Algebra 1 진단 평가Algebra 1 Diagnostic Test

거듭제곱 먼저: $(-3)^2 = 9$. 곱셈 다음: $2 \times 9 = 18$. 마지막으로 뺄셈: $5 - 18 = -13$.

확인 포인트. 연산 순서와 음수의 제곱. $(-3)^2 = 9$를 $-9$로 쓰거나, $5-2=3$을 먼저 계산해 $3 \times 9 = 27$로 갔다면 기초 연산 복습이 필요하다.

Exponent first: $(-3)^2 = 9$. Then multiplication: $2 \times 9 = 18$. Then subtraction: $5 - 18 = -13$.

What this checks. Order of operations and squaring a negative. Writing $(-3)^2 = -9$, or computing $5 - 2 = 3$ first and heading to $3 \times 9 = 27$, signals the foundations need review.

분모 4, 6, 2의 최소공배수는 12다. 통분하면

확인 포인트. 분수의 통분과 음수가 섞인 덧뺄셈. 최소공배수 대신 $4 \times 6 \times 2$로 통분했어도 답이 맞으면 괜찮지만, 약분을 끝까지 했는지 확인하자.

The least common denominator of 4, 6, and 2 is 12:

What this checks. Common denominators and signed addition. Using $4 \times 6 \times 2$ instead of the LCD is fine if the final answer is fully reduced.

대입하면

확인 포인트. 음수 대입. 특히 $-2x$에 $x = -2$를 넣으면 $-2 \times (-2) = +4$로 부호가 바뀌는 것. 답이 $9$가 나왔다면($12 - 4 + 1$) 바로 이 지점에서 부호를 놓친 것이다.

Substituting:

What this checks. Substituting a negative. In particular, $-2x$ at $x = -2$ becomes $-2 \times (-2) = +4$. Getting $9$ (from $12 - 4 + 1$) means exactly that sign was dropped.

전개하면 $6a - 3b - 2a + 6b$이고, 동류항을 모으면 $4a + 3b$이다.

확인 포인트. 분배법칙, 특히 $-2(a - 3b) = -2a + 6b$에서 뒤 항의 부호. $4a - 9b$가 나왔다면 $-2 \times (-3b)$를 $-6b$로 계산한 것이다.

Expanding gives $6a - 3b - 2a + 6b$; collecting like terms gives $4a + 3b$.

What this checks. The distributive property — especially the second term of $-2(a - 3b) = -2a + 6b$. An answer of $4a - 9b$ means $-2 \times (-3b)$ came out as $-6b$.

양변에서 $3x$를 빼면 $4x - 5 = 11$, 양변에 5를 더하면 $4x = 16$, 4로 나누면 $x = 4$이다.

검산: 좌변 $28 - 5 = 23$, 우변 $12 + 11 = 23$. 같다.

확인 포인트. 일차방정식의 기본기와 검산 습관. 풀이에 검산이 없다면 "수학을 쓰는 법" 차시부터.

Subtracting $3x$ from both sides gives $4x - 5 = 11$; adding 5 gives $4x = 16$; dividing by 4 gives $x = 4$.

Check: left side $28 - 5 = 23$, right side $12 + 11 = 23$. Equal.

What this checks. Basic linear equations and the checking habit. If there's no check in the write-up, start with "How to Write Mathematics."

양변에 15를 곱하면 $5(x + 2) = 3(2x - 1)$, 전개하면 $5x + 10 = 6x - 3$이다. 양변에서 $5x$를 빼고 3을 더하면 $x = 13$이다.

검산: 좌변 $\frac{15}{3} = 5$, 우변 $\frac{25}{5} = 5$. 같다.

확인 포인트. 분수 방정식 — 분모를 한 번에 없애는 요령과 전개의 정확성.

Multiplying both sides by 15 gives $5(x + 2) = 3(2x - 1)$, which expands to $5x + 10 = 6x - 3$. Subtracting $5x$ and adding 3 to both sides gives $x = 13$.

Check: left side $\frac{15}{3} = 5$, right side $\frac{25}{5} = 5$. Equal.

What this checks. Fractional equations — clearing denominators in one move, and accurate expansion.

양변에서 5를 빼면 $-3x \geq -12$이고, 음수 $-3$으로 나누면 부등호가 뒤집혀 $x \leq 4$이다.

검산: $x = 0$이면 $5 \geq -7$ 참, $x = 5$이면 $-10 \geq -7$ 거짓, 경계 $x = 4$이면 $-7 \geq -7$ 참.

확인 포인트. 음수로 나눌 때 부등호 뒤집기. $x \geq 4$가 나왔다면 1단원 부등식 차시를 볼 것.

Subtracting 5 from both sides gives $-3x \geq -12$; dividing by the negative number $-3$ flips the sign: $x \leq 4$.

Check: $x = 0$ gives $5 \geq -7$, true; $x = 5$ gives $-10 \geq -7$, false; the boundary $x = 4$ gives $-7 \geq -7$, true.

