일차방정식, 제대로Linear Equations, Done Right

양변에서 9를 빼면 $4x = 24$, 양변을 4로 나누면 $x = 6$이다.

검산: $4 \times 6 + 9 = 24 + 9 = 33$. 맞는다.

Subtracting 9 from both sides gives $4x = 24$; dividing both sides by 4 gives $x = 6$.

Check: $4 \times 6 + 9 = 24 + 9 = 33$. It works.

양변에서 5를 빼면 $-2x = 12$, 양변을 $-2$로 나누면 $x = -6$이다.

검산: $5 - 2 \times (-6) = 5 + 12 = 17$. 맞는다.

음수로 나눌 때 부호를 흘리지 않는 것이 이 문제의 전부다.

Subtracting 5 from both sides gives $-2x = 12$; dividing both sides by $-2$ gives $x = -6$.

Check: $5 - 2 \times (-6) = 5 + 12 = 17$. It works.

The whole problem is keeping the sign when you divide by a negative.

분모 2와 5의 최소공배수 10을 양변에 곱하면

즉 $3x = 30$이므로 $x = 10$이다.

검산: $\dfrac{10}{2} - \dfrac{10}{5} = 5 - 2 = 3$. 맞는다.

Multiplying both sides by 10, the least common multiple of 2 and 5, gives

so $3x = 30$ and $x = 10$.

Check: $\dfrac{10}{2} - \dfrac{10}{5} = 5 - 2 = 3$. It works.

양변에서 $5x$를 빼면 $4x - 4 = 16$, 양변에 4를 더하면 $4x = 20$, 양변을 4로 나누면 $x = 5$이다.

검산: 좌변 $9 \times 5 - 4 = 41$, 우변 $5 \times 5 + 16 = 41$. 양변이 같다.

Subtracting $5x$ from both sides gives $4x - 4 = 16$; adding 4 gives $4x = 20$; dividing by 4 gives $x = 5$.

Check: the left side is $9 \times 5 - 4 = 41$ and the right side is $5 \times 5 + 16 = 41$. They agree.

양변의 괄호를 각각 풀면

즉 $6x - 3 = 4x + 5$이다. 양변에서 $4x$를 빼면 $2x - 3 = 5$, 양변에 3을 더하면 $2x = 8$, 그러므로 $x = 4$이다.

검산: 좌변 $3(2 \times 4 - 1) = 3 \times 7 = 21$, 우변 $4(4 + 3) - 7 = 28 - 7 = 21$. 양변이 같다.

Clearing the parentheses on each side gives

that is, $6x - 3 = 4x + 5$. Subtracting $4x$ from both sides gives $2x - 3 = 5$; adding 3 gives $2x = 8$; so $x = 4$.

Check: the left side is $3(2 \times 4 - 1) = 3 \times 7 = 21$ and the right side is $4(4 + 3) - 7 = 28 - 7 = 21$. They agree.

(a) 좌변을 전개하면 $5x - 10 = 5x - 10$. 양변이 같은 식이므로 어떤 $x$를 넣어도 참이다. 모든 실수가 해인 항등식이다.

(b) 우변을 전개하면 $3x + 8 = 3x + 6$. 양변에서 $3x$를 빼면 $8 = 6$, 거짓. 해가 없다.

(c) 양변에서 $x$를 빼면 $x + 6 = 6$, 양변에서 6을 빼면 $x = 0$. 해가 하나 있고, 그 해는 $x = 0$이다. 검산: $2 \times 0 + 6 = 6$이고 $0 + 6 = 6$. 맞는다.

채점 기준. 분류 셋을 모두 맞히고 각각 근거(남는 문장이 참인지 거짓인지, 혹은 구체적 해)를 댔으면 만점. (c)를 "해가 없다"로 쓰면 이 문제의 핵심 함정에 걸린 것이다 — $x = 0$은 엄연한 해다.

(a) Expanding the left side gives $5x - 10 = 5x - 10$. Both sides are the same expression, so every value of $x$ works. Every real number is a solution — an identity.

(b) Expanding the right side gives $3x + 8 = 3x + 6$. Subtracting $3x$ from both sides leaves $8 = 6$, which is false. No solution.

