수학을 쓰는 법How to Write Mathematics

잘못된 점은 다음과 같다. 세 가지 이상을 정확히 짚었으면 충분하다.

1. $x$의 정의가 없다. "$x$라고 하자"는 아무것도 정하지 않은 문장이다. $x$가 지우개 값인지 연필 값인지에 따라 식이 완전히 달라진다.
2. 식이 틀렸다. $x$를 지우개 값으로 쓸 생각이었다면 연필 한 자루는 $(x+300)$원이므로 연필 2자루는 $2(x+300) = 2x + 600$원이다. 괄호 없이 $2x + 300$으로 쓰면 300원을 한 번만 더한 셈이다.
3. 셋째 줄의 등호 사슬이 거짓이다. $3100 - 300 = 2800$은 참이지만, 이어 쓴 $2800 = 2800 \div 5$는 거짓이다. 등호를 "그다음 계산"이라는 뜻의 화살표처럼 쓰고 있다.
4. 검산이 없다. 답 560을 원래 문제에 넣어 봤다면 연필이 860원이 되어 $2 \times 860 + 3 \times 560 = 1720 + 1680 = 3400 \neq 3100$, 즉 어딘가 틀렸다는 사실을 스스로 발견했을 것이다.
5. 마무리 문장이 없다. 단위도, 무엇이 560이라는 것인지도 없다.

바르게 쓴 풀이. 지우개 한 개의 값을 $x$원이라 하자. 연필 한 자루는 $(x + 300)$원이므로

전개하면 $5x + 600 = 3100$이고, 양변에서 600을 빼면 $5x = 2500$, 양변을 5로 나누면 $x = 500$이다.

검산: 지우개 500원, 연필 800원이면 $2 \times 800 + 3 \times 500 = 1600 + 1500 = 3100$. 조건과 맞는다.

따라서 지우개 한 개는 500원이다.

채점 기준. 오류 3개를 구체적으로 짚으면 절반, 바르게 다시 쓴 풀이(변수 정의·올바른 식·검산·결론 문장 포함)까지 갖추면 만점. 위 목록과 다른 오류를 짚었어도 타당하면 인정한다.

Here is what's wrong — naming any three precisely is enough.

1. $x$ is never defined. "Let it be $x$" pins down nothing. The equation depends entirely on whether $x$ is the eraser's price or the pencil's.
2. The equation is wrong. If $x$ is meant to be the eraser's price, then a pencil costs $(x+300)$ won, so two pencils cost $2(x+300) = 2x + 600$ won. Writing $2x + 300$ adds the extra 300 only once.
3. The chain of equals signs in line three is false. $3100 - 300 = 2800$ is true, but the next link claims $2800 = 2800 \div 5$, which is false. The equals sign is being used as an arrow meaning "and then."
4. There is no check. Substituting 560 back into the original problem makes the pencil 860 won, and $2 \times 860 + 3 \times 560 = 1720 + 1680 = 3400 \neq 3100$ — the student would have caught their own error.
5. There is no concluding sentence — no units, no statement of what 560 is supposed to be.

A proper solution. Let $x$ be the price of one eraser in won. A pencil then costs $(x + 300)$ won, so

Expanding gives $5x + 600 = 3100$; subtracting 600 from both sides gives $5x = 2500$, and dividing by 5 gives $x = 500$.

Check: an eraser at 500 won makes a pencil 800 won, and $2 \times 800 + 3 \times 500 = 1600 + 1500 = 3100$, which matches.

Therefore one eraser costs 500 won.

Grading notes. Three specific errors earn half credit; a correct rewrite (variable defined, correct equation, check, concluding sentence) earns the rest. Valid criticisms beyond this list count too.

양변에서 $2x$를 빼면

양변에 7을 더하면 $3x = 15$이고, 양변을 3으로 나누면 $x = 5$이다.

검산: 원래 방정식에 $x = 5$를 대입하면 좌변은 $5 \times 5 - 7 = 18$, 우변은 $2 \times 5 + 8 = 18$. 양변이 같다.

따라서 해는 $x = 5$이다.

채점 기준. 답 $x=5$만 쓰면 절반. 각 줄이 참이고, 검산과 마무리 문장이 있으면 만점. 이항을 한 번에 두 개 해도 각 줄이 참이면 감점하지 않는다.