What this checks. Flipping the sign when dividing by a negative. An answer of $x \geq 4$ points to the inequalities lesson in Unit 1.

$2x - 1 = 9$ 또는 $2x - 1 = -9$이다. 앞에서 $x = 5$, 뒤에서 $2x = -8$이므로 $x = -4$.

검산: $|10 - 1| = 9$ ✓, $|-8 - 1| = |-9| = 9$ ✓.

확인 포인트. 절댓값 방정식의 두 경우. $x = 5$만 썼다면 절댓값 차시의 기본 개념(해가 두 개)이 빠진 것이다.

Either $2x - 1 = 9$ or $2x - 1 = -9$. The first gives $x = 5$; the second gives $2x = -8$, so $x = -4$.

Check: $|10 - 1| = 9$ ✓ and $|-8 - 1| = |-9| = 9$ ✓.

What this checks. The two branches of an absolute value equation. Writing only $x = 5$ means the core idea — two solutions — is missing.

기울기는 $y$의 변화량을 $x$의 변화량으로 나눈 것이다:

확인 포인트. 기울기 공식과 음수 부호 처리. $\frac{7}{3}$이 나왔다면 $8 - (-1)$을 $8 - 1$로 계산한 것이다.

Slope is the change in $y$ over the change in $x$:

What this checks. The slope formula and handling the negative. Getting $\frac{7}{3}$ means $8 - (-1)$ was computed as $8 - 1$.

$x$축 위의 점은 $y = 0$이므로 $0 = 3x - 12$, 즉 $x = 4$. 만나는 점은 $(4, 0)$이다.

확인 포인트. 절편의 뜻 — "$x$축과 만난다"를 $y = 0$으로 번역할 수 있는가. $(0, -12)$를 썼다면 $x$절편과 $y$절편을 혼동한 것이다.

On the $x$-axis, $y = 0$: solving $0 = 3x - 12$ gives $x = 4$, so the point is $(4, 0)$.

What this checks. What an intercept means — translating "crosses the $x$-axis" into $y = 0$. Answering $(0, -12)$ means the two intercepts are being confused.

두 식을 더하면 $y$가 사라진다: $2x = 14$이므로 $x = 7$, 첫 식에서 $y = 3$이다.

검산: $7 + 3 = 10$ ✓, $7 - 3 = 4$ ✓.

확인 포인트. 가감법의 기본형. 두 식을 "더한다"는 발상 없이 대입으로 돌아갔어도 답이 맞으면 좋지만, 3단원에서 두 방법 모두 익히게 된다.

Adding the two equations eliminates $y$: $2x = 14$, so $x = 7$, and the first equation gives $y = 3$.

Check: $7 + 3 = 10$ ✓ and $7 - 3 = 4$ ✓.

What this checks. Elimination in its simplest form. Solving by substitution instead is fine — Unit 3 covers both — but the "just add them" instinct is worth having.

둘째 식을 첫째 식에 대입하면 $2x + 3(2x) = 12$, 즉 $8x = 12$이므로 $x = \dfrac{3}{2}$이고 $y = 2x = 3$이다.

검산: $2 \times \frac{3}{2} + 3 \times 3 = 3 + 9 = 12$ ✓.

확인 포인트. 대입법, 그리고 분수 답에 대한 태도. $x = \frac{3}{2}$에서 "틀린 것 같다"며 멈췄다면, 답이 늘 정수라는 선입견부터 고칠 것.

Substituting the second equation into the first: $2x + 3(2x) = 12$, so $8x = 12$, giving $x = \dfrac{3}{2}$ and $y = 2x = 3$.

Check: $2 \times \frac{3}{2} + 3 \times 3 = 3 + 9 = 12$ ✓.

What this checks. Substitution — and composure when the answer is a fraction. Stopping at $x = \frac{3}{2}$ because it "looks wrong" is the integer-answer superstition at work.

거듭제곱의 거듭제곱: $(3x^2)^3 = 3^3 x^6 = 27x^6$. 나눗셈은 지수의 뺄셈: $27x^6 \div x^4 = 27x^{6-4} = 27x^2$.

확인 포인트. 지수법칙 두 가지 — 계수 3에도 세제곱이 적용되는 것($3x^6$이 아니라 $27x^6$), 그리고 나눗셈에서 지수를 빼는 것.

Power of a power: $(3x^2)^3 = 3^3 x^6 = 27x^6$. Division subtracts exponents: $27x^6 \div x^4 = 27x^{6-4} = 27x^2$.

What this checks. Two exponent laws — the cube applies to the coefficient too ($27x^6$, not $3x^6$), and division subtracts exponents.

각 항끼리 곱하면

확인 포인트. 다항식 곱셈(이른바 FOIL)과 중간항 정리. $+13x$나 $-7x$가 나왔다면 부호 관리 문제다.

Multiply term by term:

What this checks. Polynomial multiplication (FOIL, if you like) and combining the middle terms. A $+13x$ or $-7x$ is a sign-management issue.