(c) Subtracting $x$ from both sides gives $x + 6 = 6$; subtracting 6 gives $x = 0$. Exactly one solution, namely $x = 0$. Check: $2 \times 0 + 6 = 6$ and $0 + 6 = 6$. It works.

Grading notes. Full credit for all three classifications with reasons (whether the leftover statement is true or false, or the explicit solution). Calling (c) "no solution" is precisely the trap — $x = 0$ is a perfectly good solution.

양변에 2를 곱하면 $2A = h(a + b)$이고, 양변을 $h$로 나누면 $\dfrac{2A}{h} = a + b$이다. 양변에서 $a$를 빼면

검산 삼아 구체적인 수로 확인해 보자. $a = 3$, $b = 5$, $h = 4$이면 $A = \dfrac{4(3+5)}{2} = 16$. 공식에 넣으면 $b = \dfrac{2 \times 16}{4} - 3 = 8 - 3 = 5$. 원래 값과 같다.

Multiplying both sides by 2 gives $2A = h(a + b)$; dividing both sides by $h$ gives $\dfrac{2A}{h} = a + b$; subtracting $a$ gives

A quick numerical check: with $a = 3$, $b = 5$, $h = 4$ we get $A = \dfrac{4(3+5)}{2} = 16$, and the formula returns $b = \dfrac{2 \times 16}{4} - 3 = 8 - 3 = 5$ — the value we started with.

분모 3과 2의 최소공배수 6을 양변에 곱하면

전개하면 $4x + 2 - 3x + 6 = 12$, 정리하면 $x + 8 = 12$, 그러므로 $x = 4$이다.

검산: $\dfrac{2 \times 4 + 1}{3} - \dfrac{4 - 2}{2} = \dfrac{9}{3} - \dfrac{2}{2} = 3 - 1 = 2$. 맞는다.

둘째 분수를 뺄 때 $-3(x-2) = -3x + 6$처럼 뒤 항의 부호까지 바뀌는 것에 주의. $-3x - 6$으로 쓰는 실수가 흔하다.

Multiplying both sides by 6, the least common multiple of 3 and 2, gives

Expanding gives $4x + 2 - 3x + 6 = 12$, which tidies to $x + 8 = 12$, so $x = 4$.

Check: $\dfrac{2 \times 4 + 1}{3} - \dfrac{4 - 2}{2} = \dfrac{9}{3} - \dfrac{2}{2} = 3 - 1 = 2$. It works.

Watch the subtraction: $-3(x - 2) = -3x + 6$ — both terms flip. Writing $-3x - 6$ is the classic slip here.

세 수 중 무엇을 $x$로 잡아도 풀리지만, 가운데 수를 $x$로 잡으면 식이 유난히 깔끔해진다.

Any of the three can be your $x$, but letting $x$ be the middle number makes the equation unusually clean.

가운데 짝수를 $x$라 하자. 연속한 짝수는 2씩 차이 나므로 세 수는 $x - 2$, $x$, $x + 2$이다. 합이 78이므로

즉 $3x = 78$이고 $x = 26$이다. 세 수는 24, 26, 28이다.

검산: 24, 26, 28은 연속한 짝수가 맞고, $24 + 26 + 28 = 78$. 조건과 맞는다.

따라서 세 수는 24, 26, 28이다. 가운데를 변수로 잡은 덕에 $-2$와 $+2$가 상쇄되어 한 줄 만에 끝났다 — 대칭이 있으면 대칭의 중심을 변수로 잡는 것이 요령이다.

Let $x$ be the middle even integer. Consecutive even integers differ by 2, so the three numbers are $x - 2$, $x$, and $x + 2$. Their sum is 78:

so $3x = 78$ and $x = 26$. The numbers are 24, 26, and 28.

Check: 24, 26, 28 are indeed consecutive even integers, and $24 + 26 + 28 = 78$, as required.

Therefore the three integers are 24, 26, and 28. Choosing the middle number as the variable made the $-2$ and $+2$ cancel — when a problem has symmetry, put your variable at the center of it.