Subtracting $2x$ from both sides gives

Adding 7 to both sides gives $3x = 15$, and dividing both sides by 3 gives $x = 5$.

Check: substituting $x = 5$ into the original equation, the left side is $5 \times 5 - 7 = 18$ and the right side is $2 \times 5 + 8 = 18$. They agree.

Therefore the solution is $x = 5$.

Grading notes. The bare answer $x = 5$ earns half credit. Full credit needs every line true, a check against the original equation, and a concluding sentence. Combining two moves in one line is fine as long as the line is true.

서연이가 가진 카드 수를 $x$장이라 하자. 민준이는 그 두 배인 $2x$장을 가지고 있다. 두 사람의 카드를 합치면 51장이므로

즉 $3x = 51$이고, 양변을 3으로 나누면 $x = 17$이다. 민준이는 $2 \times 17 = 34$장이다.

검산: 34는 17의 두 배가 맞고, $17 + 34 = 51$로 합계도 맞는다.

따라서 서연이는 17장, 민준이는 34장을 가지고 있다.

채점 기준. 변수 정의(누구의 카드 수인지 명시) 1점, 올바른 식과 풀이 과정 1점, 두 조건("두 배", "합 51") 모두에 대한 검산과 마무리 문장 1점. 민준이의 카드 수를 $x$로 잡아 $\frac{x}{2} + x = 51$로 풀어도 당연히 만점이다.

Let $x$ be the number of cards Seoyeon has. Then Minjun has twice as many, which is $2x$ cards. Together they have 51, so

which gives $3x = 51$, and dividing both sides by 3 gives $x = 17$. Minjun has $2 \times 17 = 34$ cards.

Check: 34 is indeed twice 17, and $17 + 34 = 51$, so both conditions hold.

Therefore Seoyeon has 17 cards and Minjun has 34.

Grading notes. One point for defining the variable (saying whose cards it counts), one for a correct equation and solution, one for checking both conditions ("twice as many" and "51 total") and stating the conclusion. Letting $x$ be Minjun's cards and solving $\frac{x}{2} + x = 51$ earns full credit just the same.

홀수를 문자로 어떻게 나타낼 수 있을까? 어떤 정수 $k$를 써서 "$2k + 1$" 꼴로 쓸 수 있다는 것이 출발점이다. 그다음 홀수는?

How do you write "an odd number" with a variable? Every odd number has the form $2k + 1$ for some integer $k$ — that's the starting point. What does the next odd number look like?

정수 $k$에 대해 첫 번째 홀수를 $2k + 1$이라 하자. 바로 다음 홀수는 2만큼 크므로 $2k + 3$이다. 두 수의 합은

$k + 1$은 정수이므로 이 합은 4에 정수를 곱한 수, 즉 4의 배수다. 어떤 연속한 두 홀수도 적당한 정수 $k$로 이렇게 나타낼 수 있으므로, 결론은 모든 경우에 성립한다.

채점 기준. 핵심은 세 가지다. (1) 홀수를 일반형($2k+1$ 등)으로 나타냈는가 — 구체적인 숫자 예시만 나열하면 증명이 아니다. (2) 합을 $4 \times (\text{정수})$ 꼴로 정리했는가. (3) 결론을 문장으로 맺었는가. 두 홀수를 $2k - 1$과 $2k + 1$로 잡아 합이 $4k$가 되는 풀이도 똑같이 만점이다. 오히려 더 깔끔한 선택이다.

Let the first odd number be $2k + 1$, where $k$ is an integer. The next odd number is 2 more, so it is $2k + 3$. Their sum is

Since $k + 1$ is an integer, the sum is 4 times an integer — a multiple of 4. Every pair of consecutive odd numbers can be written this way for some integer $k$, so the claim holds in every case.

Grading notes. Three things matter: (1) representing odd numbers in general form ($2k+1$ or similar) — numerical examples alone are not a proof; (2) simplifying the sum into the shape $4 \times (\text{integer})$; (3) closing with a concluding sentence. Writing the two odds as $2k - 1$ and $2k + 1$ so the sum is $4k$ earns full credit — if anything, it's the slicker choice.