울기를 세자.
Read each line's -intercept first, then count the slope between two lattice points.
직선 : 축과 에서 만나므로 . 격자점 에서 로 오른쪽 1, 위 2 이동하므로 기울기는 2. 따라서 .
직선 : 축과 에서 만나므로 . 에서 으로 오른쪽 3, 아래 3이므로 기울기는 . 따라서 .
검산: 에 대입 — ✓. 에 대입 — ✓.
Line : it crosses the -axis at , so . From the lattice point to is right 1, up 2, so the slope is 2. Hence .
Line : it crosses at , so . From to is right 3, down 3, so the slope is . Hence .
Check: on : ✓. on : ✓.
일차함수 가 , 을 만족한다. 의 식을 구하고 을 구하라.
A linear function satisfies and . Find , then find .
조건을 점으로 바꿔 읽자: 그래프가 와 을 지난다는 말이다.
Translate the conditions into points: the graph passes through and .
, 은 그래프가 두 점 , 을 지난다는 뜻이다. 기울기는
에 를 대입하면 , 즉 . 따라서
검산: ✓. (은 곧 절편이라는 것도 확인해 두자 — 과 같다.)
and say the graph passes through and . The slope is
Substituting into gives , so . Therefore
Check: ✓. (Notice is the -intercept — the same .)
직선 가 점 를 지난다. 의 값과 이 직선의 절편을 구하라.
The line passes through the point . Find and the line's -intercept.
를 대입하면 이고, 양변에서 4를 빼고 2로 나누면 이다. 직선은
절편: 에서 , 즉 이다.
검산: 대입 시 ✓. 대입 시 ✓. 절편이 분수라고 놀랄 것 없다 — 격자점에서만 축을 건너야 한다는 법은 없다.
Substituting gives ; subtracting 4 and dividing by 2 gives . The line is
-intercept: gives , the point .
Check: gives ✓, and gives ✓. A fractional intercept is nothing strange — lines don't owe the axes a lattice point.
길이 25cm인 양초에 불을 붙이면 한 시간에 2cm씩 일정하게 짧아진다.
(1) 시간 뒤 양초의 길이 cm를 식으로 나타내라.
(2) 양초가 다 타는 데 몇 시간 걸리는가?
(3) 길이가 7cm 남는 것은 불을 붙이고 몇 시간 뒤인가?
A 25 cm candle burns down at a steady 2 cm per hour.
(1) Express the candle's length in cm after hours.
(2) How long does the candle take to burn away completely?
(3) After how many hours is exactly 7 cm left?
(1) 처음 길이(절편) 25cm에서 시간당 2cm씩 줄어드는(기울기 ) 일차함수:
(2) 다 타는 순간은 : 에서 . 12.5시간, 즉 12시간 30분이다.
(3) 을 대입하면 , 양변에서 25를 빼면 , 즉 . 9시간 뒤다.
검산: 일 때 ✓. 그리고 (3)의 답은 (2)의 답보다 앞선 시각이어야 말이 되는데, ✓. 이 식의 정의역은 — 그 밖에서는 이야기가 성립하지 않는다.
(1) Starting length (the intercept) 25 cm, shrinking 2 cm per hour (slope ):
(2) It's gone when : solving gives — 12.5 hours, i.e. 12 hours 30 minutes.
(3) Set : then ; subtracting 25 gives , so . After 9 hours.
Check: at , ✓. And sanity: the answer to (3) must come before the burnout time, and indeed ✓. The model's domain is — outside it, the story stops being true.
직선 가 두 점 와 을 지난다. 이때 직선 가 점 를 지난다면, 의 값은?
The line passes through and . Given that, the line passes through the point . Find .
먼저 첫 직선에서 와 를 구하자. 그다음 문제를 다시 읽어 보자 — 둘째 직선은 와 의 자리가 바뀐 직선이다.
First find and from the first line. Then reread the problem — the second line has and swapped.
첫 직선의 기울기는 이고, 를 대입하면 에서 이다.
둘째 직선은 , 즉 계수가 뒤바뀐
를 대입하면 이다.
검산: 첫 직선 이 을 지나는지 — ✓.
계산은 짧지만, 와 의 역할이 중간에 바뀌는 것을 놓치면 라는 오답으로 직행한다. 문제를 끝까지 정확히 읽는 것도 실력이다.
The first line's slope is , and substituting gives , so .
The second line is — coefficients swapped:
At , .
Check: the first line does pass through , since ✓.
The computation is short, but miss the swap and you march straight to the wrong answer . Reading the problem all the way through is a skill.
직선 과 축, 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하라.
Find the area of the triangle enclosed by the line and the two coordinate axes.
삼각형의 세 꼭짓점은 어디인가? 두 절편과 원점이다. 두 절편이 삼각형의 밑변과 높이를 준다.
Where are the triangle's three vertices? The two intercepts and the origin — and the intercepts hand you the base and the height.
직선의 두 절편을 구한다. 절편은 , 절편은 에서 이다.
삼각형의 꼭짓점은 원점 , , . 두 변이 좌표축 위에 있는 직각삼각형이므로 밑변 4, 높이 8이고
검산: 절편 확인 — 대입 시 ✓, 대입 시 ✓.
"직선과 두 축이 만드는 삼각형"은 경시 단골 소재다. 절편 두 개 = 밑변과 높이라는 이 틀을 기억해 두면, 거꾸로 "넓이가 16이 되는 기울기를 구하라" 같은 변형도 두렵지 않다.
Find both intercepts: the -intercept is , and the -intercept solves , giving .
The triangle has vertices , , . Two sides lie along the axes, so it's a right triangle with base 4 and height 8:
Check the intercepts: gives ✓, and gives ✓.
The "triangle cut off by a line and the axes" is a contest regular. Keep the frame — two intercepts = base and height — and reversed versions like "find the slope that makes the area 16" hold no terror either.