괄호가 겹쳐 있으면 가장 안쪽부터 정리한다. $3 - (2x - 1)$이 먼저다.

With nested grouping symbols, simplify from the inside out. Deal with $3 - (2x - 1)$ first.

안쪽 괄호부터: $3 - (2x - 1) = 3 - 2x + 1 = 4 - 2x$. 이를 대입하면 좌변은

그러므로 방정식은 $4x - 3 = 2x + 5$가 되고, 양변에서 $2x$를 빼고 3을 더하면 $2x = 8$, 즉 $x = 4$이다.

검산: $x = 4$일 때 $2x - 1 = 7$, $3 - 7 = -4$, $5 - 2 \times (-4) = 5 + 8 = 13$. 우변은 $2 \times 4 + 5 = 13$. 양변이 같다.

따라서 해는 $x = 4$이다.

Inner parentheses first: $3 - (2x - 1) = 3 - 2x + 1 = 4 - 2x$. Substituting, the left side becomes

So the equation reads $4x - 3 = 2x + 5$; subtracting $2x$ and adding 3 to both sides gives $2x = 8$, so $x = 4$.

Check: at $x = 4$, we get $2x - 1 = 7$, then $3 - 7 = -4$, then $5 - 2 \times (-4) = 5 + 8 = 13$; the right side is $2 \times 4 + 5 = 13$. They agree.

Therefore the solution is $x = 4$.

문자항과 상수항을 각각 한쪽으로 모아 $(\ \ )x = (\ \ )$ 꼴로 정리해 보자. 좌변의 계수가 0인지 아닌지가 갈림길이다.

Collect the $x$-terms and the constants to reach the form $(\ \ )x = (\ \ )$. Everything hinges on whether the coefficient on the left is zero.

양변에서 $3x$와 6을 빼서 정리하면

이제 $x$의 계수 $a - 3$이 0인지에 따라 상황이 갈린다.

(1) $a \neq 3$이면 양변을 $a - 3$으로 나눌 수 있으므로 $x = \dfrac{b - 6}{a - 3}$, 해가 정확히 하나다. ($b$는 무엇이든 상관없다.)

(2) $a = 3$이고 $b \neq 6$이면 방정식은 $0 \cdot x = b - 6$이 되는데 우변이 0이 아니다. 어떤 $x$도 $0$을 $0$ 아닌 수로 만들 수 없으므로 해가 없다.

(3) $a = 3$이고 $b = 6$이면 $0 \cdot x = 0$, 모든 $x$에 대해 참이므로 모든 실수가 해다.

채점 기준. $(a-3)x = b - 6$ 꼴로 정리한 것, 세 경우를 빠짐없이 나눈 것, 각 경우의 근거를 쓴 것. 특히 (1)에서 "$b$는 임의"라는 언급이 있으면 완벽하다. 사례 대입만으로 답한 경우는 절반 이하.

Subtracting $3x$ and 6 from both sides puts the equation in the form

Now everything depends on whether the coefficient $a - 3$ is zero.

(1) If $a \neq 3$, we may divide both sides by $a - 3$, giving the single solution $x = \dfrac{b - 6}{a - 3}$. (Here $b$ can be anything.)

(2) If $a = 3$ and $b \neq 6$, the equation reads $0 \cdot x = b - 6$ with a nonzero right side. No value of $x$ turns $0$ into a nonzero number, so there is no solution.

(3) If $a = 3$ and $b = 6$, the equation reads $0 \cdot x = 0$, true for every $x$ — every real number is a solution.

Grading notes. Credit for reaching $(a-3)x = b - 6$, for splitting into exactly these three cases, and for justifying each. Noting in (1) that $b$ is unrestricted is the finishing touch. Answers built only on plugged-in examples earn at most half.

평균이 85라는 말을 총점에 대한 말로 바꿔 보자. 네 시험의 총점이 얼마여야 하는가?

Translate "the average is 85" into a statement about the total. What must the four scores add up to?

네 번째 시험 점수를 $x$점이라 하자. 네 시험의 평균이 85이므로

양변에 4를 곱하면 $254 + x = 340$이고, 양변에서 254를 빼면 $x = 86$이다.