곱이 $-24$이고 합이 $-5$인 두 수를 찾는다: $-8$과 $3$. 따라서

검산: 전개하면 $x^2 + 3x - 8x - 24 = x^2 - 5x - 24$ ✓.

확인 포인트. 곱과 합으로 두 수 찾기, 그리고 부호 배치. 전개해서 검산하는 습관까지 보면 더 좋다.

Find two numbers with product $-24$ and sum $-5$: they are $-8$ and $3$. So

Check: expanding gives $x^2 + 3x - 8x - 24 = x^2 - 5x - 24$ ✓.

What this checks. The product-and-sum search and sign placement — plus, ideally, the habit of expanding to verify.

제곱의 차다: $9x^2 = (3x)^2$, $16 = 4^2$이므로

검산: $(3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16$ ✓.

확인 포인트. 합차 공식 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$를 알아보는 눈. 5단원의 핵심 패턴이고, 뒤로 갈수록(근호, 유리화, 경시) 계속 쓰인다.

A difference of squares: $9x^2 = (3x)^2$ and $16 = 4^2$, so

Check: $(3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16$ ✓.

What this checks. Recognizing $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ on sight — a Unit 5 pattern that keeps paying off later (radicals, rationalizing, contests).

곱이 $10$, 합이 $-7$인 두 수는 $-2$와 $-5$이므로 $(x - 2)(x - 5) = 0$이다. 곱이 0이려면 둘 중 하나가 0이어야 하므로 $x = 2$ 또는 $x = 5$.

검산: $4 - 14 + 10 = 0$ ✓, $25 - 35 + 10 = 0$ ✓.

확인 포인트. 인수분해로 이차방정식 풀기와 "곱이 0" 논리. 근의 공식으로 풀어 같은 답이 나왔어도 물론 정답이다.

Two numbers with product $10$ and sum $-7$ are $-2$ and $-5$, so $(x - 2)(x - 5) = 0$. A product is zero only when a factor is zero, so $x = 2$ or $x = 5$.

Check: $4 - 14 + 10 = 0$ ✓ and $25 - 35 + 10 = 0$ ✓.

What this checks. Solving a quadratic by factoring and the zero-product logic. The quadratic formula reaching the same pair is equally correct.

곱이 $-3$, 합이 $-4$인 정수 쌍은 없으므로 근의 공식을 쓴다:

검산: $x = 2 + \sqrt{7}$이면 $x^2 = 4 + 4\sqrt{7} + 7 = 11 + 4\sqrt{7}$이고, $x^2 - 4x - 3 = 11 + 4\sqrt{7} - 8 - 4\sqrt{7} - 3 = 0$ ✓.

확인 포인트. 근의 공식과 $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ 같은 근호 정리, 그리고 약분. $\frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$에서 멈췄다면 근호 단원 복습이 필요하다.

No integer pair has product $-3$ and sum $-4$, so use the quadratic formula:

Check: for $x = 2 + \sqrt{7}$, $x^2 = 11 + 4\sqrt{7}$, and $x^2 - 4x - 3 = 11 + 4\sqrt{7} - 8 - 4\sqrt{7} - 3 = 0$ ✓.

What this checks. The quadratic formula, simplifying $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$, and reducing the fraction. Stopping at $\frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$ points to the radicals unit.

제곱 인수를 꺼낸다: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$, $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$. 따라서

확인 포인트. 근호 간단히 하기와 동류 근호끼리의 뺄셈. $\sqrt{48 - 12} = \sqrt{36} = 6$으로 계산했다면 $\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq \sqrt{a - b}$부터 짚어야 한다.

Pull out square factors: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ and $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$. So

What this checks. Simplifying radicals and combining like ones. Computing $\sqrt{48 - 12} = \sqrt{36} = 6$ means the myth $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b}$ needs dismantling first.

세로를 $w$cm라 하면 가로는 $(w + 5)$cm다. 둘레가 34cm이므로

정리하면 $2w + 5 = 17$, 즉 $2w = 12$이므로 $w = 6$. 세로 6cm, 가로 11cm다.

검산: 가로가 세로보다 5 길다 ✓. 둘레 $2(6 + 11) = 34$ ✓.

넓이는 $6 \times 11 = 66\ \text{cm}^2$이다.

확인 포인트. 문장제의 전 과정 — 변수 정의, 식 세우기, 풀기, 검산, 그리고 묻는 것(넓이)에 답하기. $w = 6$에서 멈췄다면 마지막 단계, 즉 문제를 다시 읽는 습관이 빠진 것이다.

Let $w$ be the width in cm; the length is then $(w + 5)$ cm. The perimeter is 34:

This tidies to $2w + 5 = 17$, so $2w = 12$ and $w = 6$. The rectangle is 6 cm by 11 cm.

Check: the length exceeds the width by 5 ✓, and the perimeter is $2(6 + 11) = 34$ ✓.

The area is $6 \times 11 = 66\ \text{cm}^2$.

What this checks. The whole word-problem pipeline — define, set up, solve, check, and answer what was asked (the area). Stopping at $w = 6$ means the final step, rereading the question, is missing.