검산: $\dfrac{84 + 79 + 91 + 86}{4} = \dfrac{340}{4} = 85$. 맞는다.

따라서 네 번째 시험에서 86점을 받아야 한다. 평균 문제는 언제나 "평균 × 개수 = 총합"으로 바꾸는 것이 출발점이다.

Let $x$ be the fourth test score. The average of the four tests is 85, so

Multiplying both sides by 4 gives $254 + x = 340$, and subtracting 254 gives $x = 86$.

Check: $\dfrac{84 + 79 + 91 + 86}{4} = \dfrac{340}{4} = 85$. It works.

Therefore she needs an 86. Average problems almost always start the same way: convert "average" into "total = average × count."

가장 작은 수를 $n$이라 하면 다섯 수의 합은 $n$으로 어떻게 표현될까? 그리고 "4배보다 5만큼 작다"를 식으로 옮길 때 부호 방향을 조심하자.

If the smallest is $n$, what is the sum of all five in terms of $n$? And translate "5 less than 4 times the smallest" carefully — the direction of the 5 matters.

가장 작은 수를 $n$이라 하자. 다섯 수는 $n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4$이고, 합은

조건 "합이 가장 작은 수의 4배보다 5만큼 작다"는 $5n + 10 = 4n - 5$이다. 양변에서 $4n$을 빼면 $n + 10 = -5$, 양변에서 10을 빼면 $n = -15$이다.

가장 큰 수는 $n + 4 = -11$이다.

검산: 다섯 수 $-15, -14, -13, -12, -11$의 합은 $-65$. 가장 작은 수의 4배는 $-60$이고, $-65$는 $-60$보다 5만큼 작다. 조건과 맞는다.

따라서 가장 큰 수는 $-11$이다. 답이 음수라고 놀랄 것 없다 — "정수"라고 했지 "자연수"라고 하지 않았다. 조건을 $4n + 5$로 옮겼다면 검산 단계에서 걸러졌을 것이다.

Let $n$ be the smallest integer. The five integers are $n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4$, with sum

"The sum is 5 less than 4 times the smallest" says $5n + 10 = 4n - 5$. Subtracting $4n$ from both sides gives $n + 10 = -5$, and subtracting 10 gives $n = -15$.

The largest integer is $n + 4 = -11$.

Check: the five integers $-15, -14, -13, -12, -11$ sum to $-65$; four times the smallest is $-60$; and $-65$ is indeed 5 less than $-60$. All conditions hold.

Therefore the largest is $-11$. Don't be thrown by a negative answer — the problem said integers, not positive integers. And if you had translated the condition as $4n + 5$, the check would have caught it.

두 무게의 차이 $340 - 190 = 150$g은 정확히 무엇의 무게일까?

The difference between the two weights, $340 - 190 = 150$ g, is the weight of exactly what?

빈 상자의 무게를 $b$g, 가득 들었을 때 클립 전체의 무게를 $c$g이라 하자. 조건에서

첫 식에서 둘째 식을 빼면 $\dfrac{c}{2} = 150$, 즉 $c = 300$이고, 첫 식에 넣으면 $b = 340 - 300 = 40$이다.

검산: 상자 40g에 클립 300g이면 가득일 때 340g, 절반 덜면 $40 + 150 = 190$g. 두 조건 모두 맞는다.

따라서 빈 상자는 40g이다. 식을 두 개 세웠지만 핵심은 한 걸음이다 — 두 상황의 차이 150g이 곧 클립 절반의 무게라는 관찰. 경시 문제는 이렇게 차이를 읽는 눈을 자주 요구한다.

Let $b$ be the weight of the empty box and $c$ the weight of a full load of clips, both in grams. The two weighings say

Subtracting the second equation from the first gives $\dfrac{c}{2} = 150$, so $c = 300$, and the first equation then gives $b = 340 - 300 = 40$.

Check: a 40 g box with 300 g of clips weighs 340 g full, and $40 + 150 = 190$ g at half load. Both conditions hold.

Therefore the empty box weighs 40 g. Two equations, but really one idea: the difference between the weighings, 150 g, is precisely half the clips. Contest problems reward reading differences like this.